prak_elektr

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Время движения электрона в конденсаторе:

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.06.2015

Размер:

313.43 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Примеры решения задач к практическому занятию по темам «Электростатика», «Электроемкость. Конденсаторы»

Приведенные примеры решения задач помогут уяснить физический смысл законов и явлений, способствуют закреплению изучаемых разделов курса общей физики.

Пример 1.

Два точечных заряда q1 = 1 нКл и q2 = – 2 нКл находятся на расстоянии d = 10 см друг от

→

друга. Определить напряженность E и потенциал φ поля, создаваемого этими зарядами в

точке А, удаленной от заряда q1		на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2	на расстояние r2 = 7
см.
Дано:		Решение:
Дано:		Решение:
q1 = 1 нКл =10−9 Кл	По принципу суперпозиции
q2 = – 2 нКл =	По принципу суперпозиции
−2 10−9 Кл		→
−2 10−9 Кл	напряженность E
d = 10 см = 0,1 м	электрического поля в искомой
r1 = 9 см = 0,09 м	точке равна векторной сумме
r2 = 7 см = 0,07 м		→ →
r2 = 7 см = 0,07 м	напряженностей E1 и E2 полей,
создаваемых каждым зарядом в отдельности:
→	→	→
E = E1 + E2 .
→
Вектор E1 направлен по силовой линии от заряда q1 , так			как

→

заряд q1 положителен; вектор E2 направлен по силовой

→

линии к заряду q2 , так как заряду q2 отрицателен. Абсолютное значение вектора E найдем по теореме косинусов:

E = E12 +E22 +2E1E2 cosα = E12 +E22 −2E1E2 cosβ ,

→→

где: α – угол между векторами E1 и E2 , β = π – α.

Напряженность электрического поля в воздухе (ε = 1), создаваемого точечными зарядами

q1 и q2

равна:

4πε

где: k =

=9 10

−9

Н м2

4πε0

Кл2

Из треугольника со сторонами r1 , r2 , d:

d2 = r2

+ r

− 2r r

cosβ ,

+ r2

−d2

92 + 72 −102

cosβ =

2 9 7

= 0,238 .

2r r

Подставив, находим:

E =

2 cosβ .

4πε

2 − 2

Размерность:

[E]=

Н м2

Кл

Дж

м Кл

Кл2

м2

Кл

Вычисления:

−9 2

2 10−9

2 10−9 2 10

−9 0,238

E = 9 10

−

(9 10−2 )2

(7 10−2 )2

(9 10−2 )2

(7 10−2 )2

кВ

Е =3,58 10

=3,58

По принципу суперпозиции потенциал электрического поля, созданного двумя зарядами q1 и q2 равен алгебраической сумме потенциалов полей, созданных каждым

зарядом в отдельности:

ϕ=ϕ1 +ϕ2 .

Потенциалы электрических полей, созданных в воздухе точечными зарядами q1 и q2 :

ϕ =	q1			,	ϕ	2	=	q2			.
			r
1	4πε	0						4πε	0	r
Подставим, получим:			1							2

ϕ =

4πε

4πε r

4πε

0 1

Размерность:

Кл

= Н м = Дж =В.

[ϕ]= Н м2

Кл

При вычислении φ следует учитывать знак заряда:

10−9

2 10−9

ϕ=9 10

= −157(В) .

−2 −

−2

9 10

7 10

Ответ: Е = 3,58 кВ/м, φ = – 157 В.

Пример 2.

Ромб (рис.7) составлен из двух равносторонних треугольников со сторонами а = 0,25 м. В вершинах при острых углах ромба помещены заряды q1 = q2 = 2,5 10−9 Кл. В вершине при одном из тупых углов ромба помещен заряд q3 = −5 10−9 Кл. Определить напряженность электрического поля в четвертой вершине ромба. Какая сила будет действовать на заряд q4 = − 2 10−9 Кл, помещенный в эту вершину.

Дано:

q1 = q2 = 2,5 10−9 Кл а = 0,25 м

q3 = −5 10−9 Кл q4 = − 2 10−9 Кл

Е = ?, F = ?

→

Модуль вектораE :

Решение:

→

По принципу суперпозиции напряженность E электрического поля в искомой точке равна

→ → →

векторной сумме напряженностей E1 , E2 , E2 полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

→	→	→	→
E	= E1	+E2	+E3 .

E = E2x +E2y ,

→

где: Ex и Ey проекции вектора E на координатные оси. При выбранном направлении осей:

E x = E1 cos α +E 2 cos α −E 3 , E y = −E1 sin α +E 2 sin α .

Напряженности полей, создаваемых зарядами q1 , q2 , q3 соответственно равны:

4πε0a 2

4πε0a2

Учитывая, что q1 = q2 , получим:

Ex = 2

cosα−

Ey = 0 .

4πε0a 2

Следовательно:

4πε0a 2

E = E2x +E2y = Ex .

Размерность:

[E]=

Н м2

Кл

Дж

м2

Кл

Вычисления:

Кл2

м Кл

109 (2 2,5 10−9 0,5 −5 10

−9 )

= −360

(2,5 10−2 )2

→

Знак минус указывает на то, что проекция Ex , а следовательно и вектор E направлены противоположно оси Х.

Сила, действующая на зарядq4 , равна:

F = q4E = 2 10−9 Кл 360 Н/Кл= 0,72 10−6 H = 0,72мкН . Ответ: Е = 360 В/м, F = 0,72 мкН.

Пример 3.

Пример на нахождение работы электрического поля (из лекции 2).

Пусть ϕ = kQr - потенциал, создаваемый точечным зарядом Q.

A = q(ϕ1 −ϕ2 ) - работа электрического поля по перемещению заряда q из точки с

потенциалом ϕ1 в точку с потенциалом ϕ2.

При расчете необходимо знать расстояние r1 от начальной точки до точечного заряда Q и расстояние r2 от конечной точки до точечного заряда Q. Сначала найти по формуле ϕ1 и ϕ2, затем работу электрического поля А.

Пример 4.

Тонкий стержень длинной L = 20 см несет равномерно распределенный заряд. На продолжении оси стержня на расстоянии а = 10 см от ближайшего конца находится точечный заряд q1 = 40 нКл, на который со стороны стержня действует сила F = 6 мкН. Определить линейную плотность τ заряда на стержне.

Дано:		Решение:
L = 20 см = 0,2 м		Решение:
L = 20 см = 0,2 м
а = 10 см = 0,1 м
q1 = 40 нКл = 40·10–9
Кл
F = 6 мкН = 6·10–6 Н
τ = ?
τ = ?

Сила взаимодействия F заряженного стержня с точечным зарядом q1 зависит от линейной плотности τ заряда на стержне. При вычислении силы F следует иметь ввиду, что заряд на стержне не является точечным, поэтому закон Кулона непосредственно применить нельзя. В этом случае можно поступить следующим образом. Выделим на стержне (рис.8) малый участок dr с зарядом dq = τ·dr. Этот заряд можно рассматривать как точечный. Тогда, согласно закону Кулона:

dF = q1τdr . 4πε0 r2

Интегрируя это выражение в пределах от а до а + L получим:

a+L dr

−

τL

4πε0

∫a r2

4πε0a(a +L)

4πε0 a

Отсюда линейная плотность заряда:

τ =

4πε0a(a + L)F

где: ε

Кл2

q1L

4π·9·109 Н м2

Размерность:

[τ]=

м м Н

Кл

Н м2

Кл м

0,1 (0,1+0,2) 6 10−6

−9

Кл

нКл

Вычисления:

τ =

= 2,5 10

= 2,5

109

40 10−9 0,2

Ответ: τ = 2,5 нКл/м.

Пример 5.

Электрическое поле образованно положительно заряженной бесконечной нитью с линейной плотностью заряда τ = 2·10-9 Кл/см. Какую скорость получит электрон, приблизившись к нити с расстояния r1 = 1 см до расстояния r2 = 0,5 см от нити.

	Дано:	Решение:
τ = 2·10–9 Кл/см = 2·10–7
τ = 2·10–9 Кл/см = 2·10–7
Кл/м
r1	= 1 см = 10–2 м
r2	= 0,5 см = 0,5·10–2 м
е = – 1,6·10–19 Кл
v2 = ?

Систему заряженная нить-электрон можно рассматривать как замкнутую. Полная энергия электрона, двигающегося в потенциальном поле заряженной нити, будет постоянной:

Wk +Wp = const ,

где: Wk = mv2 2 – кинетическая энергия электрона, Wp = eϕ– потенциальная энергия электрона.

На основании закона сохранения энергии:
	mv2	+ eϕ =		mv2	+ eϕ			.
	1			2			2

2			1	2
2				2
Учитывая, что v1 = 0, получим:			2e(ϕ1 −ϕ2 )
	v2	=	2e(ϕ1 −ϕ2 )			.
	v2	=		m		.
				m

Для определения разности потенциалов используем связь между напряженностью поля

Решение: На заряженную частицу в

электрическом поле действует сила Кулона:

и изменением потенциала:

→

E = −gradϕ .

Для поля с осевой симметрией, каким является поле заряженной бесконечной нити, это соотношение можно записать в виде:

E = −	dϕ	, откуда dϕ = −Edr .
	dr

Интегрируя это выражение, найдем разность потенциалов, двух точек отстоящих на расстояния r1 и r2 от нити:

ϕ2 −ϕ1 = −∫Edr .

Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной нитью:

E =

2πε0 r

∫

(ln r2

−ln r1 )= −

ϕ2 −ϕ1 = −

2πε

r =−

2πε

ln r

v2 =

m 2πε

ln r

Размерность:

[v2 ]=

Кл

Н м2 =

Н м

кг м

м2

м .

Вычисления:

кг

Кл2

кг

с2

кг

с2

v2 =

2 1,6 10−19 2 9 109 2 10

−7 ln 2

= 2,96 10

7 м

9,11 10−31

с .

Ответ: v2 = 29,6 Мм/с.

Пример 6.

Расстояние между пластинами плоского конденсатора d = 4 см. Электрон начинает двигаться от отрицательной пластины в тот момент, когда от положительной пластины начинает двигаться протон. На каком расстоянии от положительной пластины они встретятся?

Дано:

d = 4 см

qe = qp = 1,6·10–19 Кл me = 9,11·10–31 кг mp = 1,67·10–27 кг

	→	→
х = ?
	F	= q E .

Силой тяжести пренебрегаем, т.к.

meg <<qe E , mpg << qp E .

По второму закону Ньютона, т.к. силы не зависят от времени, движение электрона и протона равноускоренное. Начальная скорость обеих частиц равна нулю. Обозначим путь, пройденный протоном через х, тогда электрон до встречи пройдет путь d – x:

x = a p2t2 , d − x = ae2t2 ,

где: t- время движения частиц.

→

Найдем ускорение частиц: a

, следовательно

qp E

a p =

Тогда:

qp E

x =

d − x =

E t2

Составим соотношение:

qp E t 2

d −x

mp 2

qe E t 2

откуда:

x mp = d me −x me ,

x =

d .

mp +me

Проверка размерности:

кг м

[x]=

= м .

кг-кг

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

	9,11 10−31	4 10−2		−6	(м) = 2,2(мкм) .
x =			= 2,2 10
	1,67 10−27 +	9,11 10−31

Ответ: х = 2,2 мкм.

Пример 7.

Протон и α - частица, двигаясь с одинаковой скоростью, влетают в плоский конденсатор параллельно его пластинам. Во сколько раз отклонение протона полем конденсатора будет больше отклонения α - частицы.

			Дано:		Решение:

					Заряженная частица, влетев в конденсатор
v0α			= v0p
				параллельно пластинам (вдоль оси Х) со
mα			= 4mp
					→
qα = 2qp
				скоростью v0x , испытывает со стороны поля
	y	p	=?	конденсатора действие кулоновской силы
				→	→
	yα
				F	= q E , направленной перпендикулярно

пластинам конденсатора (вдоль оси Y). Согласно 2-му закону Ньютона движение частицы вдоль оси Y будет равноускоренным:

a y =	F	=	qE	.
	m
			m

Отклонение частицы перпендикулярно пластинам (вдоль оси Y):

						a	y	t 2
					y = v0x t +		y		.
					y = v0x t +		2		.
		a		t2			2
		a	y	t2
Так как v0 y = 0 , то:	y =		y		.
Так как v0 y = 0 , то:	y =		2		.
			2

Движение частицы параллельно пластинам равномерное (вдоль оси Х), поэтому время движения частицы в конденсаторе:

t =	L	,

	v0x

где: L – длина пластины конденсатора,

v0x – скорость движения частицы параллельно пластинам. Тогда отклонение частицы полем конденсатора примет вид:

a y t2

qE L2

y =

v0x

2m v0x

qp E

qαE L2

2mp

2mα v02α

v02p

qp E

= 2 .

0α

yα

2mp

qα

v0p

qαE L

mp qα

Отклонение протона полем конденсатора в два раза больше отклонения α - частицы, при условии, что обе частицы влетели в конденсатор параллельно пластинам с одинаковой скоростью.

Пример 8.

Электрон влетает в плоский горизонтальный конденсатор параллельно его пластинам со скоростью v0x = 107 м/с. Напряженность поля в конденсаторе Е = 100 В/см, длина конденсатора L = 5 см. Найти величину и направление скорости электрона при вылете его из конденсатора.

Дано:	Кл	Решение:
q = 1,6·10–19	Кл
m = 9,11·10–31 кг
v0x = 107 м/с
Е = 100 В/см =
=10000 В/м
L = 5 см = 5·10–2 м
v = ?, α = ?

Пусть напряженность электрического поля в конденсаторе направлена сверху вниз. Тогда на электрон, влетевший в конденсатор параллельно его пластинам со скоростью

→	→	→
v0x , будет действовать кулоновская сила F		= q E . В результате движение электрона по

вертикали будет равноускоренным, а по горизонтали – по-прежнему равномерным. При вылете из конденсатора скорость электрона:

v = v2x +v2y ,

где: vx = v0x – скорость движения параллельно пластинам,

vy = v0y + a y t = a y t – скорость перпендикулярно пластинам. Ускорение электрона:

v0x

Тогда:

vy	=		qE		L	.
vy	=					.
Скорость электрона при вылете:			m v0x
Скорость электрона при вылете:
2			qE L				2
v = v0x
v = v0x		+					.
				m v0x

Проверим размерность:

кг м2

[vy ]=

Кл

Кл В

Дж

с2

кг

Вычисления:

1,6 10

−19

5 10

−2

vy = (10

)

=1,33

9,11 10

−31

Угловое отклонение электрона от горизонтального направления:

tgα =

qEL

v0x

mv02x

qEL

1,6 10−19 104

5 10−2

α = arctg mv02x

= arctg

≈ 41 .

9,11 10−31 (107 )2

Ответ: vy = 1,33·107 м/с, α = 410.

Пример 9.

Конденсаторы с емкостями C1 = C2 =C4 =2 мкФ, С3 = 3 мкФ соединены так, как показано на рисунке (рис.13а). Напряжение на обкладках 4-го конденсатора U4 = 50 В. Найти заряды и разности потенциалов на обкладках каждого конденсатора, а также общий заряд и разность потенциалов батареи.

Дано:									Решение:
C1 = C2 =C4 =2 мкФ	Вычислим электроемкость батареи.
С3 = 3 мкФ	Преобразуем исходную схему (рис. 13 а)
U4 = 50 В	в ряд эквивалентных схем (рис. 13 б, в,
C = ?, q = ?, U = ?	г). Конденсаторы С2 и СЗ соединены
q1, q2, q3, q4 = ?	последовательно:
U1, U2, U3 = ?		1				1	1		,
					=		+
	C2C3		2·3	C23	=	C2	+	C3
C23 =	C2C3	=	2·3	=1,2(мкФ) .
C23 =	C2 +C3	=		=1,2(мкФ) .
	C2 +C3	2 +3

Эквивалентный конденсатор С2З соединен с конденсатором С4 параллельно, поэтому:

C234 = C23 +C4 =1,2 +2 =3,2(мкФ) .

Эквивалентный конденсатор С234 соединен последовательно с конденсатором С1:

C =	C1C234		=	2·3,2	=1,23(мкФ) .
				2 +3,2
	C + C	234
	1

Заряд на конденсаторе связан с разностью потенциалов (напряжением) между его обкладками, поэтому:

q4 = C4 U4 = 2 10−6 Ф 50В=100 10−6 Кл =100мкКл.

При параллельном соединение напряжения на конденсаторах одинаковые, поэтому: U234 = U23 = U4 = 50В.

При последовательном соединении заряд на каждом из конденсаторов одинаковый, то есть:

q2 = q3 = q23 = C23 U23 =1,2 50 = 60(мкКл) .

Зная заряды, найдем напряжения:
U	2	=	q	2	=		60 10−6 Кл		= 30В,
			C2				2	10−6 Ф

U3		=	q	3		=	60	10−6 Кл	= 20В.
			C3				3 10−6 Ф

Общий заряд q равен заряду первого конденсатора q1, который равен заряду эквивалентного конденсатора С2З4, который в свою очередь равен сумме зарядов конденсаторов С2З и С4:

q = q1 = q234 = q23 +q4 = 60мкКл+100мкКл =160мкКл Напряжение на первом конденсаторе:

U	1	=	q	1	=	160 10−6 Кл			= 80В.
			C				2 10−6	Ф

				1

Общее напряжение или разность потенциалов батареи:

U =	q	=	160 10−6 Кл			=130В.
	C			1,23 10−6	Ф

Ответ: С = 1,23 мкФ, q = 160 мкКл, U = 130 В,

q1 = 160 мкКл, q2 = q3 = 60 мкКл, q4 = 100 мкКл, U1 = 80 В, U2 = 30В, U3 = 20 В.

Пример 10.

Плоский конденсатор, площадь каждой пластины которого S = 400 см2, заполнен двумя слоями диэлектрика. Граница между ними параллельна обкладкам. Первый слой – парафин (ε1 = 2) толщины d1 = 0,2 см, второй слой стекло (ε2 = 7) толщины d2 = 0,3 см. Конденсатор заряжен до разности потенциалов U = 600 B. Найти ёмкость конденсатора, напряженность электрического поля и падение потенциала в каждом слое, энергию конденсатора.

Дано: S = 4·10-2 м2 d1 = 2·10-3 м

ε1 = 2

d2 = 3·10-3 м

ε2 = 7

U = 600 B

C - ?

Е1, Е2 - ? U1, U2 - ? W - ?

Решение:

Ёмкость конденсатора:

C = ϕ1 −q ϕ2 = Uq .

В плоском конденсаторе в пределах каждого диэлектрика электрическое поле однородно, поэтому:

U = E1d1 +E2 d 2 .

Напряженность поля в каждом слое:

E1 = ε0σε1 , E2 = ε0σε2 ,

где: σ = Sq – поверхностная плотность заряда на обкладках конденсатора.

Следовательно: C =			σS				=			1				.
Следовательно: C =	σd1		+	σd2			=	d1		+	d2			.
	ε ε			ε	ε	2		ε ε S			ε	ε	S
0		1		0		2		0	1		0	2

Из полученного выражения следует, что данный конденсатор с двумя слоями диэлектрика можно рассматривать как 2 последовательно соединенных конденсатора, ёмкости которых:

С1	=	ε0 ε1S , С2	=	ε0 ε2S .
		d1		d2

Подставив числовые данные, получим C = 0,25·10-9 Ф.

Граница раздела диэлектрика параллельна обкладкам и, следовательно, перпендикулярна силовым линиям поля. Поэтому электрическое смещение D1 = D2, то есть

ε1E1 = ε2E 2 E 2 =	ε1		E1 ,

	ε	2

U = E1d1 + E2d2 = E1d1 + εε1 E1d2 .

Поэтому:

		E1 =								ε2 U							, U1 = E1d1 ;
		E1 =				ε			d	1		+ε d				2	, U1 = E1d1 ;
								2		1				1		2
E		=	ε1		E			=						ε1U					, U		= E	d		.
E		=			E			=			ε		d						, U		= E	d		.
	2		ε	2			1				ε		d	1	+ε d			2		2	2		2
				2								2		1		1		2

Произведя вычисления, получим:

E1 = 2,1·105 В/м; Е2 = 0,6·105 В/м, U1 = 420 B, U2 = 180 B.

Энергия заряженного конденсатора:

W = CU2 2 ,

W = (0.25 10-9 6002 ) / 2 = 4.5 10−5 (Дж).

Энергию конденсатора можно найти и по общей формуле для энергии электрического поля

W = ∫wэdV ,

где: wэ = ε0ε2E2 - плотность энергии электрического поля,

V– объём, в котором существует электрическое поле.

Вданном случае поле однородное, поэтому:

W = w	V +w	V =	ε	εE2		+	ε	εE2		.
W = w	V +w	V =	0		1 Sd	+	0		2 Sd	.
	э1 1	э2 2		2	1			2	2
				2				2

Ответ: C = 0,25·нФ, E1 = 210·кВ/м; Е2 = 60·кВ/м, U1 = 420 B, U2 = 180 B, W = 45·мкДж.

Пример 11.

Как изменится энергия заряженного плоского конденсатора (ε = 1) при уменьшении расстояния между его пластинами, если 1) конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения; 2) конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения. Как зависит сила притяжения F между пластинами от расстояния между ними?

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
10.06.20151.16 Mб41OТС_КР.doc
#
10.06.20151.28 Mб71paskal.doc
#
10.06.20151.85 Mб54PMS_stranitsy_3-52.doc
#
10.06.20152.55 Mб161pos.doc
#
29.03.20162.12 Mб61Posobie po CSP (1).pdf
#
10.06.2015313.43 Кб12prak_elektr.pdf
#
23.11.201937.24 Кб7Pravovedenie.docx
#
10.06.20156.01 Mб96programirovanie.rtf
#
10.06.20154.49 Mб250Protsess_redaktor_zavershenie.doc
#
10.06.201540.17 Кб21Psikhologia_detey_s_narusheniem_slukha.docx
#
25.11.201917.2 Mб20QR-код_8_нояб_2012.doc