ТЭЦ Лекции
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
/102 |
|
Индуктивные и ёмкостные сопротивления для k-ой гармоники определяются как: |
|
|||||||||||||||
X Lk = k ω L , X Ck |
= |
1 |
, где ω = |
2 π |
– частота основной гармоники. |
|
||||||||||
kωC |
|
T |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Комплексное сопротивление для k-ой гармоники последовательной RLC-цепи определяется как: |
|
|||||||||||||||
Z k = R + Z Lk + Z Ck |
= R + j X Lk − j X Ck |
= R + jk ω L − j |
1 |
. |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
k wL- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
j×arctg |
k wC |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В показательной форме: Z k = |
R2 |
+ kω L − |
|
|
|
|
|
e |
R = Zk ejjk |
, |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
k ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где Zk – |
полное сопротивление цепи для k-й гармоники, ϕk – |
фазовый сдвиг между входным |
||||||||||||||||
током и напряжением цепи для k-й гармоники. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Пусть к последовательной RLC-цепи приложено периодическое негармоническое |
|||||||||||||||||
напряжение: u (t ) = U0 + Um1 cos (ωt + ψ1 ) + Um3 cos (3ωt + ψ3 ) . |
|
|
||||||||||||||||
Определим ток в цепи для нулевой гармоники: I0 |
= |
U0 |
|
= 0 . |
|
|
|
|||||||||||
Z0 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определим ток в цепи для первой гармоники: I 1 = |
Um1 ejy1 |
= |
Um1 |
ej(y1 -j1 ) , то есть |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Z ejj1 |
Z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||
Um1 |
|
|
2 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|||||||||
i1 (t ) = |
|
|
cos (ωt + ψ1 − ϕ1 ) , где Z1 = |
R |
|
+ ω L − |
|
|
|
|
– полное сопротивление цепи для первой |
|||||||
Z |
|
|
ωC |
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω L − |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
гармоники, ϕ |
= arctg |
ωC |
– |
фазовый сдвиг для первой гармоники. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Определим ток в цепи для третьей гармоники: I 3 = |
Um3 ejy3 |
|
= |
|
Um3 |
ej(y3 -j3 ) , то есть |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z3 ejj3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z3 |
|
|
|
|||||||||||
i3 (t ) = |
U |
m3 |
cos (3ωt + ψ3 − ϕ3 ) , где Z3 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
R2 + |
3ω L − |
|
|
|
|
|
|
|
|
– полное сопротивление цепи для |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3ω L − |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ωC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
третьей гармоники, ϕ = arctg |
|
3 |
– фазовый сдвиг для третьей гармоники. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Согласно принципу суперпозиции определим результирующий ток в цепи: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
i (t ) = I |
0 |
+ i (t ) |
+ i |
(t ) = |
Um1 |
|
cos (ωt + ψ − ϕ ) + |
Um3 |
cos |
(3ωt + ψ |
3 |
− ϕ ) . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
3 |
|
|
Z1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
Z3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Действующее значение тока определяется как: I = |
1 |
U |
2 |
|
|
|
+ |
U |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
m3 |
. |
||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Z1 |
|
|
|
Z3 |
|
Видно, что действующее значение тока не зависит от начальных фаз первой и третьей гармоник.
Спектры периодических негармонических сигналов
u (t)
E
− tи |
|
0 |
|
tи |
|
|
|
|
t |
|
2 |
|
tи |
2 |
T |
|
|
|
|
tи – длительность импульса. |
N = T – |
скважность. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим комплексный амплитудный спектр по ранее выведенной формуле: |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
F k |
= 2 |
2 |
f |
(t )e− jk ωt dt , то есть U k |
= 2 |
|
2 |
u (t )e− jk ωt dt . |
|
|||||||||||||||
|
|
T |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
|
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−T |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
После подстановки получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
tи |
|
|
|
|
|
|
tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tи |
|
|
U k = 2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 E × |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
∫ E e− jk ωt dt = 2 E |
∫ e− jk ωt dt = |
|
1 |
|
|
e− jk ωt |
= |
|||||||||||||||||
T |
− tи |
|
|
|
|
T |
− tи |
|
|
|
|
T |
|
|
(- jk w) |
|
− tи |
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
= 2 E × |
|
|
1 |
|
− jk ωtи |
jk ωtи |
= 2 E × |
1 |
|
jk ωtи |
|
− jk ωtи |
|
|||||||||||
|
|
|
e |
2 - e 2 |
|
e |
2 |
- e |
2 |
|
||||||||||||||
T |
(- jk w) |
|
|
|
|
|
|
T jk w |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Последнее выражение преобразуем к виду: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
× ej |
k ωtи |
k ωtи |
= 2 E × sin |
k wtи |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
U k = 2 E × |
|
1 |
tи |
2 |
|
- e− j 2 |
|
|
2 |
|
, учитывая, что w = |
|||||||||||||
T |
|
|
|
|
|
|
2 j |
|
N |
|
k wtи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k w |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U k |
= |
2 E |
sin k p |
= |
2 E |
× |
sin |
(xk |
) |
где |
xk |
= |
k π |
. |
|
|||||||
|
|
N |
× |
N |
N |
xk |
|
, |
N |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
k p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Запишем выражение в более компактном виде: |
sin (xk ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
U k = |
2 E |
f (xk ) , |
где f (xk ) = |
функция отсчётов. |
||||||||||||||||||||
|
N |
|
|
xk |
|
– |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Представим комплексный спектр U k , если N = 2 , E = 1 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3−2 −1 |
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
9 10 k |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим амплитудный спектр: Uk |
= U k = 2 E f (xk ) , если N = 2 , |
E = 1 В. |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 /102
2 π :
T
73 /102
1,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 |
Определим фазовый спектр как:
|
|
|
|
|
k p |
|
> 0 и при k = 0, |
||||
|
0, |
если |
sin |
|
|
|
|
||||
|
|
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
k p |
|
|
|
|
|||
|
p, |
если |
sin |
< 0 и при k > 0, |
|||||||
|
|
|
|||||||||
jk |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
N = 2 . |
|
= |
|
|
|
|
k p |
|
|
||||
|
-p, |
если |
sin |
< 0 и при k < 0, |
|||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0, k ¹ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
неопределено, если sin |
N |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−10 −9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
0 1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 10 |
|
−π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вывод: амплитудный спектр является чётной, а фазовый – |
нечётной функцией частоты. |
||||||||
Переходные процессы. Законы коммутации, начальные и конечные условия. |
В ТЛЭЦ различают установившиеся и неустановившиеся режимы.
Установившийся режим – состояние цепи, в котором все токи и напряжения являются периодическими функциями времени, либо постоянными величинами (в цепях постоянного тока).
Переходные процессы имеют место в неустановившемся режиме. Под переходными процессами понимают переход цепи из одного установившегося режима к другому.
u (t) i (t)
I установившийся режим
II установившийся режим t→∞
t = 0 момент коммутации
t
Из графика видно, что теоретически время переходного процесса равно бесконечности, но на практике это время зависит от параметров цепи.
74 /102
Возникновение переходных процессов обусловлено коммутацией в цепях с реактивными элементами. Коммутация – включение, выключение; переключение параметров схемы или скачкообразное изменение воздействующего сигнала.
Коммутирующее устройство на схеме изображают в виде идеального ключа, у которого при замыкании сопротивление равно нулю, а в разомкнутом состоянии равно бесконечности:
|
K |
K |
||||
|
|
|
|
|
|
|
ключ на замыкание |
ключ на размыкание |
|||||
Момент коммутации |
называется начальным |
моментом времени ( t = 0 ). В момент |
||||
коммутации действуют два закона коммутации: |
|
|
|
|||
I закон коммутации – |
ток в индуктивности в момент коммутации не изменяется скачком, а |
сохраняет значение, непосредственно предшествовавшее моменту коммутации.
L
iL (0+ ) = iL (0) = iL (0− ) .
IIзакон коммутации – напряжение на ёмкости в момент коммутации не изменяется скачком,
асохраняет значение, непосредственно предшествовавшее моменту коммутации.
C
uC (0+ ) = uC (0) = uC (0− ) .
Спомощью законов коммутации определяются начальные условия для тока в индуктивности
инапряжения на ёмкости. Под начальными условиями понимают значения токов и напряжений в момент коммутации.
Начальные условия, определяемые с помощью законов коммутации, называют
независимыми начальными условиями, то есть iL (0) , uC (0) .
Остальные являются зависимыми начальными условиями – определяются по законам Ома, Кирхгофа по схеме замещения, составленной в момент коммутации t = 0 .
В момент коммутации ( t = 0 ) в общем случае индуктивность можно заменить источником
тока с J = iL (0) , а ёмкость – |
источником напряжения с E = uC (0) . В частном случае при iL (0) = 0 |
и uC (0) = 0 индуктивность заменяется обрывом, а ёмкость – коротким замыканием. |
|
L |
J |
|
|
C |
E |
Для качественной оценки переходного процесса важно знать и конечные условия. Конечные условия – это значение токов и напряжений в установившемся режиме при t → ∞ .
75 /102
Схемы замещения реактивных элементов для установившегося режима постоянного тока:
L
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t→∞ |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Классический метод расчёта переходных процессов |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Сущность метода состоит в составлении и решении дифференциальных уравнений для |
|||||||||||||||||||||||||||||||
мгновенных значений токов и напряжений на основании законов Кирхгофа. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
a |
|
× |
d n f |
+ a |
|
× |
d n-1 f |
|
+ + a × |
df |
+ a = s (t ) , – неоднородное дифференциальное уравнение (НДУ) |
|||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
dt |
|
dt |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
n-1 |
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где a0 , …, an |
– |
|
коэффициенты, определяющие параметры цепи, f |
(t ) |
– реакция цепи, |
|
||||||||||||||||||||||||||||
s (t ) – приложенное внешнее воздействие от источника. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
Решение данного уравнения ищется в виде суммы общего |
fсв (t ) |
и частного fпр (t ) |
решений: |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (t ) = fсв (t ) + fпр (t ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
fсв (t ) |
– |
|
|
свободная составляющая, определяется из |
однородного |
дифференциального |
|||||||||||||||||||||||||
уравнения (ОДУ) вида: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
× |
d n fсв |
+ a |
n-1 |
× |
d n-1 fсв |
+ + a × |
dfсв |
|
+ a = 0 . |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
1 |
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
fпр (t ) |
– |
|
принуждённая |
составляющая, |
определяется |
методами |
расчёта |
цепей в |
|||||||||||||||||||||||
установившемся режиме при t → ∞ . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
По виду ОДУ получим характеристическое уравнение, |
осуществив замену: |
d |
® p , где p |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
является переменной характеристического уравнения (в общем случае эта переменная комплексная)
|
Характеристическое уравнение: a |
n |
× pn + a |
n-1 |
× pn-1 + + a × p + a = 0 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
||
Пусть pk – |
корни характеристического уравнения, при этом: |
|
|
|
||||||||||
1. |
Если p |
– |
вещественные и различные корни, то |
f |
св |
(t ) = A ×e p1 ×t + A ×e p2 ×t + + A ×e pn ×t . |
||||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
n |
||
2. |
Если pk |
– |
вещественные и равные корни, то |
fсв (t ) = ( A1 + A2 ×t + A3 ×t2 + + An ×t n-1 )×e p×t . |
||||||||||
3. |
Если p |
– |
комплексно-сопряжённые корни, то f |
св |
(t ) = A ×e-s×t |
×sin (w |
св |
×t + y) , где A – начальная |
||||||
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитуда и ψ – начальная фаза являются неизвестными постоянными величинами.
Порядок анализа переходных процессов классическим методом:
1.Анализ цепи до коммутации;
2.Определение независимых начальных условий iL (0), uC (0) ;
76 /102
3.Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации;
4.Анализ установившегося режима в цепи после коммутации t → ∞ ;
5.Определение свободной составляющей реакции цепи;
6.Нахождение общего вида реакции;
7.Определение постоянных интегрирования;
8.Определение реакции цепи;
Переходные процессы в цепях первого порядка. Включение последовательной RL-
цепи на постоянное напряжение
Задача: определить переходной ток в индуктивности. I этап.
K R
L
E
Ток в индуктивности до коммутации: iL (0− ) = 0 , поскольку ключ разомкнут.
II этап.
K R
Х.Х.
E
Согласно I закону коммутации: iL (0+ ) = iL (0) = iL (0− ) = 0 – начальное условие.
индуктивность заменяем разрывом. Схема замещения при t = 0 III этап.
Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации по II закону Кирхгофа.
R
E
L
I
Ri |
(t ) + u |
|
(t ) = E , поскольку u |
|
(t ) = L |
diL (t ) |
, то Ri |
(t ) + L |
diL (t ) |
= E – НДУ, его решение ищем |
L |
L |
|
|
|||||||
L |
|
|
|
dt |
L |
|
dt |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
iL (t ) = iLсв (t ) + iLпр (t ) . IV этап.
77 /102
Определим принуждённую составляющую тока в индуктивности при t → ∞ .
|
R |
|
|
|
E |
К.З. |
|
|
|
Индуктивность заменяем перемычкой. На основании закона Ома: i |
(t ) = lim i |
(t ) = E |
– конечное |
|
|
Lпр |
t →∞ L |
R |
|
условие. V этап.
Определим свободную составляющую, решая ОДУ: RiLсв (t ) + L diLсв (t ) = 0 . dt
Из ОДУ получим характеристическое уравнение, осуществляя замену d → p . dt
|
|
|
R + Lp = 0 , откуда p = − |
R |
= − |
1 |
|
[c−1], где τL = |
L |
[c] – |
постоянная RL-цепи. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
τL |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(t ) = |
|
− |
R |
t |
||||
Поскольку |
корень характеристического |
уравнения |
вещественный, то |
i |
Ae pt = Ae L – |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Lсв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободная составляющая переходного тока. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
VI этап. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общий |
|
вид |
переходного |
|
|
|
|
тока |
|
|
в |
индуктивности |
определяется |
в |
виде: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(t ) = i |
(t ) + i |
(t ) = Ae− |
R |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
i |
|
t |
+ |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
L |
Lсв |
|
Lпр |
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
VII этап. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) = 0 . i (0) = 0 = Ae− |
R |
0 + |
E |
, откуда A = − |
E |
|
|||||||||
Определим const A , используя начальное условие i |
L |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
R |
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
VIII этап. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставим const в общий вид переходного тока, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
iL (t ) = − |
|
E |
− |
R |
t |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
E |
|
− |
R |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e L |
+ |
|
|
|
= |
|
|
|
|
1− e L |
– |
окончательное решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
R |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Осуществим проверку полученного решения задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
iL (0) = |
|
E |
|
|
|
− |
R |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
− e L |
= 0 – |
удовлетворяет начальному условию; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
iL (∞) = |
E |
|
|
|
− |
R |
∞ |
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1− e L |
|
|
= |
|
|
|
|
|
– |
удовлетворяет конечному условию; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Можно определить переходные напряжения на индуктивности и резисторе:
78 /102
uL (t ) |
di |
t |
|
− R t |
|
|
− R t |
|
|
= L |
L ( |
|
) = Ee L , uR (t ) = RiL (t ) = E 1 |
- e L |
. |
||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Построим графики этих напряжений: |
|
|
|
|
|
||||
|
u(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τ |
τ |
|
τL |
3τL |
5τL |
t |
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
Переходной процесс завершается за время 3tL …5tL !!! |
|
|
|
|
Выключение последовательной RL-цепи от источника постоянного напряжения
Задача: определить переходной ток в индуктивности.
K R
L
E
Определим ток в индуктивности до коммутации: iL (0− ) = E .
R
На основании I закона коммутации: iL (0− ) = iL (0) = E – задача с ненулевым начальным условием.
R
Составим дифференциальное уравнение для цепи после коммутации:
По II закону Кирхгофа Ri |
(t ) + u |
|
(t ) = 0 , отсюда Ri |
(t ) + L × |
diL (t ) |
= 0 – ОДУ. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение ОДУ определяется видом характеристического уравнения: |
R + pL = 0 , p = - |
R |
= - |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
tL |
||
i (t ) = Ae pt , где A определяется из начального условия i |
(0) = |
E |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
R |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
(t ) = |
E |
− |
t |
|
|
(t ) = L |
di |
− |
t |
|
|
|
|
|
|
− |
|
t |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Окончательное решение i |
|
|
e τL , u |
L |
L |
|
= -Ee τL , u |
R |
(t ) = Ri |
(t ) = Ee τL . |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
L |
|
R |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
79 /102
u(t) |
E |
3τL |
0 |
−E |
5τL |
t |
Включение последовательной RC-цепи на постоянное напряжение
Задача: определить переходное напряжение на ёмкости.
K R
С
E
Определим напряжение на ёмкости до коммутации: uC (0− ) = 0 .
На основании II закона коммутации: uC (0− ) = uC (0) = 0 .
Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации:
По II закону Кирхгофа Ri |
(t ) + u |
|
(t ) = E , отсюда RC |
duC (t ) |
+ u |
|
|
(t ) = E – НДУ. |
||||||||||||||
C |
|
|
|
C |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Общий вид решения: uC (t ) = uCсв (t ) + uСпр (t ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Определим свободную составляющую: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
RC |
duCсв (t ) |
+ uCсв (t ) = 0 – |
ОДУ, характеристическое уравнение RCp +1 = 0 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uСсв (t ) = Ae pt , p = − |
1 |
|
= − |
1 |
. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
τC |
|
|
|
|
||||
Принуждённая составляющая при t → ∞ : uCпр |
(t ) = lim uC (t ) = E – конечное условие. |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t →∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(t ) = Ae− |
t |
+ E , где A = −E из начального условия u |
(0) = 0 . |
|||||||||||||||
Общий вид реакции: u |
C |
τC |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
Окончательное решение uC (t ) = E − Ee− |
|
, uR (t ) = E − uC (t ) = Ee− |
|
. |
|
|||||||||||||||||
τC |
τC |
|
u(t)
E
0 |
3τL |
5τL |
t |
80 /102
Выключение последовательной RC-цепи от источника постоянного напряжения
Задача: определить переходное напряжение на ёмкости.
K R
С
E
Определим напряжение на ёмкости до коммутации: uC (0− ) = E .
На основании II закона коммутации: uC (0− )
Составим дифференциальное уравнение цепи после коммутации:
По II закону Кирхгофа R i (t ) + u |
(t ) = 0 , отсюда RC |
duC (t ) |
|
+ u |
|
(t ) = 0 – ОДУ. |
|||||||||||
|
|
C |
|||||||||||||||
|
|
C |
C |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Характеристическое уравнение: |
RCp +1 = 0 , откуда p = − |
1 |
|
= − |
1 |
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
RC |
|
|
τC |
|
|||||
u |
С |
(t ) = Ae pt , где A = E определяется из начального условия u |
(0) = E . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
t |
t |
|
|
|
|
|
||||||
Окончательное решение uC (t ) = Ee− |
|
, uR (t ) = −uC (t ) = −Ee− |
|
. |
|
|
|
|
|
||||||||
τC |
τC |
|
|
|
|
|
u(t)
E
3τL
0 |
5τL |
t |
−E
Переходные процессы в цепях второго порядка. Включение последовательной
RLC-цепи на постоянное напряжение. Апериодический процесс.
Задача: определить переходное напряжение на ёмкости и ток в индуктивности.
K R
L
E
С
Напряжение на ёмкости до коммутации: uC (0− ) = 0 .
Ток в индуктивности до коммутации: iL (0− ) = 0 .
Согласно законам коммутации: