7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.

Теорема Кронекера-Капелли.

Для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной (то есть имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг исходной матрицы системы совпадал с рангом расширенной матрицы, то есть r(A) = r(С).

1. если r(A) = r(С)= n, где n – число неизвестных системы, то данная система имеет единственное решение;

2. если r(A) = r(С) = k < n, то система имеет бесконечное множество решений;

3. если r(A) ≠ r(С), то система несовместна, то есть не имеет решений.

Если число неизвестных больше числа уравнений, то система либо не имеет решений, либо имеет их бесконечное множество (если r(A) = r(С) = =k < n.)

Пример. Исследовать систему уравнений на совместность

Решение.

Запишем матрицу системы А и определим ее ранг:

.

Так как матрица А имеет порядок 34, то r (A) ≤ 3. Существует

4 различных минора третьего порядка:

, , , .

Легко проверить, что все эти миноры равны нулю. Например:

==6ּ+11ּ

Так как минор второго порядка ,то r (A) = 2.

Рассмотрим расширенную матрицу . Так как минор третьего порядка

==11ּ+5ּ=

= –11ּ2+5ּ33= –22+165=143 ≠ 0, то r(С)=3.

Следовательно, r (A) ≠ r (С), и по теореме Кронекера-Капелли система несовместна, то есть не имеет решений.

Действительно, если первое уравнение системы умножить на 3 и сложить со вторым уравнением, то получим уравнение . Левая часть этого уравнения совпадает с левой частью третьего уравнения системы, а правые части у них разные. Следовательно, система не имеет решений.

Пример. Исследовать на совместность и решить систему линейных алгебраических уравнений

(2)

1. с помощью формул Крамера;

2. матричным методом.

Решение.

Запишем матрицу А системы уравнений и определим ее ранг:

.

Так как (третья строка определителя является суммой первых двух строк), то r(A)< 3. Рассмотрим какой-либо минор

второго порядка:

Рассмотрим расширенную матрицу системы: .

Найдем ее ранг. Существуют 4 различных минора третьего порядка:

, , , .

Легко проверить, что все эти миноры равны нулю (в каждом из них третья строка есть сумма первых двух строк). Поэтому r (С) < 3. Так как выше рассмотренный минор второго порядка принадлежит и матрице С, то

, и по теореме Кронекера-Капелли исходная система уравнений совместна (r(A) = r(С)). Но, так как r(A) = r (С) = 2 < 3, где 3 – число неизвестных системы уравнений, то исходная система имеет бесконечное множество решений.

Отличный от нуля минор второго порядка состоит из коэффициентов, стоящих при неизвестных и первого и второго уравнения. Следовательно, первая и вторая строка матрицы А линейно независимы, а третья выражается через них (является их суммой). Поэтому третье уравнение системы можно отбросить.

Так как элементы данного минора – это коэффициенты при и , то эти переменные будут базисными, а «лишней» (свободной), поэтому перенесем ее в правые части уравнений. В итоге получим систему:

(3)

В данном случае определитель матрицы системы не равен нулю. Следовательно, существует обратная матрица , и мы можем решить систему уравнений матричным методом и по формулам Крамера.