4

4. Постановка краевой задачи классической теории упругости.

Типы краевых задач. Методы их решения, теорема существования и единственности решения краевой задачи теории упругости.

Перечислим 15 деформируемых уравнений математической модели объемной задачи теории упругости с граничными условиями:

Уравнения равновесия

, 3 (4.1)

Геометрические уравнения или дифференциальная зависимость Каши

, 6 (4.2)

Физические уравнения или закон Гука для изотропного тела через параметры Ламе

, 6 (4.3)

Статические граничные условия

, 3 (4.4)

Кинематические граничные условия

, 3 (4.5)

, - заданные компоненты вектора интенсивности внешних объемных сил, внешних поверхностных сил, заданные компоненты вектора перемещения для точек части поверхности деформируемого твердого тела (ДТТ).

4.1; 4.2; 4.3 + 4.4 - 1 прямая краевая задача теории упругости (КЗТУ)

4.1; 4.2; 4.3 + 4.5 - 2 прямая КЗТУ

4.1; 4.2; 4.3 + 4.4; 4.5 - смешанная КЗТУ

Замечания:

1. Решение КЗТУ представляет собой 15 функций координат, , а именно для каждой точки тела произвольной конфигурации, произвольной системы сил, схемы закрепления и 15 полей напряжений деформации перемещений.

2. входят дифференциальные уравнения математической модели объемной задачи теории деформации. В первой степени уравнения являются линейными, т.к дифференциальные уравнения линейны, справедлив принцип суперпозиции (эффект от суммы сил равен сумме эффектов от каждой в отдельности). Линейность уравнений и принцип суперпозиции облегчают нахождение решения КЗТУ.

3. В отличии от сопромата, где рассматривают тела – брусья (продольный размер больше поперечных размеров ) используется гипотеза плоских сечений (сечения плоские и перпендикулярны оси бруса до деформации остаются такими же и после деформации). Согласно модели КЗТУ рассматриваются тела произвольной конфигурации, находящиеся под действием произвольной системы сил и имеющие произвольную схему закрепления.

4. Несмотря на то, что дифференциальные уравнения 4.1; 4.2; 4.3 являются линейными и справедлив принцип суперпозиции, решение КЗТУ является очень сложным, т.к представляет собой бесконечное множество частных решений, охватывающих бесконечное многообразие форм тела, схем нагружения, закрепления, до сих пор не получены, т.к математика не располагает такими универсальными функциями. Исследования в данной области направлены на разработку методов, подходов к решению частных задач.

Теорема о существовании и единственности КЗТУ.

Если решение существует, то оно является единственным при условии положительной определенности следующей квадратной формы (доказательство см. в Ю. Работнов МДТТ стр. 345-347)

Методы решения прямой КЗТУ:

1. Метод перемещений.

2. Метод сил.

3. Смешанный метод.

Метод перемещений.

В качестве неизвестного рассмотрим перемещения, которые с помощью деференциальной зависимостей Каши и закон Гука, подставляют в уравнение равновесия, в результате получаются уравнения равновесия.

Уравнения равновесия перемещений или уравнения Ламе.

, (4.6)

или

, где

- оператор Лапласа

Замечания:

1. Если компоненты вектора интенсивности не зависят от координат точек тела, представляющие уравнения, после преобразований и повышений порядка будут иметь вид:

,

,

2. Решения ищутся в перемещениях или заданы 4.5

Если заданы 4.4, то рекомендуется их представить через перемещения:

0. + 4.5 = математическая модель объемной задачи теории упругости

или

Метод сил.

В качестве неизвестного рассматривают напряжения которые через деформацию с помощью физических зависимостей подставляются в уравнение совместности деформаций (тождество Сен – Венана) преобразованное с помощью уравнения равновесия, в результате получаются уравнения Бельтрами – Митиела или уравнения совместности деформаций напряжений:

, , где

или

6 (4.7)

Замечание:

Если момент вектора интенсивности не зависит от координат точек тела или постоянен, то уравнения, 4.7 после преобразований и повышении степени будут иметь вид:

Смешанный метод.

Иногда в качестве неизвестных рассматривают ряд перемещений, ряд напряжений.

Замечания:

Т.к метод, где в качестве неизвестных рассматриваются деформации не имеет преимуществ перед методами перемещения сил, то он не используется ……………….. подходы к реализации метода перемещений сил, смешанного метода.

1. Прямой подход. Заключается в непосредственном интегрировании дифференциальных уравнений математической модели. Полученные частные решения должны удовлетворять поставленным граничным условиям, основные трудности заключаются в этом. Точные аналитические решения получены для ряда простейших задач: растяжение призматического бруса под собственным весом, чистый изгиб, кручение призматического бруса. Также используются приближенные аналитические методы: метод Ритуа – Канторовича, метод Бубнова – Галеркина; численные методы: метод конечных элементов, метод конечных разностей.

2. Обратный подход …………… по известным (из физических соображений, наблюдений за экспериментом) для всего тела, функциями перемещения, деформаций напряжений находят условия на поверхности тела данная задана достаточно простая, т.к связана с дифференцированием. Решение всегда может быть получено имея решения ряда обратных задач путем их комбинации может быть построено решение некоторых прямых задач.

3. Полуобратный подход. Известные из некоторых соображений (наблюдений за экспериментом, решений с помощью сопромата) для части тела функция перемещения, деформации напряжения, подставляя в дифференциальные уравнения КЗТУ находят новые решения. Решения поставленной краевой задачи с новыми предложениями в виде функций продолжая до тех пор пока все дифференциальные уравнения, включая граничные условия не будут удовлетворены тождественно при решении используется принцип Сен – Венана, согласно которому действительная нагрузка заменяется статически эквивалентной, таким образом сглаживаются или облегчаются заданные граничные условия, что позволяет найти решение для большей части тела, исключая место приложения нагрузки.

Принцип Сен – Венана.

Качество приложения нагрузки не сказывается на значительном удалении от нее, а точнее расстояние одного полутора наибольших линейных размеров площадки ее приложения.

Р

P

h

b

статическ.эквивал.

поля

h

(1-15)h b

l

Заключение:

Получение функций деформаций перемещения и деформаций напряжений состояний не является самоцелью, главная задача инженера – уметь оценивать площадь несущей конструкции, допустимость внешнего нагружения, размеров поперечного сечения. Для простейших напряжений возникающих при растяжении, сдвиге эта задача решается достаточно просто.

Н – действующая напряжений состояния сравнивается с достаточно легко осуществленным экспериментально, напряженным состоянием.

- условия достаточной прочности

где - опасные (предельные) напряжения – такие напряжения при которых материал переходит из упругого состояния (выполняется закон Гука), в опасное состояние. Для пластичности материала это появление и накопление остаточных или необратимых деформаций.

- предел текучести касательного предела текучести.

- коэффициент запаса по пределу текучести. Для хрупкого материала – появление и развитие трещин.

- предел проч-ти касательного предельного прочностного коэффициента запаса по пределу текучести.

- коэффициенты запаса, назначенные из следующих соображений: приближенность расчетной функции, возможность отклонения, эксплуатация нагрузок от расчетных, концентрация напряжений, последствия разрушений несуществующей конструкции.

Для объемных напряженных состояний используемых с действующими напряжениями или 3 главными напряжениями. Опасное состояние материала может возникнуть при разных сочетаниях опасных напряжений, поэтому постулиуется критерий прочности, позволяющий сравнить действующее сложное состояние с простейшим напряжений которое достаточно легко осуществить экспериментально, согласно которым приближенно устанавливается мера перехода материала из упругого состояния в опасное.

- условие достаточной прочности

В расчетной практике наиболее применимыми являются гипотеза максимальных касательных напряжений и энергетическая теория.

Гипотеза Кулона – Треска.

Сравниваются действительные напряжения состояния, для которого

, где

или ЛНС для которого

, где

Гипотеза удельной потребной энергии деформации формы.