- •1. Неопределенный интеглал и его свойства
- •2. Замена переменных и интегрирование по частям
- •2.1 Замена переменных:
- •2.2 Интегрирование по частям:
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Универсальная тригонометрическая подстановка
- •5. Интегрирование квадратных рациональных выражений
- •6. Многочлены чебышева некоторые их приложения
- •7. Определенный интеграл. Формула ньютона-лейбница
- •8. Суммы дарбу. Интегрируемость непрерывных функций
- •8.1 Суммы Дарбу:
- •8.2 Интегрируемость непрерывных функций.
- •9. Свойства определенного интеграла
- •10. Численное интегрирование. Метод симпсона
- •Список литературы
4. Универсальная тригонометрическая подстановка
Переход в подынтегральной функции к переменной преобразуетR(sin x, cos x) в функцию , рационально зависящую от t;. Выразим sin x, cos x, dx через t: (делим на);(делим на). В результате все компоненты подынтегральной функции выражаются через функции, рационально зависящие отt. Пример 1:
Универсальная тригонометрическая подстановка всегда рационализирует подынтегральную функцию, с её помощью легко берутся интегралы вида(a, b, c - постоянные); однако часто она приводит к очень громоздким рациональным дробям, у которых, в частности, практически невозможно найти корни знаменателя. Поэтому при возможности применяются частные подстановки, которые тоже рационализируют подынтегральную функцию и приводят к менее сложным дробям.
Пример 2:
Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой:
, ,
Тогда:
Пример 3:
5. Интегрирование квадратных рациональных выражений
5.1 Интегралы вида (m1, n1, m2, n2, … - целые числа). В этих интегралах подынтегральная функция рациональна относительно переменной интегрирования и радикалов от х. Они вычисляются подстановкой x=ts, где s – общий знаменатель дробей ,, … При такой замене переменной все отношения=r1, =r2, … являются целыми числами, т. е. интеграл приводится к рациональной функции от переменной t:
5.2 Интегралы вида (m1, n1, m2, n2, … - целые числа). Эти интегралы подстановкой:
где s – общий знаменатель дробей ,, …, сводятся к рациональной функции от переменнойt.
5.3 Интегралы вида Для вычисления интеграла I1 выделяется полный квадрат под знаком радикала:
и применяется подстановка:
, dx=du.
В результате этот интеграл сводится к табличному:
В числителе интеграла I2 выделяется дифференциал выражения, стоящего под знаком радикала, и этот интеграл представляется в виде суммы двух интегралов:
где I1 – вычисленный выше интеграл.
Вычисление интеграла I3 сводится к вычислению интеграла I1 подстановкой:
5.4 Интеграл вида Частные случаи вычисления интегралов данного вида рассмотрены в предыдущем пункте. Существует несколько различных приемов их вычисления. Рассмотрим один из таких приемов, основанный на применении тригонометрических подстановок.
Квадратный трехчлен ax2+bx+c путем выделения полного квадрата и замены переменной может быть представлен в виде Таким образом, достаточно ограничиться рассмотрением трех видов интегралов:
Интеграл подстановкой
u=ksint (или u=kcost)
сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
5.5 Интегралы вида (m, n, p є Q, a, b є R). Рассматриваемые интегралы, называемые интегралами от дифференциального бинома , выражаются через элементарные функции только в следующих трех случаях:
если p є Z, то применяется подстановка:
x=ts,
где s – общий знаменатель дробей m и n;
если Z, то используется подстановка:
a+bxn=ts,
где s – знаменатель дроби
если Z, то применяется подстановка:
ax-n+b=ts,
где s – знаменатель дроби
Пример1: Это интеграл типаI. Подстановка x=a sin t.