Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана – Гаусса

1 шаг: а) первую строку не меняем б) из второй вычитаем первую, умноженную на 2 в) третью не меняем, т.к. там неизвестное х₁ и так отсутствует.

2 шаг: а) вторую строку делим на - 4 б) из третьей строки вычитаем новую вторую (поделенную на -4).

3 шаг: делим третью строку на (-7/4).

Последней матрице соответствует система:

или х₃ = -2 + 10/7х₄ + 3/7х₅

Глава 3

Формулы Крамера

Метод Крамера состоит в том, что мы последовательно находим главный определитель системы (5.3), т.е. определитель матрицы А

D = det (a_{i j})

и n вспомогательных определителей D _i (i=), которые получаются из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.

Формулы Крамера имеют вид:

D × x _i = D _i ( i  = ), (5.4)

Из (5.4) следует правило Крамера, которое дает исчерпывающий ответ на вопрос о совместности системы (5.3): если главный определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

x _i = D _i / D.

Если главный определитель системы D и все вспомогательные определители D _i = 0 (i= ), то система имеет бесчисленное множество решений. Если главный определитель системы D = 0, а хотя бы один вспомогательный определитель отличен от нуля, то система несовместна.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений:

x₁ +   x₂ +  x₃ +      x₄ = 5,

x₁ + 2x₂ -   x₃ +    4x₄ = -2,

2x₁ -  3x₂ -   x₃ -     5x₄ = -2,

3x₁ +   x₂ +2x₃ + 11 x₄ = 0.

Решение. Главный определитель этой системы:

значит, система имеет единственное решение. Вычислим вспомогательные определители D _i ( i = ), получающиеся из определителя D путем замены в нем столбца, состоящего из коэффициентов при x_i, столбцом из свободных членов:

Отсюда x₁ = D ₁/D = 1, x₂ = D ₂/D = 2, x₃ = D ₃/D = 3, x₄ = D ₄/D = -1, решение системы - вектор С=(1, 2, 3, -1)^T.

Глава 4

Матричный метод

Если матрица А системы линейных уравнений невырожденная, т.е. det A ¹ 0, то матрица А имеет обратную, и решение системы (5.3) совпадает с вектором C = A^-1B. Иначе говоря, данная система имеет единственное решение. Отыскание решения системы по формуле X=C, C=A^-1B называют матричным способом решения системы, или решением по методу обратной матрицы.

Пример. Решить матричным способом систему уравнений:

x₁ - x₂ +  x₃ = 6,

2x₁ + x₂ + x₃ = 3

x₁ + x₂ +2x₃ = 5

Решение. Обозначим:

Тогда данная система уравнений запишется матричным уравнением AX=B.

Поскольку, то матрица A невырождена и поэтому имеет обратную:

Для получения решения X мы должны умножить вектор-столбец B слева на матрицу A: X = A^-1B. В данном случае

и, следовательно,

Выполняя действия над матрицами, получим:

x₁ = 1/5(1×6+3×3-2×5) = 1/5 (6+9-10) = 1

x₂ = 1/5 (-3×6 +1×3 - 1×5) = 1/5 (- 18 + 3 + 5) = -2

x₃ = 1/5 (1×6 - 2×3 + 3×5) = 1/5 (6 -6 + 15) = 3

Итак, С = (1, -2, 3)^T.

Список литературы

1. Г.И. Кручкович. “Сборник задач по курсу высшей математике”, М. “Высшая школа”, 1973 год.

2. В.СШипачев. “Высшая математика”, М. “Высшая школа”, 1985 год.

3. Б.М. Владимирский, А.Б. Горстко, Я.М. Ерусалимский. «Математика. Общий курс», Ст.- Петербург, «Лань», 2002 год.