ТФКП - методичка
.pdfeiϕ = cosϕ + isin ϕ
и переписав предыдущее соотношение |
в виде |
z = reiϕ |
(z≠0), |
мы получим показательную форму комплексного числа. Легко проверяется справедливость следующих равенств:
|
|
ei0 =1, |
|
|
|
|
|
eiϕ eiψ = ei(ϕ+ψ), |
|
|
eiϕ |
|
= ei(ϕ−ψ) |
, |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eiψ |
|
|
|
|
|
|||
|
z == re−iϕ, cosϕ = eiϕ +e−iϕ , |
sin ϕ = eiϕ −e−iϕ , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2i |
|
||
|
[r (cosϕ + sin ϕ)]n = rn (cos nϕ + isin nϕ), |
|
n =1,2,... (формула Муавра). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1. Представить комплексное число |
z = 3 − i + |
|
|
2i |
|
в алгебраической |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
+ i |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
форме. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Умножим числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
знаменателю, получим |
2i(1 − i) |
|
|
|
2i(1 − i) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
z = 3 − i + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
3 − i + |
|
2 |
|
|
|
= 3 − i + i |
+1 = 4 , |
||||||||||
|
(1 + i)(1 − i) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
т.е. Re z = 4 , Im z = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовле- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2z |
|
|
<1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
творяющих условию |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 + z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Согласно определению модуля комплексного числа имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2z |
|
|
|
= |
|
|
|
2 |
|
z |
|
|
|
= |
|
|
2 |
x2 + y2 |
|
|
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 + z2 |
|
|
|
|
|
1 + |
|
z |
|
2 |
|
(1 + x2 − y2 )2 + 4x2 y2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
По условию получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x2 + y2 |
|
|
|
|
<1. |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + x2 − y2 )2 + 4x2 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
рат: |
Так как обе части неравенства неотрицательны, возведем его в квад- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4(x2 + y2 )< (1 + x2 − y2 )2 + 4x2 y2 или |
(1 − x2 − y2 )2 − 4 y2 > 0 . |
Тогда
(x2 + (y +1)2 − 2)(x2 + (y −1)2 − 2)> 0 .
Искомое множество точек будет определяться двумя системами неравенств
11
|
x2 |
+ (y +1)2 > 2, |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
|
x |
|
+ (y −1) > 2 |
|
и |
|
|
|
x2 |
+ (y +1)2 < 2, |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||
|
x |
|
+ (y −1) < 2, |
Рис. 1 |
решения которых |
изображены на рис. 1 (за- |
|
штрихованная часть комплексной плоскости). |
Глава 3. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |
|
||
3.1. Дробно-линейная функция |
|
||
Определение 1. Функция вида |
|
||
w = |
az + b |
, ad − bc ≠ 0 , |
(1) |
|
|||
|
cz + d |
|
где a, b, c, d – комплексные числа, называется дробно-линейной.
Отображение, задаваемое этой функцией, называется дробнолинейным.
Условие ad − bc ≠ 0 означает, что w ≠ const . Функция (1) осуществляет конформное отображение расширенной комплексной плоскости Z на расширенную комплексную плоскость w, так как производная
w'= |
|
|
az − bc |
|
|
≠ 0, z ≠ ∞. |
|
|||
|
(cz + d )2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
||||||
Для c ≠ 0 предполагаем, что |
|
− |
d |
|
= ∞, w(∞)= |
a |
, для c = 0 функция (1) |
|||
w |
c |
|
c |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
становится линейной, т. е. w = az + b и w(∞)= ∞. Функция |
||||||||||
z = |
|
|
dw − b |
, ad − bc ≠ 0 , |
|
|||||
− cw + a |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
является обратной к функции (1). Она также является дробно-линейной и однозначной на расширенной комплексной плоскости, т. е. здесь функция
(1) является однолистной.
Каждое дробно-линейное отображение может быть получено в результате последовательного выполнения трех отображений: линейного,
отображения w = 1z и снова линейного отображения.
Дробно-линейные отображения переводят:
1) окружность или прямую в окружность или прямую (круговое свойство);
12
2) пару точек, симметричных относительно окружности, – в пару точек, симметричных относительно образа этой окружности (свойство сохранения симметрии). Здесь "окружность", в частности, может быть прямой, если под последней понимать окружность бесконечного радиуса.
Существует единственное дробно-линейное отображение, которое три разных точки z1, z2 , z3 переводит соответственно в три разные точки
w1, w2 , w3 . Это отображение задается формулой
|
w − w1 |
|
w3 − w2 |
= |
z − z1 |
|
z3 − z2 |
. |
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
w − w w |
− w z − z |
2 |
|
z |
3 |
− z |
|
|||||
2 |
3 |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
Если одна из точек zk или wk |
( k =1,2,3) является бесконечно удаленной |
||||||||||||
точкой, то в формуле (2) разности, в которые входит zk |
или wk , требуется |
заменить единицами.
Существует бесконечно много дробно-линейных отображений, которые заданную окружность γ отображают на заданную окружность Г, причем область D, для которой γ является границей, отображается на одну из
областей, для которой Г является границей.
Для обеспечения единственности дробно-линейного отображения достаточно выполнение одного из условий:
1) заданная точка z0 D отображается в заданную точку w0 D' , а любая кривая, выходящая из точки z0 , поворачивается на заданный угол α
(w0 = f (z0 ), α = arg(f '(z0 )));
2) точки z0 D и z1 γ отображаются соответственно в заданные точки w0 D' и w1 Γ.
Примеры
3.Найти образ окружности, заданной уравнением
x2 + y2 + 2x − 4 y +1 = 0 ,
при отображении w = 1z .
Решение. На основании кругового свойства дробно-линейного отображения окружность переходит в окружность. Для ее нахождения на
заданной окружности x2 + y2 |
+ 2x − 4 y +1 = 0 выберем три точки, напри- |
||||||||||||
мер: z1 = −1, z2 =1 + 2i , |
z3 = −3 + 2i , образами которых при отображении |
||||||||||||
w = 1 будут точки w = −1, w |
= |
1 − 2i |
, w |
= |
− 3 − 2i |
. Точками w , w , w |
од- |
||||||
|
|
||||||||||||
z |
1 |
2 |
5 |
3 |
13 |
|
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
нозначно определяется образ данной окружности, уравнение которой: |
|
|
|||||||||||
|
(u +1)2 + (v + 2)2 = 4 |
(w =u + iv). |
|
|
|
(3) |
|||||||
|
Для отображения |
w = 1 |
имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
|
|
u = x2 +x y2 , v = − x2 +y y2 .
Выразив отсюда x = x(u,v), y = (u,v) и подставив в уравнение заданной окружности, получим искомый образ (3).
4. Найти образ области |
|
D |
при |
отображении w = |
z |
|
, где |
|||||
z −1 |
||||||||||||
D ={z, 0 < Re(z)<1, 0 < Im(z)<1}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение. Выделим действительную и мнимую части функции w. |
||||||||||||
Имеем: |
x(x −1)+ y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = |
|
, |
v = − |
|
y |
|
. |
|
|
|
||
(x −1)2 + y2 |
|
(x −1)2 |
+ y2 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Будем искать образ границы области D (рис. 2). |
|
|
|
|
||||||||
Сторона OA: y = 0, 0 ≤ x ≤1 |
отображается на отрицательную часть |
действительной оси ( v = 0, − ∞ <u ≤ 0 ) (рис. 3).
|
|
|
v |
C 1 |
|
|
y |
|
0 |
2 |
|
|
|
|
|
||
i |
C |
B |
-i/2 |
C′ |
u |
|
|
||||
|
|
|
-i |
B′ |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
O |
A |
|
|
||
|
|
|
|||
|
Область D |
Образ области D |
|
Рис. 2 Рис. 3
Сторона AB : x =1, 0 < y ≤1, отображается в линию u =1, − ∞ < v ≤ −1. Сторона BC : y =1, 1 ≥ x ≥ 0 , отображается в линию, параметрическое
уравнение которой имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u = |
x(x −1)+1 |
, v = − |
|
|
1 |
|
|
, 0 ≤ x ≤1. |
|
||||||||||||
|
(x |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
(x −1)2 +1 |
|
|
|
|
|
−1)2 +1 |
|
|
|
|
||||||||||
Исключив параметр x , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
+ |
|
+ |
1 |
2 |
= |
1 |
, 1 |
≥ u ≥ |
1 |
, |
−1 ≥ v ≥ |
1 |
. |
|||||||
(u −1) |
v |
2 |
|
4 |
2 |
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Аналогично образ стороны CO определяется уравнением |
|||||||||||||||||||||
|
1 |
2 |
|
|
|
= |
1 |
, |
|
1 |
≥ u ≥ 0, |
|
− |
1 |
≤ v ≤ 0 . |
|
|||||
u − |
|
+ v2 |
4 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В соответствии с принципом соответствия границ образом квадрата |
|||||||||||||||||||||
будет заштрихованная область на рис. 2. |
|
|
|
|
которое точки z1 =1 и |
||||||||||||||||
5. Найти дробно-линейное |
|
отображение, |
|
z2 = −1 оставляет неподвижными, а точку z3 = i переводит в точку w3 = 0 .
14
Найти образ полуплоскости Im(z)> 0 при данном отображении. Решение. По условию имеем три пары соответствующих точек
z1 =1, z2 = −1, z3 = i, w1 =1, w2 = −1, w3 = 0.
Применяя формулу (2), получим искомое дробно-линейное отображение w = izz ++i1.
Найдем теперь образ верхней полуплоскости, границей которой является действительная ось. Согласно круговому свойству действительная ось отображается в окружность. Чтобы найти ее, на действительной оси выберем три точки, например: z1 =1, z2 = 0, z3 = −1, образами которых бу-
дут точки w1 =1, w2 = −i, w3 = −1. Они лежат на окружности w =1. По
принципу соответствия границ получаем, что образом верхней полуплоскости будет область D'={w, w <1}.
6. Найти дробно-линейное отображение, которое круг z − 4i < 2 отображает на полуплоскость v > u так, что w(4i)= −4, w(2i)= 0 .
Решение. Условие задачи определяет две пары соответствующих точек. Третью пару найдем, пользуясь свойством симметрии дробно линейного отображения, согласно которому точки z1 = 4i и z3 = ∞, симмет-
ричные относительно окружности z − 4i = 2, перейдут в точки w1 = −4 и w3 = −4i , симметричные относительно прямой u = v . Таким образом, найдена третья пара точек z3 = ∞ иw3 = −4i .
По формуле (2) найдем искомое отображение w = − 4iz −8 . z − 2 − 4i
3.2. Показательная и тригонометрические функции комплексного аргумента
Определение 2. Функция f (z)= ex (cos(y)+ isin(y)) называется показательной и обозначается exp z или ez .
Примеры
7. Доказать, что любая полоса шириной 2π, стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности функции ez .
Доказательство. Пусть z1 и z2 – две различные точки комплекс-
ной плоскости. Очевидно, что при условии ez1 = ez2 имеем ez1−z2 =1. Отсюда, так как ez =1 при z = 2kπi, k Z, имеем
z1 − z2 = 2kπi, k Ζ, k ≠ 0 .
15
Таким образом, условие однолистности нарушается для точек z1 и z2 , для которых z1 − z2 = 2kπi , где k – любое целое число. Такому условию
не удовлетворяет множество точек z комплексной плоскости, для которых h < Im(z)< h + 2π, где h – любое действительное число. Отсюда следует, что полоса шириной 2π, стороны которой параллельны действительной оси, является областью однолистности.
8. Доказать, что при отображении w = ez :
а) образом прямой y = a является луч, выходящий из начала координат под углом a к положительному направлению действительной оси;
b) образом прямой |
x = d является окружность с центром в начале |
||||||||
координат и радиусом ed . |
|
|
z = x + ia , |
||||||
Доказательство: |
а) действительно, так как |
y = a , то |
|||||||
− ∞ < x < +∞, |
|
тогда w = ex+ia = ex (cos(a)+isin(a)), |
что означает, что |
||||||
arg(w)= a, |
|
w |
|
= ex |
изменяется от 0 до ∞, т.е. образом прямой |
y = a явля- |
|||
|
|
||||||||
ется луч arg |
|
(w)= a ; |
|
|
|
|
|||
b) так |
|
как |
x = d , |
то z = d + iy , |
− ∞ < y < +∞, тогда |
w = ed +iy = |
|||
= ed (cos(y)+ isin(y)), т.е. |
u = ed cos (y), |
v = ed sin(y), |
а это – параметриче- |
ское уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом ed . Тригонометрические и гиперболические функции комплексной пе-
ременной задаются формулами:
cos(z)= eiz + e−iz |
; |
tg(z)= |
sin(z) |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
cos(z) |
|
||||||
sin(z)= eiz − e−iz |
|
; |
ctg(z)= |
cos(z) |
; |
||||||
|
sin(z) |
||||||||||
2i |
|
|
|
|
|
|
|||||
ch(z)= ez + e−z |
; |
th(z)= |
sh(z) |
; |
|
||||||
|
|
|
|||||||||
2 |
|
|
|
|
|
ch(z) |
|
||||
sh(z)= ez − e−z |
; |
|
cth(z)= |
ch(z) |
. |
||||||
|
|
||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
sh(z) |
|
9. Доказать соотношения между тригонометрическими и гиперболическими функциями:
1) cos(z)= ch(iz), ch(z)= cos(iz);
2) sin(z)= −ish(iz), sh(z)= −isin(iz);
3)tg(z)= −ith(iz), th(z)= −itg(iz);
4)ctg(z)=icth(iz), cth(z)= ictg(iz).
10.Пусть z = x + iy . Доказать, что
1)Re(sin(z))= sin(x)ch(y), Im(sin(z))= cos(x)sh(y);
16
2)Re(sh(z))= sh(x)cos(y), Im(sh(z))= ch(x)sin(y);
3)Re(cos(z))= cos(x)ch(y), Im(cos(z))= −sin(x)sh(y);
4)Re(ch(z))= ch(x)cos(y), Im(ch(z))= sh(x)sin(y).
11.Найти образы прямых x = a, y = a при отображении w = sin(z).
|
|
Решение. Для отображения |
w = sin(z) имеем |
u = sin(x)ch(y), |
||||||
v = sh(y)cos(x) (см. пример |
8). При |
этом отображении |
прямая x = a |
|||||||
( a ≠ |
kπ |
, k Z ) переходит в кривую, параметрическое уравнение которой |
||||||||
|
||||||||||
2 |
u = sin(a)ch(y), |
v = cos(a)sh(y), |
− ∞ < y < +∞. |
|
||||||
|
|
|
||||||||
|
Исключая параметр y , получаем |
|
|
|
||||||
|
|
|
u2 |
v2 |
kπ |
|
|
|||
|
|
|
|
− |
|
=1 |
( a ≠ 2 |
, k Z ), |
(4) |
|
|
|
|
sin2 (a) |
cos2 (a) |
причем координата u сохраняет знак, равный sign(sin(a)), а координата v
пробегает всю числовую ось. Тогда образом прямой x = a ( a ≠ |
kπ |
, k Z ) |
|
||
2 |
|
является одна ветвь гиперболы (4) с полуосями |sin(a)| и |cos(a)| и с фокусами в точках ±1. Если a = kπ, k Z , то прямая x = a превращается в кри-
вую, параметрическое уравнение которой u = 0, v = (−1)k sh(y),
− ∞ < y < +∞, т.е. в мнимую ось плоскости w. Если a = kπ + |
π |
, k Z , то |
|
2 |
|
прямая x = a |
переходит в кривую, параметрическое уравнение которой |
v = 0, u = (−1)k ch(y), − ∞ < y < +∞, т. е. в луч u ≤ −1, v = 0 при нечетном k |
|
и в луч u ≥1, |
v = 0 при четном k. |
Аналогично образом прямой y = a , a ≠ 0 является эллипс
u2 |
|
v2 |
|
|
+ |
|
=1 |
ch2 (a) |
sh2 (a) |
с полуосями ch(a) и sh(a) и с фокусами в точках ±1. Если a = 0 , то обра-
зом действительной оси в плоскости z является отрезок [−1,1] действи-
тельной оси плоскости w .
12. Доказать, что: 1) функция w = sin(z) полосу − π2 < Re(z)< π2 ото-
бражает на всю плоскость w с разрезами по лучам [1;+∞[ и ]− ∞,−1] действительной оси Ou ; 2) функция w = cos(z) полосу 0 < Re(z)< π отображает на всю плоскость w с разрезами по лучам [1;+∞[ и ]− ∞,−1] действительной оси Ou .
17
3.3. Логарифмы комплексных чисел. Степень с действительным показателем
Определение 3. Логарифмической функцией комплексного аргумента называется функция, обратная к показательной, т.е. определяемая урав-
нением
ew = z , z ≠ 0 ,
и обозначаемая w = Ln(z). Справедлива формула
Ln (z)= ln ( z )+ i(arg(z)+ 2kπ), k Z (7).
Логарифмическая функция определена на всей комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0 , она бесконечнозначна и разные ее значения отличаются на 2kπi , k Ζ.
Каждое значение функции Ln(z) называется логарифмом комплекс-
ного числа z .
Значение логарифма комплексного числа z , z ≠ 0 , которое соответствует ln ( z )+ i arg(z), называется главным значением Ln(z) и обо-
значается через ln(z):
ln(z)= ln ( z )+ iarg(z), − π < arg(z)< π.
Тогда формула (7) принимает вид
Ln(z)= ln(z)+ 2kπi , k Z .
Определение 4. Однозначной непрерывной ветвью многозначной
функции f (z) в области D называется однозначная непрерывная функция
ϕ(z), значение которой в каждой точке z D совпадает с одним из значений функции f (z).
В области D , которая является комплексной плоскостью с разрезом вдоль луча, выходящего из начала координат под углом α1 к действитель-
ной оси, существует бесчисленное множество разных однозначных ветвей функции w = Ln(z). Каждая из этих ветвей отображает область D на одну
из полос: |
Dk ={w,α1 + 2kπ< Im(w)< α1 + 2(k +1)π}, k Z . |
|
|
Для |
выделения однозначной ветви логарифмической функции |
w = Ln(z) |
достаточно определить полосу Dk , на которую эта ветвь ото- |
бражает область D . Для определения полосы Dk достаточно вычислить лишь значение логарифмической функции в какой-нибудь точке z0 D .
Через Lnk (z) обозначим ту ветвь логарифмической функции Ln(z), которая отображает область D на полосу Dk . Тогда
Lnk (z)= Ln0 (z)+ 2kπi , k Z , где Ln0 (z)= ln( z )+ iArg0 (z), α1 < Arg0 (z)< α1 + 2π.
Очевидно, что каждая ветвь Lnk (z) удовлетворяет теореме о производной обратной функции, по которой
18
(Lnk (z))'= |
1 |
, |
k Z, z D . |
|
z |
|
|
Отсюда, отображение, осуществляемое каждой ветвью логарифмической функции, является конформным для всех точек z D .
В связи с тем, что главное значение аргумента комплексного числа выбирается из промежутка ]− π,π], в формуле (5) берут α1 = −π. Тогда
Dk ={w,(2k −1)π< Im(w)< (2k +1)π}, k Z ,
а область D будет плоскостью с разрезом по лучу ]− ∞,0].
Ветвь логарифмической функции, отображающая область D на по-
лосу D0 , является главной ветвью ln(z). Все остальные однозначные непрерывные ветви функции w = Ln(z) в этой области имеют вид
Lnk (z)= ln(z)+ 2kπi , k Z .
Значение Ln(z), равное Lnk (z), при однократном обходе точки z вокруг начала координат вдоль какой-нибудь окружности z = r переходит
в число Lnk +1(z), так, что Ln(z) непрерывно изменяется и обход совершается против движения часовой стрелки, и в число Lnk −1(z) – при обходе по
часовой стрелке.
Точка, при обходе которой по какой-нибудь окружности достаточно малого радиуса многозначная функция, непрерывно изменяясь, переходит от одного значения к другому, называется точкой ветвления функции. Точки z = 0 и z = ∞ являются точками ветвления функции w = Ln(z).
Примеры
13. Найти все значения логарифмов следующих чисел:
1; −1; e ; 1 + i ; 2i ; − i ; cos(ϕ)+ isin(ϕ), − π< ϕ≤ π; |
1 |
(1 + i); |
1 + i |
. |
|||||
i |
|
|
|||||||
14. Решить уравнения: |
|
|
|
|
|
1 −i |
|||
z +1 |
|
|
|
|
|
||||
1) ln(z + i)=1; |
2) ln(i − z) |
|
=1; |
|
|
||||
= 0 ; 3) ln |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|||||||
4) ch(z)=i ; |
5) sin(z)= πi . |
i |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Найти образы плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси при отображениях ветвями логарифмической функции w = Ln(z)такими, что:
а) точка z0 =1 переходит в точку w0 = 4πi ; b) точка z0 = −i переходит в точку w0 = 32πi ;
с) точка z0 =i переходит в точку w0 = − 72πi .
Решение: а) полоса Dk , являющаяся образом плоскости с разрезом вдоль отрицательной части действительной оси, определяется ветвью
19
Lnk (z) логарифмической функции, которую найдем из условия
Lnk (1)= 4πi . Имеем:
Lnk (z)= ln(z )+ i arg(z)+ 2kπi , k Z .
Положив в этом равенстве z =1, получим 4πi = 2kπi , т.е. k = 2 . Отсюда условием Lnk (1)= 4πi определяется ветвь Ln2 (z)= ln(z)+ 4πi , кото-
рая согласно формуле (5) указанную область отображает на полосу:
D2 ={w,3π < Im(w)<5π}.
Пункты b) и с) рассмотреть самостоятельно.
16. Найти образ области D при отображении ветвью логарифмической функции w = Ln(z), которая определяется ее значением w0 в данной
точке |
z0 (при выборе ветви логарифмической функции |
комплексную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
плоскость разрезать по отрицательной части действительной оси): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a) D ={z,2 < |
|
z |
|
< 4, z [− 4,−2]}, z0 =1, w0 = −2πi ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b) D = |
|
|
z |
|
<1,0 |
< arg(z)< |
π |
, |
|
z0 |
=1, w0 = 2πi ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= πi ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
c) |
|
D ={z, |
|
z |
|
<3,0 < arg(z)< π}, |
z |
0 |
=i , w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
π |
< arg(z)< |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5πi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
d) D = |
z,− |
|
|
|
|
|
|
, |
z0 |
|
= i , w0 = |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
Решение: b) ветвь, определяемая условием Ln(1)= 2πi , имеет вид |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ln1(z)= ln( |
|
z |
|
)+ i arg(z)+ 2πi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
При этом отображении образом отрезка arg(z)= 0 , 0 < |
|
z |
|
<1, являет- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ся луч v = 2π, − ∞ < u < 0 , а образом отрезка |
|
arg(z)= |
π , 0 < |
|
z |
|
|
<1, является |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
v = |
7π |
|
|
|
− ∞ < u < 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
также |
луч |
, |
|
|
Образом |
|
|
дуги |
окружности |
|
|
=1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 < arg(z)< π |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
, является отрезок u = |
0 , 2π < v < |
. По принципу соответст- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− ∞ < u < 0 , |
||||||||||||
вия |
границ |
образом |
области |
|
|
|
|
является |
|
полуполоса |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2π < v < |
|
7π |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пункты а), с), d) рассмотреть самостоятельно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Определение 5. Функция w = zn , |
n = 2,3,..., называется целой степен- |
ной.
Она определена и однозначна на всей комплексной плоскости. Ее
производная w'= nzn−1 существует во всех точках плоскости, поэтому
функция w = zn аналитична во всей комплексной плоскости. Очевидно, производная w' обращается в нуль лишь в точке z = 0 . Таким образом,
отображение w = zn конформно в каждой точке комплексной плоскости,
20