решение задач по ОТУ
.docx-
По логарифмическим частотным функциям определить запас устойчивости по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
РЕШЕНИЕ:
Из выражения для передаточной функции следует, что система состоит из последовательно соединенных интегратора, корректирующего звена с отставанием по фазе и двух одинаковых инерционных звеньев.
По определению , - частота, на которой .
Интегратор создает фазовый сдвиг- на всех частотах. Два одинаковых инерционных звена создадут фазовый сдвиг - на частоте , на которой каждое звено создает фазовый сдвиг - . Частота сопряжения определяется из соотношения , где Т=0.01, тогда с-1.
Определим фазовый сдвиг на частоте с-1, создаваемый корректирующими звеньями:
Т.к. , следовательно .
Тогда , = 8.
11. По логарифмическим частотным функциям определить запас устойчивости по усилению в системе, передаточная функция которой в разомкнутом состоянии
.
РЕШЕНИЕ:
- частота, на которой .
Система состоит из 2-х интеграторов и корректирующего звена с опережением по фазе.
2 интегратора создадут фазовый сдвиг –π.
Для определения составим уравнение:
.
(в уравнении приведена сумма ФЧХ звеньев, входящих в систему – двух интеграторов и корректирующего звена).
Это уравнение справедливо при и . Физический смысл имеет второй ответ, тогда , .
Ответ: = .
-
Передаточная функция разомкнутой системы
.
Определить коэффициент усиления К в системе, при котором запас устойчивости по усилению = 10.
Из выражения передаточной функции следует, что система состоит из интегратора, корректирующего звена с отставанием по фазе и двух одинаковых инерционных звеньев, соединенных последовательно.
- частота, на которой .
Интегратор создает фазовый сдвиг- на всех частотах. Два одинаковых инерционных звена создадут фазовый сдвиг - на частоте , на которой каждое звено создает фазовый сдвиг - . Частота сопряжения определяется из соотношения , где Т=0.02, тогда с-1.
Определим фазовый сдвиг на частоте с-1, создаваемый корректирующими звеньями:
Т.к. , следовательно .
Тогда , =.
13. Передаточная функция замкнутой системы
.
Определить импульсную характеристику (t) замкнутой системы.
РЕШЕНИЕ:
По определению ,
где – полюсы или корни характеристического уравнения.
Представим в виде и получим
,
откуда , .
Формула для вычетов при некратных полюсах:
,
тогда , .
Импульсная характеристика имеет вид:
Ответ: (t) = 15,8 (е -5t - e -100t).
14. Передаточная функция разомкнутой системы
.
Найти импульсную характеристику (t) замкнутой системы.
РЕШЕНИЕ:
По определению ,
где – полюсы или корни характеристического уравнения.
По условию дана передаточная функция разомкнутой системы. Запишем передаточную функцию для замкнутой системы:
;
Корни и найдем из характеристического уравнения ,
откуда , .
,
=15.1
Ответ: (t) = 15,1е -5t sin13,2t.
15. Передаточная функция замкнутой системы
.
Определить выходной сигнал в установившемся режиме при управляющем воздействии x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма системы.
РЕШЕНИЕ:
См. Задачу №3.
Сигнал ошибки е=х-ууст=1-1=0, следовательно .
Ответ: yуст = 1; = 1.
-
Передаточная функция замкнутой системы
.
Определить выходной сигнал в установившемся режиме при входном сигнале x(t) = 1(t) и указать порядок астатизма системы.
См. задачу №3.
Сигнал ошибки е=х-ууст=1-0,8=0,2, следовательно .
Ответ: yуст = 0,8; = 0.
-
Передаточная функция системы в разомкнутом состоянии
.
Определить выходной сигнал в установившемся режиме в замкнутой системе при входном воздействии x(t) = 10sin5t.
РЕШЕНИЕ:
, где
- комплексные входной и выходной сигналы; - комплексный коэффициент передачи замкнутой системы.
- комплексный коэффициент передачи замкнутой системы.
;
Ответ: y(t)уст = 11,5sin(5t - 0,12).
-
Передаточная функция разомкнутой системы
.
Каковы условия получения указанного порядка астатизма замкнутой системы
= 0, = 1, = 2 ?
РЕШЕНИЕ:
Порядок астатизма замкнутой системы определяется из выражения для передаточной функции, представленному в виде: , где
Из данного выражения видно, что = 0 при с0 0, = 1 при с0 = 0,
= 2 при с0 = с1 = 0.
-
Передаточная функция замкнутой системы
.
Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы
= 0, = 1, = 2 ?
РЕШЕНИЕ:
Выразим через передаточную функцию из равенства
, откуда
,
Тогда , т.к. , тогда .
Представим в виде .
Сравнивая выражения для передаточной функции, видим, что .
= 0 при b0 a0 ,
= 1 при b0 = a0, b1 a1 ,
= 2 при b0 = ao, b1 = a1, b2 a2 .
20. Передаточная функция ошибки системы
.
Каковы условия получения указанного порядка астатизма системы
= 0, = 1, = 2 ?
РЕШЕНИЕ:
Выразим через передаточную функцию из равенства
. Откуда .
. Т.к. , тогда .
Представим в виде . Сравнивая выражение для , видим, что .
Тогда = 0 при при d0 0,
= 1 при d0 = 0,
= 2 при d0 = d1 = 0.
-
Передаточная функция разомкнутой системы
.
Найти ошибку в замкнутой системе при входном воздействии
x(t) = a01(t) + a11(t)t .
РЕШЕНИЕ:
По определению .
Представим в виде .
, откуда , . ,
тогда
Ответ: .
22. Передаточная функция разомкнутой системы
.
Найти ошибку в замкнутой системе при входном воздействии
x(t) =a11(t)t .
РЕШЕНИЕ:
По определению .
Представим в виде .
, откуда , , ,
тогда
Ответ: .
23. Передаточная функция замкнутой системы
.
Определить характеристическую матрицу при последовательной схеме описания системы в пространстве состояний.
.
Матрица системы имеет вид:
.
Характеристическая матрица:
.
Ответ: .
-
Матрица, обратная характеристической, для системы имеет вид:
.
Определить элементы фундаментальной матрицы, используя следующие соотношения, полученные из формулы для вычетов
,
.
РЕШЕНИЕ:
Ответы: ,
,
,
.
25. Передаточная функция замкнутой системы
.
Определить матрицу системы, вектор управления, наблюдения и описать ее по параллельной схеме описания системы в пространстве состояний.
РЕШЕНИЕ:
Представим в виде . Здесь n=2, - полюсы системы, .
Тогда матрица системы
Вектор управления
Ответы: , , .
где Т - символ транспонирования. (стр. 20-22)
-
На рисунке изображена структурная схема нелинейной системы
Функция нелинейного элемента (НЭ) имеет вид
Нелинейный элемент - это идеальный ограничитель с порогами ограничения С. Линейная часть системы состоит из последовательно соединенных усилителя и четырех одинаковых инерционных звеньев с передаточной функцией
.
Определить амплитуду Ак и частоту к автоколебаний в этой системе.
Ответы: ; .
27. На рисунке изображена структурная схема нелинейной системы
Функция нелинейного элемента (НЭ) имеет вид
Линейная часть системы представляет собой последовательное соединение усилителя и четырех одинаковых инерционных звеньев, передаточная функция которой описывается выражением
.
Определить, при превышении какого коэффициента усиления усилителя К в этой системе возникнут автоколебания. При каком К система загенерирует без НЭ?
Ответы: К > 2; К > 4.
28. Системная функция цифрового дифференциатора имеет вид W(z) = 1 - z -1. Используя стандартное Z - преобразование, получите выражение для АЧХ цифрового дифференциатора.
Ответ: W() = 2sin,
где = Тд , - угловая частота, Тд - период дискретизации.
Подобная задача приведена в учебнике на стр.100.