Варіант 4

Описати методику розв’язання задачі. Для виділених задач побудувати зображення комбінацій тіл.

1. Дан треугольник ABC, в котором АВ = 16 см, АС =12 см, ВС = 20 см. На стороне АВ взята точка М так, что ВМ : МА = 3:1. Через точку М проведена плоскость, пересекающая сторону АС в точке К. Найдите площадь треугольника АМК, если известно, что данная плоскость параллель­на ВС.

2. Средняя линия равностороннего треугольника равна см. Расстояния от точки пространствадо вершин треугольника равны по 5 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости треугольника.

3. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Некоторая точка, расположенная вне ромба, удалёна от всех сторон ромба на 8 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости ромба.

4. Две прямые, расстояние между которыми 17 см, принадлежат двум перпендикулярным плоскостям и параллельны прямой пересечения этих плоскостей. Расстояние от одной из данных прямых до прямой пересечения плоскостей равно 8 см. Докажите, что через данные прямые можно провести плоскость и вычислите расстояние до нее от линии пересечения данных плоскостей.

5. Ортогональная проекция прямоугольника, стороны которого 8 см и 6 см, наклонена к плоскости прямоугольника под углом 60°. Вычислите площадь проекции. Может ли эта проекция быть квадратом?

6. В прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки 20 см и 15 см. Расстояние от некоторой точки пространства до плоскости треугольника равно 24 см. Расстояния от этой точки до каждой стороны треугольника равны. Вычистите их.

7. Две пересекающиеся прямые АС и АВ пересекают боковую поверхность цилиндра в точках В и С. Тoчкa A является ортогональной проекцией точки А на плоскость основания цилиндра. Постройте линию пересечения плоскости основания цилиндра с плоскостью сечения ABC.

8. Точка М - середина стороны АВ параллелограмма ABCD. Выразите вектор -через вектор, где S - произвольная точка пространства.

9. Вычислите длину вектора , если(1; 1; - 1),(2; 0; 0).

10. Найдите координаты концов отрезка, который точками С(3; 4; 3) и D(2; 5; 4) разделен на три равные части.

11. Вычислите площадь параллелограмма, построенного на векторах (3; 0; -4) и(0; 5; 0)

12. Расстояние между боковыми ребрами наклонной треугольной призмы равны 10см, 10 см и 12 см. Боковое ребро имеет длину 15 см, длина его проекции на плоскость основания - 9 см. Вычислить площадь полной поверхности призмы.

13. В прямой треугольной усеченной призме боковые ребра: 17 см, 25 см и 30 см, а расстояние между ними соответственно: 18 см, 20 см и 34 см. Определить объем и площадь боковой поверхности этой усеченной призмы.

14. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна а, ее боковая поверхность равна S. Найдите угол между смежными боковыми гранями.

15. В основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом при основании. Две боковые грани, что содержат стороны этого угла, перпендикулярны к плоскости основания, а третья грань наклонена к ней под углом. Определить полную поверхность пирамиды, если меньшее боковое ребро равноl.

16. В основании пирамиды лежит прямоугольник. Две смежные боковые грани пирамиды перпендикулярны к плоскости основания, а две другие наклонены к ней под углами и(>). Определите боковую поверхность пирамиды, если высота пирамиды равна h.

17. Через вершину правильной n-угольной пирамиды и через две вершины многоугольника, лежащего в основании, к плоскости основания проведена плоскость, под углом к плоскости основания, рассекающая основание на два многоугольника, имеющие соответственно (r + 2) вершины и (r -2) вершины вершин . Найдите объем пирамиды, если общая сторона этих двух много угольников равнаb.

18. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, которая пересекает его нижнее основание по хорде, которую видно из центра этого основания под углом . Отрезок, которыйсоединяет центр верхнего основания цилиндра с серединой хорды нижнего основания, наклонен к плоскости нижнего основания под углом . Найдите площадь сечения, диагональ которого равна d.

19. Высота и образующая конуса относятся как 4:5, а объем конуса 96см. Найти его полную поверхность.

20. В шар вписан прямоугольный параллелепипед, диагональ которого образует с большей боковой гранью угол , угол между диагоналями основания параллелепипеда равен. Найдите поверхность шара, если высота параллелепипеда равна Н.

21. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с углом при вершине. Через основание треугольника нижней грани и противолежащую вершину верхней грани проведено сечение, которое образует с плоскостью основания призмы угол. Перпендикуляр, проведенный из вершины нижнего основания, которая не принадлежит данному сечению, к этому сечению, равенb, Найдите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

22. Основанием прямой призмы есть прямоугольник с углом между диагоналями. Диагональ одной из боковых граней образует с плоскостью основания угол, а диагональ смежной с ней боковой грани равнаm. Вычислите боковую поверхность цилиндра, описанного около данной призмы.

23. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен . Найдите объем пирамиды, если радиус шара, описанного около нее, равенR.