Теоретичні питання модульного контролю

з розділу: “Лінійна алгебра”.

1 рівень.

1. Матрицею називається . . .

2. Різновиди матриць.

3. Для того щоб знайти суму двох матриць, потрібно, щоб . . . , причому елемент матриці – сумі = . . .

4. Для того, щоб помножити матрицю на число, потрібно . . .

5. Для знаходження добутку двох матриць потрібно, щоб . . . причому елемент Сij матриці – добутку дорівнює . . .

6. Матриця А^-1 називається оберненою до А, якщо . . ., існує якщо . . .

7. Визначником 2 – го порядку називається . . .

8. Визначники 3 – го порядку обчислюються за правилом . . .

9. Рангом матриці називається . . .

10. Сформулювати теорему Крамера . . .

11. СЛАР називається однорідною, якщо . . .

12. СЛАР називається сумісною, якщо . . . , несумісною, якщо . . .

13. СЛАР називається визначеною, якщо . . .

14. СЛАР називається невизначеною, якщо . . .

2 рівень.

1. Мінором М_ij називається . . .

2. Алгебраїчним доповненням А_ij називається . . .

3. Визначник n – го порядку дорівнює . . .

4. Властивості визначника.

5. Елементарні перетворення які не змінюють ранг матриці це: . . .

6. Для знаходження рангу матриці необхідно . . .

7. Алгоритм знаходження оберненої матриці.

8. Що називається системою m лінійних рівнянь з n невідомими?

9. Розв’язок СЛАР це . . .

10. В якому випадку застосовуються формули Крамера?

11. У чому полягає метод Гаусса?

12. У чому полягає метод Жордана-Гаусса?

13. Матричний метод, його застосування.

14. Сформувати теорему Кронекера-Капеллі.

15. Які вектори називаються лінійно залежними та лінійно незалежними.

16. Що називається базисом n – вимірного простору.

3 рівень.

1. Два означення рангу матриці.

2. Матричні рівняння та їх розв’язок.

3. Елементарні перетворення СЛАР.

4. Порівняти методи Гаусса і Жордана-Гаусса для розв’язування СЛАР.

5. Різновиди розв’язків СЛАР.

6. За яких умов однорідна СЛАР має єдиний нульовий розв’язок, безліч розв’язків.

7. Фундаментальною системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається . . .

8. Критерій сумісності СЛАР та його застосування.

9. n – вимірним лінійним простором називається . . .

10. Розклад вектора за базисом.

11. Характеристичною матрицею для квадратної матриці А називається . . .

12. Власним вектором матриці називається . . .

13. Що називається квадратичною формою?

14. Канонічний вигляд квадратичної форми записується . . .

4 рівень

1. Сформулювати і довести теорему про розклад визначника за елементами рядка (стовпця).

2. Сформулювати і довести властивості визначника.

3. Сформулювати і довести теорему про існування оберненої матриці.

4. Довести формули Крамера для системи трьох рівнянь з трьома невідомими.

5. Лінійним векторним простором називається . . .

6. Що називається базисом на прямій, на площині, в просторі? Сформулювати теорему про розклад вектора за базисом і з’ясувати її геометричний зміст.

7. Додатньо (від’ємно) визначені квадратичні форми.

8. Контрольні питання

10. Векторне рівняння площини.

11. Загальне рівняння площини.

12. Відстань від точки до площини.

13. Рівняння площини у відрізках.

14. Умови паралельності, перпендикулярності двох площин.

15. Кут між двома площинами.

16. Нормальне рівняння площини. Зведення загального рівняння площини до нормального.

17. Рівняння площини, що проходить через три задані точки.

18. Канонічне, загальне рівняння прямої у просторі.

19. Умови паралельності, перпендикулярності двох прямих. Кут між прямими.

20. Рівняння прямої у просторі, що проходить через дві задані точки.

21. Умова того, що дві прямі лежать в одній площині.

23. Завдання для самостійної роботи

24. Скласти рівняння площини, що проходить через точки А і В:

25. а) паралельно до осі Оz;

26. б) паралельно до осі Ох.

27. Написати рівняння площини, що проходить через точки А, В і С. Знайти які відрізки вона відтинає на осях координат.

28. Через точку В провести площину:

29. а) паралельну до площини ;

30. б) перпендикулярну до площини .

31. Знайти кут між цими площинами.

32. Знайти канонічне рівняння прямої, що задана загальним рівнянням: . Знайти кути, які утворює отримана пряма з осями координат.

33. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки В і С (дані в таблиці 8).

34. Через точку А проходить пряма, паралельна до прямої отриманої у

35. завданні 5. Написати її рівняння. Числові дані наведені в таблиці 8.

Теоретичні питання модульного контролю

з розділу: “ Аналітична геометрія

1 рівень

1. Вектором називається…

2. Проекцією вектора на вісь називається…

3. Лінійні операції над вектрами мають такі властивості…

4. Скалярним добутком двох векторів називається…

5. Скалярний добуток має властивості…

6. Кут між двома векторами знаходиться за формулою…

7. Умова перпендикулярності векторів – це…

8. Умова паралельності векторів - це…

9. Векторним добутком двох векторів називається…

10. Векторний добуток має такі властивості…

11. Геометричний зміст векторного добутку полягає в тому…

12. Відстань між двома точками в прямокутній системі кооринат занходиться за формулою…

13. Пряму на площині можна описати рівняннями…

14. Умова паралельності прямих на площині – це…

15. Умова перпендикулярності прямих на площині – це…

16. Кут між прямими на площині знаходиться за формулою…

17. Формула знаходження відстані від точки до прямої має вигляд…

18. Еліпсом називається …, його канонічне рівняння має вигляд…

19. Гіперболою називається …, її канонічне рівняння має вигляд…

20. Параболою називається …, її канонічне рівняння має вигляд …

21. Загальне рівняння площини в просторі має вигляд …

22. Загальне рівняння прямої у просторі має вигляд …, пряму у просторі можна описати такими рівняннями …

23. Кут між двома площинами знаходиться за формулою …

24. Умова перпендикулярності двох площин …, паралельності двох площин …

25. Умова перпендикулярності прямої і площини …

26. Умова паралельності прямої і площини …

27. Відстань від точки до площини знаходиться за формулою …

ІІ рівень

1. Сформулювати і довести властивості скалярного добутку.

2. Сформулювати і довести властивості векторного добутку.

3. Сформулювати і довести властивості мішаного добутку.

4. Довести формулу відстані між двома точками у прямокутній системі координат.

5. Вивести загальне рівняння прямої на площині.

6. Довести умови паралельності, перпедикулярності прямих.

7. Вивести формулу знаходження кута між прямими.

8. Що називається ексцентриситетом кривих другого порядку, що він характеризує?

9. Вивести нормальне рівняння площини.

10. Написати канонічне рівняння поверхонь другого порядку.

ІІІ рівень

1. М – точка перетину медіан трикутника АВС: О – довільна точка простору. Довести рівність .

2. Як довести, що три точки знаходяться на одній прямій.

3. Довести, що всяке рівняння виду визначає на площині хОу пряму лінію. Дослідити загальне рівняння прямої.

4. Довести, що кожна площина може бути виражена лінійним рівнянням відносно прямокутної системи координат у просторі і, навпаки, кожне лінійне рівняння з трьома невідомими х, у і z визначає у просторі площину.

5. Вивести формулу для обчислення відстані від точки до площини.

6. У чому полягає характерна особливість директрис еліпса, гіперболи і параболи? Дати загальне означення цих кривих.

ІV рівень

1. Довести формули перетворення координат при паралельному перенесені осей координат і при їхньому повороті навколо осі.

2. Довести, що об’єм тетраедра дорівнює шостій частині модуля мішаного добутку трьох некомпланарних векторів, які утворюють ребра тетраедра.

3. Чому вигляд рівняння лінії залежить від системи координат? Навести приклади.

4. Вказати хоча б один напрямний і один нормальний вектор прямої, яка:

а) має кутовий коефіцієнт k;

б) задана рівнянням .

5. Довести, що рівняння площини, яке проходить через пряму , перпендикулярно до площини , можна записати у вигляді: .

6. Як знайти відстань між двома паралельними площинами. Пояснити.

7. Обчислити ексцентриситет еліпса, якщо відстань між його фокусами дорівнює середньому арифметичному довжин осей.

Контрольні питання

1. Векторне рівняння площини.

2. Загальне рівняння площини.

3. Відстань від точки до площини.

4. Рівняння площини у відрізках.

5. Умови паралельності, перпендикулярності двох площин.

6. Кут між двома площинами.

7. Нормальне рівняння площини. Зведення загального рівняння площини до нормального.

8. Рівняння площини, що проходить через три задані точки.

9. Канонічне, загальне рівняння прямої у просторі.

10. Умови паралельності, перпендикулярності двох прямих. Кут між прямими.

11. Рівняння прямої у просторі, що проходить через дві задані точки.

12. Умова того, що дві прямі лежать в одній площині.

Завдання для самостійної роботи

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точки А і В:

а) паралельно до осі Оz;

б) паралельно до осі Ох.

2. Написати рівняння площини, що проходить через точки А, В і С. Знайти які відрізки вона відтинає на осях координат.

3. Через точку В провести площину:

а) паралельну до площини ;

б) перпендикулярну до площини .

Знайти кут між цими площинами.

4. Знайти канонічне рівняння прямої, що задана загальним рівнянням: . Знайти кути, які утворює отримана пряма з осями координат.

5. Скласти рівняння прямої, що проходить через точки В і С (дані в таблиці 8).

6. Через точку А проходить пряма, паралельна до прямої отриманої у

завданні 5. Написати її рівняння. Числові дані наведені в таблиці 8.