2.12.Геометрические объекты

Остыловский А.Н. Лекция 11. (Геометрические объекты)

Геометрические объекты. Примеры и контрпримеры. Характеризация геометрических объектов на языке функциональных уравнений. Тензоры - простейшие геометрические объекты.

11.1. Геометрические объекты. Примеры и контрпримеры

Изучая линейное пространство, рассматривают различного рода объекты, связанные с ним: векторы, ковекторы (линейные формы), линейные операторы, билинейные формы и т.д. Определения этих объектов формулировались независимо от базиса. В физическом мире прообразы таких объектов существуют "сами по себе\(выражение Иммануила Канта) и, конечно, не зависят ни от какого базиса, ибо нет в природе ни базиса, ни начала координат. (Вспомним Г. Финна и Т. Сойера, которые во время путешествия на воздушном шаре желали определить свое местонахождение. Для этого Г. Финн предложил спуститься на землю, найти ближайший меридиан и посмотреть номер, написанный на нем.)

Примерами упомянутых объектов в физическом мире являются силы, повороты, растяжения и т.д. Для обозначения объектов, свойства которых не зависят от выбора базиса в линейном пространстве, будем использовать термин "геометрический объект\.

Хотя геометрический объект определяется и существует независимо от базиса, нам удобнее, выбрав некоторый базис, задать объект относительно этого базиса при помощи упорядоченной некоторым образом системы чисел компонент объекта. Это позволяет перейти от геометрических объектов к арифметическим, что и составляет основную идею аналитической геометрии, принадлежащую философу, физику, биологу и математику Рене Декарту (1596–1650). Переход к арифметическим объектам позволяет вычислять! Попробуйте

1

сложить геометрически (по правилу параллелограмма) три некомпланарных вектора и сравните, насколько это удобнее сделать арифметически (в координатах)! Или попробуйте чисто геометрическим способом доказать, что всякий линейный оператор, действующий в вещественном трехмерном линейном пространстве, имеет собственный вектор. Едва ли это вообще возможно. Отметим, наконец, что в координатах (компонентах) записывают и решают дифференциальные уравнения движения, деформации и т.д., что уже просто невозможно на геометрическом (бескоординатном) языке.

Однако идея "арифметизации\геометрических объектов обладает и некоторыми неудобствами. (За все надо платить.) Так, например, один и тот же линейный оператор, существующий "сам по себе\независимо от базиса, представляется в различных базисах различными матрицами. Поэтому, изучая вместо оператора A его матрицу A в некотором базисе e = fe1; : : : ; eng, мы рискуем получить свойства, присущие не оператору A "самому по себе", а паре fA; eg. В каждом конкретном случае требуется дополнительное исследование, позволяющее выяснить, инвариантно ли полученное свойство относительно замены базиса. Например, только после доказательства независимости характеристического многочлена ( ) = j E Aj от выбора базиса

j E Aj = j E S 1ASj; S 2 Mn(R)

можно назвать многочлен ( ) характеристическим многочленом оператора A, а не матрицы A. Аналогично, доказав инвариантность суммы диагональных элементов матрицы оператора относительно выбора базиса, получаем некоторую числовую характеристику оператора "самого по себе", называемую следом оператора. Но сумма диагональных элементов матрицы билинейной формы, оказывается, уже зависит от выбора базиса. Далее, для вектора x = 1e1 + 2e2 +

2

p

3e3 величина ( 1)2 + ( 2)2 + ( 3)2 инвариантна только при замене ортонормированного базиса на ортонормированный, но не инвариантна при произвольной замене базиса.

Итак, базис и координаты это и благо (мы получаем возможность вычислять), и вред (мы получаем "замусоренную"информацию о геометрических объектах). Для снятия этого неудобства, в частности, служит тензорное исчисление. Свойства совокупности компонент геометрического или физического объекта, не зависящие от выбора базиса, называются инвариантными свойствами. Только такие свойства и представляют интерес для изучения, ибо они суть свойства самих объектов.

Основная задача тензорного исчисления заключается в том, чтобы научиться отделять свойства, относящиеся к самим геометрическим объектам, от того, что привнесено случайным выбором базиса.

Сформулируем определение геометрического объекта.

Определение 11.1. Будем говорить, что в n-мерном линейном пространстве Ln над полем вещественных чисел R задан геометрический объект T , если каждому базису e однозначно соответствует линейно упорядоченный набор T чисел (компонент объекта). Причем при переходе от базиса e к базису e0 этот набор преобразуется по закону, не зависящему от базисов e и e0, а зависящему только от самого геометрического объекта T и от матрицы S перехода от базиса e к базису e0.

Сопроводим это определение формулами. Пусть геометрический объект T в базисе e = fe1; : : : ; eng задается набором чисел T , а в базисе e0 = fe01; : : : ; e0ng набором T 0. Обозначим через S матрицу перехода от базиса e к базису e0, т.е. e0 = eS или, подробно,

(e01; : : : ; e0n) = (e1; : : : ; en)S:

3

Тогда упомянутый закон преобразования должен иметь вид

Запишем (1) в более компактной форме:

где через обозначен закон fT , т.е. операция на T и S (для каждого

T , вообще говоря, своя).

Пример 11.1. Пусть x вектор, т.е. x 2 L. Пусть [x]e = ,

[x]e0 = 0, т.е. и 0 координатные столбцы вектора x, соответственно, в базисах e и e0, при этом e0 = eS. Тогда, как известно,

Закон (3) преобразования набора в набор 0 не зависит от базисов

eи e0. Таким образом, вектор является геометрическим объектом.

Пример 11.2. Пусть A линейный оператор на линейном про-

странстве L, A = [A]e и A0 = [A]e0 матрицы оператора A, соответственно, в базисах e и e0. Тогда, как известно из курса линейной алгебры,

Закон (4) преобразования A в A0 не зависит от базисов e, e0 (операция в (4), разумеется, отличается от операции в (3)).

Пример 11.3. Пусть : L L ! R билинейная форма, B = [ ]e и B0 = [ ]e0 матрицы билинейной формы , соответственно, в базисах e и e0. Тогда, как известно, B0 = ST BS и

Закон (5) преобразования числа T в число T 0 не зависит от выбора базисов e, e0. Следовательно, определитель матрицы билинейной формы является геометрическим объектом.

4

P

числа, не задаёт геометрического объекта. Действительно, число T 0, соответствующее базису e0, не может быть выражено через число T

и матрицу S, а выражается лишь через все координаты вектора x в

отдельности:

T 0 = X 0i = X ji j;

ii;j

где [ ji] = S 1; S матрица перехода от базиса e к базису e0. Иными словами, при заданных T и S одному и тому же T могут отвечать различные значения T 0.

Убедимся в этом на конкретном примере. Пусть e, e0 два базиса

?k ?,

yy

S 0

T = Ty ! Ty

5

11.2. Характеризация геометрических объектов на языке функциональных уравнений

Пусть в линейном пространстве L задан геометрический объект G и e, e0 , e00 три базиса в L. Обозначим через T , T 0, T 00 упорядоченные наборы чисел, задающие объект G, в базисах e , e0 , e00соответственно. Пусть S и R матрицы перехода:

e0 = eS; e00 = e0R:

Тогда

В обозначениях (2) наборы T , T 0, T 00 связаны соотношениями

T 0 = T S; T 00 = T 0 R; T 00 = T (SR):

Отсюда

Таким образом, если G геометрический объект, то операция удовлетворяет соотношению (7). Назовём его обобщённой ассоциативностью.

Оказывается верно и обратное утверждение: если операция удовлетворяет соотношению (7), то есть закон преобразования компонент некоторого геометрического объекта. Для доказательства построим этот объект следующим образом. В некотором базисе e

зададим набор компонент T произвольно. Компоненты объекта в остальных базисах определим, пользуясь данным законом преобразования: произвольному базису f (f = eP ) поставим в соответствие набор чисел

6

Проверим, задаёт ли это соответствие геометрический объект. Итак, пусть e0 , e00 два произвольных базиса, причём e0 = eS

и e00 = e0R: Тогда

e00 = (eS)R = e(SR):

Согласно формуле (8)

T 0 = T S; T 00 = T (SR):

Отсюда и из (7) следует

T 00 = (T S) R = T 0 R:

Таким образом, закон преобразования набора T 0 в набор T 00 един для любой пары базисов e0 , e00 , что и требовалось доказать.

Итак, если задан геометрический объект (см. определение), то при замене базиса соответствующий набор чисел преобразуется по закону, удовлетворяющему соотношению (7). И обратно, всякое решение функционального уравнения (7) задаёт закон преобразования компонент некоторого геометрического объекта.

Пример 11.5. Пусть выполнены все условия примера 1 из п.1.2 и e00 ещё один базис, связанный с базисом e0 матрицей перехода

R : e00 = e0R: Убедимся, что закон (3) удовлетворяет уравнению (7). Имеем

( S) R = (S 1 ) R = R 1(S 1 ) =

= (R 1S 1) = (SR) 1 = (SR);

что и требовалось доказать.

Замечание 11.1. Задача описания всех геометрических объектов в n-мерном линейном пространстве равносильна нахождению всех решений функционального уравнения (7), что вряд ли возможно, даже в случае n = 2 и T = ft1; t2g.

7

11.3. Немые индексы

Сокращенная запись суммы основана на следующих соглашениях: 1. Буквенный индекс рассматривают как переменную величину, принимающую значения 1; : : : ; n; n = dimL. Если написано выражение, содержащее буквенный индекс, не являющийся индексом суммирования, то предполагается, что выписаны n таких выражений для каждого значения этого индекса. Так, например, запись

jki = jki означает выполнение n3 равенств для всех возможных наборов значений индексов i; j; k 2 f1; : : : ; ng:

2. Вводится следующее обозначение суммирования. Пусть написано выражение, состоящее из одной буквы или произведения нескольких букв с индексами, причём какой-нибудь индекс встречается дважды один раз вверху, а другой снизу. (Такие индексы называют немыми.) Под этим выражением будем понимать сумму членов такого вида, написанных для всех значений повторяющегося индекса, а знак суммы писать не будем. Если описанным образом повторяются несколько индексов, то имеется в виду многократная сумма. Например, формулы

будем писать в виде

b0ij = bkl ik jl ; T 0ijk = li sjTmls km:

Обозначение любого немого индекса может быть изменено, так как немые индексы "взаимно уничтожаются"при суммировании. Например,

AikBk = AijBj = AihBh:

При перемножении сумм следует использовать различные немые индексы.

8

3. Если A = [aij] матрица, то для её (i; j)-го элемента aij часто используют обозначение fAgij: Тогда (i; j)-й элемент произведения матриц A = [aij] и B = [bij] имеет вид

X

fABgij = aikbkj = aikbkj : (9) k

Дважды применяя эту формулу и пользуясь ассоциативностью умножения матриц, можно проверить, что

fABCgij = fAgikfBgkl fCglj:

Далее,

fABC Ggij = fAgikfBgkl fCgls fGgsj:

Последняя формула (в её правой части подразумевается суммирование по всем индексам k; l; : : : ; s) имеет синтаксическую симметрию

иудобна для запоминания.

Сиспользованием этих соглашений, например, билинейная форма

исистема линейных уравнений записываются, соответственно, в виде

bijxixj; aijxj = bi:

11.4. Тензоры простейшие геометрические объекты

Мы рассматриваем вещественное n-мерное линейное простран-

ство L:

Определение 11.2. В L задан тензор T p раз контравариантный и q раз ковариантный (p 0; q 0), если каждому базису сопоставлен линейно упорядоченный набор, состоящий из np+q чисел (компонент тензора в этом базисе). При этом, каковы бы ни были

друг от друга пробегают значения от 1 до n = dimL) соответствующих наборов T и T 0 должны быть связаны соотношением

9

где jl элементы матрицы перехода от e к e0, а ki элементы обратной ей матрицы.

Тензор T p раз контравариантный и q раз ковариантный называют коротко тензором типа (p; q).

Число p + q называют валентностью тензора, а числа p и q

соответственно, контравариантной и ковариантной валентностью.

Подробнее поясним, как именно упорядочены компоненты T i1:::ip .

j1:::jq

Во-первых, будем считать, что нижние индексы следуют за верхними так, как если бы они были написаны правее верхних. Далее легче понять на примере. Пусть n = dimL = 3, и рассмотрим тензор T типа

(2; 3). Тогда его компоненты Tklsij упорядочены следующим образом:

T11111 T11211 T11311 T12111 T12211 T12311 T13111

T13211 T13311 T31132 T31232 T33333 :

Из определения тензора следует простое, но важное

Замечание. Задав в некотором базисе e произвольным обра-

зом набор чисел T i1:::ip и сопоставив произвольному базису e0 набор

j1:::jq

T 0i1:::ip , связанный с первым набором законом (10), мы зададим тен-

j1:::jq

зор.

Два тензора по определению равны, если они одного типа и имеют, соответственно, равные компоненты в любом базисе.

Очевидно, что для равенства тензоров достаточно, чтобы их компоненты в каком-нибудь базисе были соответственно равны.

Приведём примеры тензоров.

1. Рассмотрим вектор x 2 L: Расписав (3) покомпонентно, получим

Этот закон преобразования есть частный случай закона (10) при p = 1 и q = 0: Таким образом, вектор есть тензор типа (1; 0):

10