ТЭЦ Лекции
.pdf11 /102
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
C1 |
|
|
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cэкв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cэкв = ∑Cn . |
|
(26) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||||
4. Смешанное соединение резистивных элементов: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
uR |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uR |
|
|
|
|
|
Rэкв |
|
|
= R + |
R2 R3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
. |
|
(27) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
экв |
1 |
|
|
R2 + R3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Преобразование из «звезды» в «треугольник» и обратно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
r1 |
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r12 |
|
|
|
|
|
|
r31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Для сопротивлений из «звезды» в «треугольник» r |
|
= r + r |
+ |
r1r2 |
; r |
|
= r |
+ r |
+ |
r2 r3 |
; r |
= r |
+ r + |
r3r1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
23 |
2 |
3 |
31 |
3 |
1 |
|
r2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|||||||
Для проводимостей из «звезды» в «треугольник» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g12 |
= |
|
|
|
g1 g2 |
|
|
; g23 = |
|
|
|
|
|
g2 g3 |
|
|
; g31 |
= |
|
|
g3 g1 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
g1 |
+ g2 |
|
|
|
|
|
|
g1 + g2 + g3 |
g1 |
+ g2 + g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Для сопротивлений из «треугольника» в «звезду» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
r1 = |
|
|
|
|
r12 r31 |
|
|
|
; r2 = |
|
|
|
r23r12 |
|
; r3 |
= |
|
r31r23 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
r12 + r23 + r31 |
r12 |
+ r23 + r31 |
r12 |
+ r23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ r31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Для проводимостей из «треугольника» в «звезду» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
g = g + g |
31 |
+ |
g12 g31 |
; g |
2 |
|
= g + g |
23 |
+ |
g12 g23 |
; g |
3 |
= g |
23 |
+ g |
31 |
+ |
g23 g31 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
g23 |
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
g31 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Принцип наложения. Теорема замещения. Теорема взаимности. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
На этом принципе основан метод суперпозиции (наложения) анализа электрических цепей. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Напряжения и токи источников электрической |
энергии |
|
|
– воздействия, |
а напряжения и токи |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в отдельных ветвях цепи – |
реакции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Принцип |
|
наложения |
|
можно |
|
|
сформулировать |
следующим |
|
образом: реакция |
линейной |
электрической цепи (ЛЭЦ) на сумму воздействий равна сумме реакций от каждого воздействия в отдельности.
|
N |
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
i = ∑in , |
|
|
|
|
u = ∑un . |
(28) |
|||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
Теорема замещения: любую ветвь ЛЭЦ с напряжением u и током i можно заменить |
||||||||||
источником напряжения с Eист = u и источником тока с Jист = i . |
|
|
|
|
|
|||||
|
i |
|
i |
|
|
|
|
i |
|
|
ЛЭЦ u |
ЛЭЦ u |
|
ЛЭЦ |
|
|
u |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||
|
R |
|
|
|
Eист |
|
|
|
Jист |
|
|
|
|
|
|
Теорема взаимности: если источник напряжения, включённый в некоторую ветвь ЛЭЦ, составленной из пассивных двухполюсников, вызывает в другой ветви этой цепи некоторый ток, то тот же источник напряжения, будучи перенесён в эту вторую ветвь, вызовет в первой ветви прежний ток.
12 /102
1 |
|
i 2 |
1 i |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
пассивная |
|
|
|
|
|
|
|
пассивная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
цепь |
|
|
|
|
|
|
|
цепь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Eист |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eист |
||||
|
|
1’ |
|
|
|
|
2’ |
|
1’ |
|
|
|
2’ |
||
1 |
|
2 |
1 |
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
пассивная |
|
|
u |
|
|
u |
пассивная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Jист |
|
|
|
цепь |
|
|
|
|
|
|
|
цепь |
|
Jист |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1’ |
|
|
|
|
2’ |
|
|
1’ |
|
|
|
2’ |
Теорема об активном двухполюснике. Теорема Тевенина-Гельмгольца. Теорема Майера-Нортона.
Леон Шарль Тевенин |
Герман Людвиг |
Эдвард Нортон (Edward |
Ганс Фердинанд Майер |
(Léon Charles Thévenin), |
Фердинанд Гельмгольц |
Lawry Norton), 1898-1983, |
(Hans Ferdinand Mayer), |
1857-1926, французский |
(Hermann von Helmholtz), |
американский учёный и |
1895-1980, немецкий |
телеграфный инженер |
1821-1894, немецкий |
инженер |
математик и физик |
|
физик, физиолог и |
|
|
|
психолог |
|
|
Теорема об активном двухполюснике используется в случае, когда надо найти реакцию цепи (ток или напряжение) в одной ветви. При этом остальную часть цепи, к которой подключена данная ветвь, удобно рассматривать в виде двухполюсника. Активный двухполюсник – содержит источники электрической энергии, в противном случае двухполюсник пассивный.
Различают две модификации теоремы об активном двухполюснике:
Теорема об эквивалентном источнике напряжения (Теорема Тевенина-Гельмгольца): ток в любой ветви ЛЭЦ не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения (ЭДС) с напряжением (ЭДС), равным напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви и внутренним сопротивлением источника, равным эквивалентному входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
||
А |
|
|
|
|
|
Rист |
||||||||||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rэкв=Rист |
||||||
А |
|
Uхх=Eист |
П |
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема об эквивалентном источнике тока (Теорема Майера-Нортона): ток в любой ветви ЛЭЦ не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с током, равным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной эквивалентной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.
13 /102
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
А |
|
R |
|
Gист |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Jист |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Gэкв=Gист |
||||||
А |
|
Iк.з.=Jист |
П |
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Связь между эквивалентными источниками напряжения и тока выражается соотношениями:
E |
= J |
|
R |
, J |
|
= G |
E |
, G = |
1 |
. |
(29) |
ист |
ист |
|
|||||||||
ист |
|
ист |
|
ист |
ист |
ист |
Rист |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Принцип дуальности. Теорема Телледжена. Баланс мощности.
Бернард Телледжен
(Bernard D.H. Tellegen) 1900-1990, голландский инженер
Принцип дуальности: если для данной электрической цепи справедливы некоторые законы, уравнения или соотношения, то они будут справедливы и для дуальных величин в дуальной цепи. Приведем дуальные понятия:
1.Напряжение и ток (u и i)
2.Сопротивление и проводимость (R и G)
3.Индуктивность и ёмкость (L и C)
4.I и II законы Кирхгофа
5.Последовательное и параллельное соединения.
Теорема Телледжена: сумма произведений напряжений и токов всех ветвей цепи, удовлетворяющих законам Кирхгофа, равна нулю.
Nв |
|
|
∑un in = 0 . |
|
(30) |
n=1 |
|
|
Баланс мощности: для любой замкнутой электрической цепи сумма |
мощностей Pист , |
|
развиваемых источниками электрической энергии, равна сумме мощностей |
Pпот , расходуемой |
|
в приёмниках энергии. |
|
|
Pист = ∑ Pпот , или ∑(Ek Ik + UJk |
Jk ) = ∑ Ik2 Rk . |
(31) |
k |
k |
|
E I + UJ J = I12 R1 + I22 R2 + I32 R3 + I42 R4 , где UJ = E + I2 R2 .
R1 I1
|
|
E |
R3 I3 |
|||||||
|
|
|
|
I |
|
|
||||
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
UJ |
|
J |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
I2 |
|
|
|
I4 |
|
||||
|
|
|
|
|
14 /102
Метод токов ветвей и метод контурных токов (МТВ и МКТ).
Метод токов ветвей (МТВ) основан на законах Кирхгофа. Число уравнений по МТВ равно
количеству неизвестных токов ветвей и определяется как: |
|
Nмтв = Nв − NJ . |
(32) |
Количество уравнений, составляемых по I закону Кирхгофа, равно: |
|
NI = Nуз −1. |
(33) |
Количество уравнений, составляемых по II закону Кирхгофа, равно: |
|
NII = Nв − Nуз +1− NJ . |
(34) |
При составлении уравнений по II закону Кирхгофа следует выбирать независимые контуры, |
|
не содержащие источников тока. |
|
Метод контурных токов (МКТ) позволяет уменьшить количество уравнений до числа: |
|
Nмкт = Nв − Nуз +1− NJ . |
(35) |
Ток в любой ветви цепи можно представить в виде алгебраической суммы контурных токов, протекающих по этой ветви.
Выбирают и обозначают известные и неизвестные контурные токи.
Известные контурные токи – эти токи можно считать совпадающими с соответствующими токами источников тока, и они являются заданными по условию задачи.
Неизвестные контурные токи определяются по II закону Кирхгофа и для них составляется система уравнений в виде:
R11 I11 + R12 I22 +…+ R1k Ikk +…+ ∑ Jn Rn = E11; 1
R21 I11 + R22 I22 +…+ R2k Ikk +…+ ∑ Jn Rn = E22 ;
2 |
(36) |
|
|
Rk1 I11 + Rk 2 I22 +…+ Rkk Ikk +…+ ∑ Jn Rn = Ekk ; |
|
n |
|
где Rkk – собственное сопротивление контура k; Rkm – |
общее сопротивление контуров k и m, |
причём, если направление контурных токов в общей ветви для контуров k и m совпадают, то
Rkm > 0 , |
в противном случае |
Rkm < 0 ; Ekk – |
алгебраическая сумма ЭДС, включённых в ветви, |
|||||||||||||
образующие контур k; Rn – |
общее сопротивление ветви контура n с контуром, содержащим |
|||||||||||||||
источник тока. |
|
|
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I11 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
E1 |
|
|
|
E2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
J11 |
|
|
|
|
J |
I22 |
|
I4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
I11 , I22 – |
неизвестные контурные токи; |
R3 UJ |
|
|
R4 |
|
||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
J11 = J – |
известный контурный ток; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I1 , I3 , I4 |
– неизвестные токи в ветвях, которые определяются через контурные токи в виде: |
I1 = −I11, I3 = J11 − I22 , I4 = I22 .
Nмкт = Nв − Nуз +1− NJ = 6 − 4 +1−1 = 2
Система уравнений для контурных токов:
15 /102
R11 I11 + R12 I22 + ∑ R J = E11, 1
R21 I11 + R22 I22 + ∑ R J = E22 , 2
где R11 = R1, R12 = R21 = 0, R22 = R3 + R4 , ∑ RJ = 0, ∑ RJ = −R3 J11, E11 = E1 + E2 , E22 = −E1 − E2 .
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Перепишем уравнения в компактном виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
R1 I11 = E1 + E2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
( R3 + R4 ) I22 − R3 J11 = −E1 − E2 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Окончательно получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
I = −I = − |
E1 + E2 |
(А), I |
3 |
= J |
11 |
− I |
22 |
= |
J R4 + E1 + E2 |
(А), I |
4 |
= I |
22 |
= |
R3 J − E1 − E2 |
(А). |
||
|
|
|
||||||||||||||||
1 |
11 |
R1 |
|
|
|
|
R3 + R4 |
|
|
R3 |
+ R4 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Метод узловых напряжений (МУН).
Метод узловых напряжений (МУН) позволяет уменьшить количество уравнений до числа:
Nмун = Nуз −1− NЕ . |
(37) |
Сущность метода: определяются потенциалы всех узлов, а токи ветвей, соединяющих узлы, находят с помощью закона Ома по формуле (17). При составлении уравнений по МУН вначале полагают равным нулю потенциал какого-либо узла (его называют базисным). Для определения потенциалов оставшихся узлов составляется система уравнений вида:
V1 G11 −V2 G12 −…−Vs G1s −…−Vn G1n = ∑ E G + ∑ J ;
|
1 |
1 |
|
|
|
−V1 G21 + V2 G22 −…−Vs G2 s −…−Vn G2n = ∑ E G + ∑ J ; |
(38) |
||
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
−V1 Gn1 −V2 Gn 2 −…−Vs Gns −…+ Vn Gnn = ∑ E G + ∑ J ; |
|
||
|
|
n |
n |
|
Здесь Gss |
– сумма проводимостей ветвей, присоединенных |
к узлу s; Gsq – |
сумма |
|
проводимостей ветвей, непосредственно соединяющих узел s с узлом q. |
|
|||
∑E×G – |
алгебраическая сумма произведений ЭДС ветвей, примыкающих к узлу s, на их |
s
проводимости; при этом со знаком "+" берутся те ЭДС, которые действуют в направлении узла, и со знаком "–" – в направлении от узла; ∑J – алгебраическая сумма токов источников тока,
s
присоединённых к узлу s; при этом со знаком "+" берутся те токи, которые направлены к узлу s, а со знаком "–" – в направлении от узла s.
I1 R1
2 |
|
|
E1 4 |
|
|
|
E2 3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
R2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
UJ |
|
|
|
|
|
|
|
I4 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
J |
||||||||
|
|
R3 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
R4 |
||||||
|
|
|
1
Определим количество уравнений по МУН:
= Nуз −1− NЕ = 4 −1− 2 = 1
За базисный принимаем узел 4, из чего следует:
16 /102
V4 = 0 – |
|
потенциал узла 4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V2 = E1 – |
|
потенциал узла 2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V3 = −E2 |
|
– |
потенциал узла 3; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Составим уравнение вида (38) для определения V1 : |
|
|
|
|
||||||||||||
V1 G11 −V2 G12 −V3 G13 = ∑ E G + ∑ J . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим неизвестные коэффициенты нашего уравнения: |
|
|||||||||||||||
G = |
1 |
+ |
1 |
– проводимость ветвей, присоединённых к узлу 1; |
||||||||||||
|
|
|||||||||||||||
11 |
|
R3 |
|
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
G |
= |
1 |
|
– |
проводимость ветви, заключённой между узлами 1 и 2; |
|||||||||||
|
||||||||||||||||
12 |
|
R3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
= |
1 |
|
– |
проводимость ветви, заключённой между узлами 1 и 3; |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||
13 |
|
R4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ E G = 0 , поскольку нет ветвей с ЭДС, примыкающих к узлу 1; |
||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ J = −J , поскольку ток источника тока направлен от узла; |
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
После подстановки всех величин получаем уравнение в виде: |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V1 |
|
+ |
|
− E1 |
|
+ E2 |
|
|
= −J . |
|
|
|
|
|
|
|
R3 |
|
R3 |
R4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R4 |
|
|
Из последнего уравнения определяем неизвестный потенциал V1 |
(единица измерения – вольт). |
|||||||||||
На следующем этапе определяем с помощью законов Ома неизвестные токи в ветвях: |
||||||||||||
I = |
V3 −V2 |
= |
−E2 − E1 |
(А), I |
3 |
= |
V2 −V1 |
(А), I |
4 |
= |
V3 −V1 |
(А). |
|
|
|
|
|||||||||
1 |
R1 |
|
R1 |
|
R3 |
|
R4 |
|||||
|
|
|
|
|
|
Расчёт токов ветвей методом узловых напряжений с помощью матричных
уравнений
Пример 1. На рисунке изображена электрическая схема с шестью неизвестными токами;
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
U6 |
|
|
|
I4 |
|
|
U4 |
|||||
U1 |
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
I6 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
UE1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r4 |
|
|||
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
r6 |
|
||||||
|
|
|
|
U2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
r2 |
|
|
E2 |
|
2 |
|
|
|
|
r5 |
3 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
I |
|
|
|
I5 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
UE2 |
|
|
|
U5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
I3 |
|
|
|
E3 |
|
|
|
r3 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UE3 |
|
|
|
|
|
U3 |
|
ЭДС источников E1 = 6 В, E2 = 12 В и E3 = 18 В ; сопротивления ветвей: r1 = r2 = r3 = 2 Ом и r4 = r5 = r6 = 6 Ом . Пользуясь методом узловых потенциалов, определить токи в ветвях.
Решение. Пусть потенциал узла 0 равен нулю. Запишем уравнения с потенциалами ϕ1 , ϕ2 и ϕ3 :
( g1 + g2 + g3 )ϕ1 − g2ϕ2 − g3ϕ3 = −E1 g1 − E2 g2 − E3 g3 ;
−g2ϕ1 + ( g2 + g5 + g6 )ϕ2 − g5ϕ3 = E2 g2 ;
−g3ϕ1 − g5ϕ2 + ( g3 + g4 + g5 )ϕ3 = E3 g3 ,
17 /102
или после подстановки числовых значений проводимостей и ЭДС
3 |
ϕ − |
1 |
ϕ |
|
− |
1 |
ϕ |
|
= −18; |
− |
1 |
ϕ + |
5 |
ϕ |
|
− |
1 |
ϕ |
|
= 6; |
− |
1 |
ϕ − |
1 |
ϕ |
|
+ |
5 |
ϕ |
|
= 9. |
2 |
2 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
2 |
2 |
|
3 |
|
2 |
1 |
|
2 |
6 |
|
3 |
|
2 |
1 |
|
2 |
6 |
|
3 |
|
Решая совместно эти уравнения, находим искомые потенциалы: ϕ1 = −9 В ; ϕ2 = 3 В ; ϕ3 = 6 В . Для
определения токов в ветвях следует задаться из положительными направлениями. При выбранных положительных направлениях токов
I1 = (ϕ0 − ϕ1 − E1 ) g1 = 1, 5 А ; I2 = (ϕ1 − ϕ2 + E2 ) g2 = 0 А ; I3 = (ϕ1 − ϕ3 + E3 ) g3 = 1, 5 А ; I4 = (ϕ3 − ϕ0 ) g4 = 1 А ; I5 = (ϕ3 − ϕ2 ) g5 = 0, 5 А ; I6 = (ϕ2 − ϕ0 ) g6 = 0, 5 А .
Матричные уравнения узловых потенциалов.
Уравнения узловых потенциалов
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y +1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g11ϕ1 − g12ϕ2 −…− g1 p ϕ p −…− g1 y ϕy = J1 + ∑ E1 j g1 j = Jc1; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j=2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j¹1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y +1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 −…− g2 p ϕ p −…− g2 y ϕy |
= J2 + ∑ E2 j g2 j = Jc 2 ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−g21ϕ1 + g22 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j ¹2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
………………………………………………………………… |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y +1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−g p1ϕ1 − g p 2ϕ2 −…+ g pp ϕ p −…− g py ϕy = J p + ∑ Epj g pj = Jcp ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j ¹ p |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
………………………………………………………………… |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y +1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−g y1ϕ1 − g y 2ϕ2 −…− g yp ϕp −…+ g yy ϕy |
= J y + ∑ Eyj g yj = Jcy ; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j =1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j ¹ y |
||||||
можно записать в матричной форме: |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g( y )ϕ = Jc , |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|
|
где |
|
−g12 |
… −g1y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
g11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
g( y ) = |
−g21 |
g22 |
… −g2 y |
|
|
|
– |
квадратная матрица проводимостей схемы; |
|||||||||
|
|
|
… |
… |
… … |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
−g y1 |
−g y 2 |
… g yy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
Jc1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ϕ = |
ϕ |
|
= |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
и Jc |
|
|
|
c2 |
– матрица-столбец потенциалов узлов и матрица-столбец токов источников |
|||||||||||
|
… |
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕy |
|
|
|
|
|
Jcy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тока |
в |
узлах, где |
|
|
|
(по |
общей формуле для любого узла p при ϕy+1 = 0 : |
||||||||||
|
|
|
y+1 |
|
|
|
|
|
y +1 |
|
|
|
|
||||
g pp ϕ p −∑ g pj ϕ j =J p +∑ Epj g pj =Jcp ) |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
j =1 |
|
|
|
|
|
j=1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
j ¹ p |
|
|
|
|
|
j¹ p |
|
|
|
|
||||
Jci = Ji |
+ ∑ Eij gij ; |
при этом |
алгебраическое суммирование, выполняемое с учётом знаков, |
распространяется на все ветви с источниками токов и с источниками напряжений, присоединённые к i-му узлу.
Умножая уравнение (1) на |
|
|
|
g( y ) |
|
|
|
-1 |
, получим выражение для определения потенциалов узлов |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
схемы в виде ϕ = |
|
|
|
g( y ) |
|
|
|
-1 |
Jc , где |
|
|
|
g( y ) |
|
|
|
-1 |
|
– |
матрица, обратная матрице |
|
|
|
g( y) |
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрицу узловых проводимостей цепи можно составить непосредственно по соответствующей схеме, применяя формулу
18 /102
g( y ) = Agd AT ,
(2)
где A – матрица соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа; gd – диагональная матрица проводимостей ветвей; AT – транспонированная матрица
соединения узловых проводимостей ветвей схемы или её ориентированного графа.
Матрица A составляется следующим образом: столбцы матрицы соответствуют ветвям схемы, а её строки – узлам; на пересечении строки и столбца записывается ±1 или 0 (пробел) в зависимости от того, присоединена данная ветвь к соответствующему узлу или нет; положительный знак записывается в том случае, когда ветвь направлена от узла, а отрицательный
– к узлу; при этом направление ветви обычно совмещается с положительным направлением тока в ней.
Для иллюстрации применения формулы (2) рассмотрим вышеприведённую схему, для которой построим ориентированный граф.
0
U4
U1
U6
1 |
U2 |
U5 |
3 |
|
|
||
|
|
2 |
U3 |
|
|
|
Поскольку у заданной схемы четыре узла, то для неё можно составить три независимых уравнения, чему и соответствует матрица соединения узловых проводимостей ветвей из трёх
|
−1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
строк и шести столбцов: A = |
0 |
−1 |
0 |
0 |
−1 |
|
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
0 |
−1 |
1 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g1 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
g2 |
0 |
|
|
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
||
Диагональная матрица проводимостей ветвей g |
|
= |
1 |
|
равна: |
g |
|
= |
|
0 |
0 |
|
|
g3 |
0 |
|
0 |
0 |
|
|
|
. |
|||||||||||||
k |
|
|
|
|
|
d |
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
g4 |
|
0 |
0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
rk |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
g5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
g6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−g1 |
|
|
g2 |
|
|
g3 |
0 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Произведение матриц A и gd равно: Agd |
= |
|
0 |
|
−g2 |
0 |
0 |
|
|
−g5 |
g6 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
−g3 |
g4 |
|
|
g5 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Матрица узловых проводимостей цепи получается после перемножения матриц Ag |
d |
и AT : |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
−g1 |
|
g2 |
g3 |
|
|
|
|
0 |
0 |
|
0 |
|
1 |
−1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
g( y ) = Agd AT = |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
0 |
−g2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 −g5 |
|
g6 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
0 |
|
−g3 |
|
|
|
g4 |
g5 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
/102 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица-столбец потенциалов узлов ϕ = |
ϕ2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матрица-столбец источников тока Jc |
= |
|
−E1 g1 − E2 g2 − E3 g3 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
E2 g2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E3 g3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пользуясь выражением |
(1), легко получить систему уравнений, приведённую в примере 1. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Если матрицу A дополнить |
четвёртой строкой, соответствующей узлу 0, то по формуле |
(2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
получится неопределённая матрица узловых проводимостей цепи, для которой сумма элементов |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
по всем четырём строкам и четырём столбцам равна нулю; определитель такой матрицы тоже |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
равен нулю. После вычёркивания любой строки и соответствующего этой строке столбца, |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
например четвёртой строки и четвёртого столбца, получается определённая квадратная матрица |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
третьего порядка. Определитель такой матрицы симметричен относительно главной диагонали. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
Если вычеркнутая строка не соответствует вычеркнутому столбцу, то и в этом случае получается |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
определённая квадратная матрица, соответствующая независимой системе уравнений. Однако |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
определитель такой матрицы уже не имеет симметрии относительно главной диагонали. Если |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
принять равным нулю потенциал того же узла схемы , который соответствует вычеркнутой строке |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
матрицы A, то напряжения на всех ветвях схемы определяются через потенциалы узлов по |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
формуле Uв = AT ϕ , где положительное |
направление Uв совпадает |
с положительным |
|
||||||||||||||||||||||||||||
направлением тока в ветви. Это непосредственно получается из формул для напряжения на |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
каждой ветви. Например, для вышеприведённой схемы |
|
|
|
|
−ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
U1 |
|
|
|
−1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
U2 |
|
|
|
1 |
|
−1 |
0 |
|
|
|
|
ϕ1 |
|
ϕ1 − ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
U3 |
|
|
|
1 0 −1 |
|
|
|
|
|
ϕ1 − ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
|
ϕ2 |
= |
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
U4 |
|
|
|
0 |
|
0 |
1 |
|
|
|
|
ϕ3 |
|
|
|
|
|
ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
U5 |
|
|
|
0 |
|
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
−ϕ2 + ϕ3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
U6 |
|
|
|
0 |
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из этого выражения следует: U1 = −ϕ1 ; U2 |
= ϕ1 − ϕ2 ; U3 = ϕ1 − ϕ3 ; U4 = ϕ3 ; U5 |
= ϕ3 − ϕ2 ; U6 = ϕ2 . |
|
||||||||||||||||||||||||||||
Зевеке Г. В., Ионкин П. А., Нетушил А. В., Страхов С. В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. Изд. 4-е, пер. М., «Энергия», 1975. 752 с. Стр. 41-44. |
|
Расчёт токов ветвей методом контурных токов с помощью матричных уравнений
Уравнения контурных токов
r11I1 + r12 I2 +…+ r1l Il +…+ r1k Ik = E1; |
||||||||
r I + r I |
+…+ r I |
+…+ r I |
= E ; |
|||||
21 1 |
22 2 |
2l l |
2k k |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
…………………………………………… |
||||||||
r I + r |
I |
+…+ r I |
+…+ r I |
= E ; |
||||
l1 1 |
l 2 |
|
2 |
ll l |
|
lk k |
|
l |
…………………………………………… |
||||||||
|
+ r |
I |
+…+ r I |
+…+ r I |
|
= E ; |
||
r I |
|
|||||||
k1 1 |
k 2 |
2 |
kl l |
kk k |
k |
|||
с учётом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∑ rlj I j |
= El + ∑rlj Jlj = Ecl , |
|
|
|
|
∑ rlj Il |
|||
|
|
|
|
j |
|
j |
j |
|
|
|
|
|
|
j¹l |
|
|
|
|
обозначают собственное сопротивление контура l; |
||||
где |
∑ rlj |
||||||
|
j |
|
|
|
|
|
|
rlj – общее сопротивление двух контуров l и j;
Jlj – ток источника тока, замыкающийся по сопротивлению rlj , можно записать в матричной форме:
20 /102
r(k )Ι(k ) = Ε(ck )
(3)
где r(k ) – квадратная матрица контурных сопротивлений; Ι(k ) – матрица-столбец контурных токов;
Ε(ck ) – матрица-столбец контурных ЭДС, учитывающая источники ЭДС и эквивалентные ЭДС от источников тока.
После умножения уравнения (3) слева на r(k ) −1 получим:
Ι(k ) = r(k ) −1 Ε(ck ) .
Матрицу контурных сопротивлений r(k ) можно получить непосредственно по схеме при помощи матрицы соединения контурных сопротивлений B :
|
r(k ) = Br BT , |
|
(4) |
|
|
d |
|
|
|
где rd |
– диагональная матрица сопротивлений ветвей; |
|
|
|
BT – |
транспонированная матрица соединения контурных сопротивлений. |
|||
|
Матрица соединения контурных сопротивлений B составляется так, что её строки |
|||
соответствуют независимым контурам, а столбцы – ветвям. |
На пересечении строки и столбца |
записывается ±1 или 0 (пробел) в зависимости от того, входит или не входит данная ветвь в соответствующий контур; положительный знак принимается в том случае, если направление ветви совпадает с направлением обхода контура, а отрицательный знак – если не совпадает. При этом направление обхода каждого контура принимается совпадающим с положительным направлением соответствующего контурного тока, а направления ветвей – с положительными направлениями токов в ветвях.
Для получения независимых контуров следует сначала выбрать дерево схемы, что в свою очередь определяет ветви связи, а следовательно, и контурные токи. Для составления дерева схемы выбирается узел (в котором, желательно, соединяется максимальное число ветвей), а затем выбираются все остальные ветви, так, чтобы не было замкнутых контуров, но чтобы в итоге соединить все узлы.
Для иллюстрации на рисунке приведена схема с выбранным деревом из четвёртой, пятой и шестой ветвей.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|||||
|
r1 |
|
|
I5 |
r2 |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
UE1 |
|
|
I1к |
|
|
r5 |
|
|
E2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I2к |
|
|||||||||
|
|
E1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
r4 |
|
|
|
r6 |
UE2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
E4 |
|
|
|
3 |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I4 |
4 |
|
I6 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
UE4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
I3к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r3 |
|
|
|
|
E3 |
|
|
|
|||||
|
|
I3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
UE3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В этом случае независимые контуры |
содержат |
контурные токи I1 , I2 и I3 , что |
соответствует первой, второй и третьей ветвям связи.
Для вышеприведённой схемы построим ориентированный граф.