- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •1. Краткие теоретические сведения
- •Первый множитель в (6) обращается в нуль в точках, для которых
- •3. Порядок выполнения работы
- •4. Обработка результатов эксперимента
- •5. Требования к оформлению отчета
- •6. Контрольные вопросы и задания
- •7. Литература
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная технологическая
академия им. П.А. Соловьева
КАФЕДРА ОБЩЕЙ И ТЕХНИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
УТВЕРЖДЕНО
на заседании методического
семинара кафедры ОиТФ
« » _________ 2007 г.
Зав.каф. Пиралишвили Ш.А.
Лаборатория «Волновая механика»
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА№ ВМ – 5
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНИЦ СПЕКТРА БЕЛОГО СВЕТА
С ПОМОЩЬЮ ДИФРАКЦИОННОЙ РЕШЕТКИ
-
Нормоконтроль
Автор: к. т. н., доцент Суворова З. В.
____________
___________________
Рецензент: к. ф–м. н., доцент Шалагина Е.В.
___________________
Рыбинск 2007
ТРЕБОВАНЯИ ПО ТЕХНИКЕ БЕЗОПАСНОСТИ
Лабораторная установка имеет подключение к электрической сети напряжением 220 В и частотой 50 Гц. Требуется соблюдать нормы электробезопасности согласно инструкции №170.
Специальные указания: гониометр Г-5 (прибор для измерения углов) выверен, требует аккуратного обращения.
Приступать к исполнению работы можно только после ознакомления с инструкцией по технике безопасности и описанием прибора.
Гониометр Г-5, на котором предстоит выполнить работу, точный оптический прибор, служащий для измерения углов с точностью до 1 секунды. Прибор настроен так, чтобы обеспечить успешное проведение измерений при минимальных затратах времени, поэтому не рекомендуется сбивать настройку прибора. Необходимо пользоваться только органами управления, помеченными цифрами.
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: исследование дифракционного спектра, создаваемого дифракционной решеткой.
ПРИБОРЫ И ОБОРУДОВАНИЕ: дифракционная решетка с периодом d = 0,01 мм, гониометр Г-5, осветитель, понижающий трансформатор.
1. Краткие теоретические сведения
Рис.
1.
На возможность геометрической интерпретации дифракции указывает принцип Гюйгенса. Пусть на непрозрачный экран с отверстием падает параллельный пучок света, которому соответствует плоский фронт волны (рис.1). Открытая часть, волнового фронта может рассматриваться как совокупность огромного числа виртуальных (от латинского virtual – возможный, вероятный) источников вторичных сферических элементарных волн. Согласно принципу Гюйгенса новый фронт волны – это огибающая всех элементарных фронтов волн. Дальнейшее направление распространения волны определится направлениями нормалей к волновому фронту. Из рис.1следует, что свет попадает в область геометрическойтени. Однако, указывая на геометрическую возможность дифракции, принцип Гюйгенса не позволяет провести аналитическое исследование дифракционной картины.
Анализ состояния светового поля за препятствием может быть выполнен на основе принципа Гюйгенса-Френеля, суть которого состоит в том, что световое колебание в точке пространства определяется как результат сложения колебаний от отдельных участков открытой части волнового фронта с учетом их фазы и амплитуды.
Рис.
2.
Пусть на бесконечно длинную щель падает плоская световая волна (рис2). Поместим за щелью собирающую линзу, а в фокальной плоскости линзы – экран. Волновая поверхность падающей волны, плоскость щели и экран параллельны друг другу. Поскольку щель бесконечна, картина, наблюдаемая в любой плоскости, перпендикулярной к щели, будет одинакова. Поэтому достаточно исследовать характер картины в одной такой плоскости, например в плоскости рис.2. Все вводимые в дальнейшем величины, в частности угол ,образуемый лучом с оптической осью линзы, относятся к этой плоскости.
Разобьем открытую часть волновой поверхности на параллельные краям щели элементарные зоны ширины . Вторичные волны,посылаемые зонами в направлении, определяемом углом , соберутся в точке экрана. Каждая элементарная зона создаст в точкеколебание, гдеЕ – напряженность электромагнитного поля световой волны. Амплитуда колебания, возбуждаемого зоной в любой точке экрана, будет зависеть только от площади зоны. Площадь пропорциональна ширине зоны . Следовательно, амплитудаколебания, возбуждаемого зоной ширины в любой точке экрана, имеет вид
,
где – константа.
Обозначим алгебраическую сумму амплитуд колебаний, возбуждаемых в некоторой точке экрана всеми зонами, через . Ее можно найти, проинтегрировав по всей ширине щели:
.
Отсюда , и, следовательно,
.
Теперь определим фазовые соотношения между колебаниями .Сопоставим фазы колебаний, возбуждаемых в точке элементарными зонами с координатами 0 и (рис. 2). Падающая волна –плоская, фронт ее отклоняется в результате дифракции на угол φ и занимает положениеOQ после прохождения щели, где Q – основание перпендикуляра, опущенного из точки О.Оптические пути итаутохронны (рис.2). Поэтому разность фазмежду рассматриваемыми колебаниями образуется на пути =. Если начальную фазу колебания, возбуждаемого вточке элементарной зоной, находящейся в середине щели, положить равной нулю, то начальная фаза колебания, возбуждаемого зоной с координатой , будет равна(– длина волны в данной среде).
Таким образом, колебание, возбуждаемое элементарной зоной с координатой в точке(положение которой определяется углом), может быть представлено в виде
(имеется в виду вещественная часть этого выражения).
Проинтегрировав это выражение по всей ширине щели, найдем результирующее колебание, возбуждаемое в точке открываемым щелью участком волновой поверхности:
.
Вынесем множители, не зависящие от , за знак интеграла. Крометого, введем обозначение . В результате получим
Выражение в фигурных скобках определяет комплексную амплитуду результирующего колебания. Приняв во внимание,что разность экспонент, деленная на , представляет собой,можно написать
Рис. 3.
Последнее выражение является вещественным. Его модуль представляет собой обычную амплитуду результирующего колебания:
. (1)
Для точки, лежащей против центра линзы, . Подстановкаэтого значения в формулу (1) дает для амплитуды значение .Этот результат можно получить более простым путем. При колебания от всех элементарных зон приходят в точку в одинаковой фазе. Поэтому амплитуда результирующего колебания равна алгебраической сумме амплитуд складываемых колебаний.
При значениях , удовлетворяющих условию:,т. е. в случае, если
, (2)
амплитуда обращается в нуль. Таким образом, последнее условиеопределяет положения минимумов интенсивности. Отметим, что представляет собой разность хода лучей, идущих в точкуот краев щели (см. рис.3).
Последнее условие легко получить из следующих соображений. Если разность хода от краев щели равна, открытую частьволновой поверхности можно разбить на равных по ширине зон Френеля, причем разность хода от краев каждой зоны будет равна(см. рис. 3, выполненный для). Колебания от каждойпары соседних зон взаимно погашают друг друга, так что результирующая амплитуда равна нулю. Если для точки разностьхода =, число зон будет нечетным, действие одной из них окажется некомпенсированным и наблюдается максимум интенсивности.
Интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, тогда из выражения (1) получаем
, (3)
где – интенсивность в середине дифракционной картины (против центра линзы),– интенсивность в точке, положение которой определяется данным значением.
Из последней формулы получается, что . Это означает, что дифракционная картина симметрична относительно центра линзы. Заметим, что при смещении щели параллельно экрану (вдоль оси на рис. 2)дифракционная картина, наблюдаемая на экране, остается неподвижной (ее середина лежит против центра линзы).
Рис.
4.
График последней функции изображен на рис.4. По оси абсцисс отложены значения , по оси ординат – интенсивность.
Количество минимумов интенсивности определяется отношением ширины щели к длине волны. Из условия (2) следует, что. Модульне может превысить единицу. Поэтому, откуда.
При ширине щели, меньшей длины волны, минимумы вообще не возникают. В этом случае интенсивность света монотонно убывает от середины картины к ее краям.
Краям центрального максимума соответствуют значения угла ,получающиеся из условия . Эти значения равны.Следовательно, угловая ширина центрального максимума равна .
В случае, когда , значениеможно положить равным . Тогда формула для угловой ширины центрального максимума упрощается следующим образом:
.
Решим задачу о дифракции Фраунгофера от щели методом графического сложения амплитуд. Разобьем открытую часть волновой поверхности на очень узкие зоны одинаковой ширины. Колебание, возбуждаемое каждой такой зоной, имеет одинаковую амплитуду и отстает по фазе от предыдущего колебания на одну и ту же величину , зависящую от угла, определяющего направление на точку наблюдения . Приразность фазравна нулю и векторнаядиаграмма имеет вид, показанный на рис.5 а. Амплитуда результирующего колебания равна сумме амплитуд складываемыхколебаний. Если , колебания от краев щели находятся в противофазе. Соответственно векторы располагаются вдоль полуокружности длиной (рис. 5. б). Следовательно, результирующая амплитуда равна . В случае, когда, колебания от краев щели отличаются по фазе на .Соответствующая векторная диаграмма изображена на рис. 5. в. Векторы располагаются вдоль окружности длиной. Результирующая амплитуда равна нулю – получается первый минимум. Первый максимум получается при . В этом случаеколебания от краев щели отличаются по фазе на . Строя последовательно векторы , мы обойдем полтора раза окружность диаметра (рис. 5.г). Диаметр этой окружности и есть амплитуда первого максимума. Таким образом, интенсивность первого максимума равна . Аналогичноможно найти и относительную интенсивность остальных максимумов. В итоге получится следующее соотношение:
.
Рис.
5.
В случае, когда ширина щели очень мала по сравнению с расстоянием от щели до экрана, лучи, идущие в точку от краев щели, будутпрактически параллельными и в отсутствие линзы между щелью и экраном. Следовательно, при падении на щель плоской волны будет наблюдаться дифракция Фраунгофера. Все полученные выше формулы будут справедливыми, причем под в этих формулахследует понимать угол между направлением от любого края щели к точке и нормалью кплоскости щели.
Дифракционной решеткой называется совокупность большого числа одинаковых, отстоящих друг от друга на одно и то же расстояние щелей (рис. 6). Расстояние между серединами соседних щелей называется периодом решетки.
Расположим параллельно решетке собирающую линзу, в фокальной плоскости которой поставим экран. Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране при падении на решетку плоской световой волны (для простоты будем считать, что волна падает на решетку нормально). Каждая из щелей даст на экране картину, описываемую кривой, изображенной на рис. 4. Картины от всех щелей придутся на одно и то же место экрана (независимо от положения щели, центральный максимум лежит против центра линзы). Если бы колебания, приходящие в точкуот различных щелей, были некогерентными, результирующая картина от щелей отличалась бы от картины, создаваемой одной щелью, лишь тем, что все интенсивности возросли бы враз. Однако, колебания от различных щелей являются в большей или меньшей степени когерентными; поэтому результирующая интенсивность будет отлична от (– интенсивность, создаваемая одной щелью).
В дальнейшем мы будем предполагать, что радиус когерентности падающей волны намного превышает длину решетки, так что колебания от всех щелей можно считать когерентными друг относительно друга. В этом случае результирующее колебание в точке , положение которой определяется углом , представляет собойсумму колебаний с одинаковой амплитудой, сдвинутых друготносительно друга по фазе на одну и ту же величину . Согласноформуле (3) интенсивность при этих условиях равна
(4)
(в данном случае роль играет).
Рис.
6
, (5)
где – длина волны в данной среде.
Подставив в формулу (4) выражение (3) для и (5) для, получим(6)
(– интенсивность, создаваемая одной щелью против центра линзы).