Індивідуальна робота

Теоретична механіка. Кінематика. Методичні вказівки для студентів денної та заочної форм навчання / Упор.: Л.М.Березін, С.О.Кошель.- К.: КНУТД, 2014. –

70 с. Укр. мовою.

Упорядники: Л.М.Березін, к.т.н., доцент С.О.Кошель, к.т.н., доцент

ЗАВДАННЯ К1

ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТІ ТА ПРИСКОРЕННЯ ТОЧКИ ПО ДАНИМ РІВНЯННЯМ ЇЇ РУХУ В ПЛОЩИНІ

Точка М рухається в площині XOY. Закон руху точки задано рівняннями: x = f1( t ), y = f2 ( t ), де x та y визначаються в см, t - в секундах.

Знайти рівняння траєкторії точки і для часу t = t1 визначити положення точки

на побудованій траєкторії, її швидкість та прискорення, а також її дотичне і нормальне прискорення та радіус кривизни в відповідній точці траєкторії. Траєкторію точки та вектори її швидкості та прискорень в зазначений час зобразити графічно.

Завдання для 30 варіантів приведено в табл.К1.1.

Теоретичні відомості Траєкторією точки називається геометричне місце послідовних положень

точки, яка рухається в просторі з перебігом часу. Траєкторією є неперервна лінія, яка може бути прямою або кривою, замкненою або розімкнутою.

Рух точки визначається законом руху. Закон (рівняння) руху точки представляє залежність між параметрами, які встановлюють положення точки в просторі від часу. Існують три способи задання руху точки: координатний, векторний та натуральний. Для вивчення руху точки в площині застосовуватимемо координатний і натуральний способи.

При координатному способі застосовують нерухому декартову систему координат XOY та два рівняння руху:

траєкторії точки.

Для визначення рівняння траєкторії в координатній (явній) формі необхідно з рівнянь (1.1) якимось чином виключити параметр часу t . Для цього доцільно застосовувати відомі тригонометричні формули:

sin2α + cos2 α =1;

cos 2α =1 − 2 sin2 α = 2cos2 α −1;

sin 2α = 2 sinα cosα ,

а в деяких варіантах – спосіб підстановки та алгебраїчні спрощення.

Положення точки на площині в заданий момент часу t1 визначається координатами, які розраховують підстановкою значення часу t = t1 в рівняння

(1.1).

Вектор швидкості V та прискорення a точки визначаються по їх проекціям на вісі декартових координат:

4)визначити по формулам (1.4) проекції прискорення ax та ay точки на

вісі координат, по формулі (1.5) – модуль прискорення a ; на рисунку в масштабі прискорення зобразити перелічені прискорення ax , ay та a ;

5)визначити дотичне aτ і нормальне an прискорення по формулам (1.7)

та (1.8), а в деяких випадках при визначеному повному прискоренні a - за допомогою формули (1.6); на рисунку в масштабі прискорення зобразити перелічені прискорення an та aτ .Вектори повного прискорення, які побудовано

по проекціям на декартові вісі ax та ay і на натуральні вісі an та aτ , повинні співпадати;

6)визначити радіус кривизни ρ траєкторії по формулі (1.8).

Приклад виконання завдання К1 По заданим рівнянням руху точки в декартових координатах визначити

траєкторію, швидкість та прискорення цієї точки в заданий момент часу t = t1 , а також радіус кривизни траєкторії в цьому положенні точки.

Вихідні дані: x = 3cos(πt/6); y = 1 + 2 sin( πt / 6 ) ; t1 =1с ( x та y - в см; t та t1 - в

сек.).

Розв'язок

Розв'язок виконуємо по плану, наведеному вище.

1.Оскільки рух точки задано координатним способом, застосовуємо декартові вісі координат. Положення початку координат визначимо пізніше.

2.Для визначення траєкторії руху точки виключаємо час t з рівнянь руху. Для цього виділимо з першого рівняння cos( πt/6) , а з другого рівняння sin( πt / 6 ):

Таким чином, знайденою траєкторією є еліпс з центром в точці з координатами (0;1) та полувісями а=3 см, b =2 см (рис.1.2).

Визначаємо координати положення точки М в заданий момент часу t1 =1 с:

xM = 3cos( πt1 / 6 ) ≈ 2,6 см; yM = 1 + 2 sin( πt1 / 6 ) = 2 см.

3. Складемо рівняння проекцій швидкості точки на координатні вісі, диференціюванням по часу відповідних рівнянь руху (формули (1.2)):

та визначимо їх значення в момент часу t1 =1 с:

рис.1.2, а модуль по формулі (1.3): V = Vx2 + Vy2 = ( -0,79 )2 + 0,912 =1,21см/с.

4. Складемо рівняння проекцій прискорення точки на координатні вісі диференціюванням по часу відповідних рівнянь проекцій швидкості точки

(формули (1.4)):

Напрям вектора повного прискорення a визначаємо графічно по складовим ax , ay на рис.1.2, а модуль – по формулі (1.5):

a = ax2 + a2y = ( -0,71)2 + ( -0,27 )2 » 0,75 см/с2 .

5.Визначимо модуль дотичного прискорення точки по формулі(1.7):

або по формулі (1.6):

an = a2 - aτ2 = 0,752 - 0,262 » 0,71см/с2.

Вектор a будуємо по складовим aτ та an (дивись рис.1.2).

Вектори повного прискорення точки a , які визначали координатним та натуральними способами, співпадають, що підтверджує правильність розв'язку.

6.Після того, як знайдено нормальне прискорення, радіус кривизни траєкторії в заданій точці визначається по формулі (1.8):

ρ = V 2 = 1,212 = 2,06 см. an 0,71

Результати проміжних та кінцевих обчислень при розв'язку завдання зведені в табл.1.2.

ЗАВДАННЯ К2

ВИЗНАЧЕННЯ ШВИДКОСТЕЙ ТА ПРИСКОРЕНЬ ТОЧОК ТВЕРДОГО ТІЛА ПРИ ПОСТУПАЛЬНОМУ ТА ОБЕРТАЛЬНОМУ РУХАХ

Для механізмів, схеми яких зображено на рис.К2.1… К2.30, по заданому рівнянню одного з тіл знайти для певного моменту часу t = t1 швидкості та

прискорення точок А та В. На схемі механізму показати вектори швидкостей та прискорень точок А та В.

Необхідні для розрахунку дані приведені в табл. К2.1. Теоретичні відомості

Поступальний рух та обертання твердого тіла навколо нерухомої вісі – найпростіші види руху, комбінуванням яких можна одержати інші, більш складні, рухи.

Поступальним називається рух тіла, при якому відрізок прямої, що з’єднує дві будь-які його точки, залишається паралельним своєму початковому положенню в кожний момент часу. Поступальний рух не слід плутати з прямолінійним. При поступальному русі тіла траєкторії його точок можуть бути будь-якими прямими або кривими лініями.

Продовження табл.К2.1

Властивості поступального руху характеризуються наступною теоремою: при поступальному русі твердого тіла траєкторії, швидкості та прискорення всіх його точок однакові. Тому поступальний рух твердого тіла цілком характеризується рухом однієї будь-якої точки цього тіла, а кінематика зводиться до вивчення кінематики точки.

При поступальному прямолінійному русі твердого тіла закон (рівняння)

Обертальним називається рух тіла, при якому принаймні дві його точки залишаються нерухомими в кожний момент часу. Пряма, яка проходить через ці нерухомі точки, називається віссю обертання тіла. Кожна точка, яка не лежить на

вісі обертання, рухається по колу, площина якого перпендикулярна до цієї вісі, а центр лежить на ній.

Для визначення положення тіла при його обертанні навколо нерухомої вісі в

Характеристиками обертального руху тіла є кутова швидкість та кутове

Якщо в даний момент часу ε ×ω > 0 , то тіло обертається прискорено, якщо ε ×ω < 0 , то сповільнено.

На рисунках кутову швидкість і кутове прискорення показують дуговими стрілками навколо вісі обертання. Дугова стрілка кутової швидкості вказує напрямок обертання тіла. При прискореному обертанні дугові стрілки кутової швидкості і кутового прискорення мають один напрямок (рис.К2.31,а), для сповільненого – їх напрямки протилежні (рис.К2.31,б).

Кутову швидкість тіла можна зобразити у вигляді вектора ω , модуль якого дорівнює ω і який відкладають вздовж вісі обертання від довільної її точки в той бік, звідки видно обертання тіла проти ходу годинникової стрілки. Коли тіло

прискоренняan спрямовано по радіусу цього кола до його центру (рис.К2.32).