Индивидуальное задание модуль 1

Вариант 1

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z0

J[y] = (12xy ¡ (y0)2)dx;

¡1

y(¡1) = 1; y(0) = 0:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z2

J[y] = (2y ¡ yy0 + x(y0)2)dx:

1

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z¼=4

J[y(x); z(x)] = (2z ¡ 4y2 + (y0)2 ¡ (z0)2)dx;

0

y(0) = 0; y(¼4 ) = 1; z(0) = 0; z(¼4 ) = 1:

4. Решить изопермическую задачу:

Z1

J[y] = (y0)2dx;

0

R1

y(0) = 0; y(1) = 14 ; при условии (y ¡ (y0)2)dx = 121 :

0

5. Найти экстремум функционала:

Z1

J[y] = (y2 + 2(y0)2 + (y00)2)dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 0; y0(0) = 1; y0(1) = ¡ sh 1:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 + (z0)2)dx; y2 + z2 = 1

0

y(0) = 1; y(1) = 0; z(0) = 0; z(1) = 1:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ex ¡ 2

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + 4y2 ¡ 8xy + 2x2)dx;

¡1

1

y(¡1) = 3:

Вариант 2

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z2

J[y] = (1(y0)2 + 2yy0 + y2)dx;

1

y(1) = 1; y(2) = 0:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z1

J[y] = (2y + yy0 + x2(y0)2)dx:

0

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

J[y(x); z(x)] = Z1 (2xy ¡ (y0)2 + (z0)3 )dx; 3

¡1

y(1) = 0; y(¡1) = 2; z(1) = 1; z(¡1) = ¡1:

4. Решить изопермическую задачу:

Z1

J[y] = (x2 + (y0)2)dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 0; при условии R1(y2)dx = 2:

0

5. Найти экстремум функционала:

Z0

J[y] = (240y ¡ (y000)2)dx;

¡1

y(¡1) = 1; y(0) = 0; y0(0) = 0; y0(¡1) = ¡4; 5; y00(¡1) = 16; y00(0) = 0:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 + (z0)2 + x2)dx; y ¡ 2z + 3x = 0

0

y(0) = 2; y(1) = 1; z(0) = 1; z(1) = 2:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = e2x ¡ 9

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 ¡ 4y2 + 2xy ¡ x2)dx;

¡1

2

y(¡1) = 2:

Вариант 3

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z1 p

J[y] = y(1 + (y0)2)dx;

0

1 y(0) = y(1) = p2:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z¼=2

J[y] = (4y2 + (y0)2 + 2y cos x)dx:

0

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z¼=2

J[y(x); z(x)] = ((y0)2 + (z0)2 ¡ 2yz)dx;

0

Z1

J[y] = ((y0)2 + (y00)2)dx;

0

y(0) = 0; y(1) = sh 1; y0(0) = 1; y0(1) = ch 1:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 + (z0)2 + 1)dx; y + z = 2x2

0

y(0) = 0; y(1) = 2; z(0) = 0; z(1) = 0:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ex+0;5 ¡ 3

3

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + 4y2 + 4x2y + x cos x)dx;

¡1

y(¡1) = 2:

Вариант 4

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z1

J[y] = y(y0)2dx;

0

p y(0) = 1; y(1) = 3 4:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z1

J[y] = (2yy0 + (y0)2)dx:

0

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z1

J[y(x); z(x)] = ((y0)2 + (z0)2 + 2y)dx;

0

y(0) = 1; y(1) = 32; z(0) = 0; z(1) = 1:

4. Решить изопермическую задачу:

Z¼

J[y] = (x2 + (y0)2)dx;

0

y(0) = 0; y(¼) = 0; при условии R¼(y2)dx = 1:

0

5. Найти экстремум функционала:

Z1

J[y] = (¡2xy + (y00)2)dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 5!1 ; y0(0) = 0; y0(1) = ¡121 :

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z¼=2

J[y; z] = ((¡y0)2 ¡ (z0)2 + y2 + z2 + cos x)dx; y ¡ z = 2 sin x

0

y(0) = 1; y(¼2 ) = 1; z(0) = 1; z(¼2 ) = ¡1:

4

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ex ¡ 10

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + 9y2 + 2xy ¡ x sin x)dx;

0

y(0) = 1:

Вариант 5

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z¼

J[y] = (4y cos x + (y0)2 ¡ y2)dx;

0

y(0) = 0; y(¼) = 0:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z1

J[y] = (2y + 6y0 + (y0)2)dx; y(0) = 0:

0

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z1

J[y(x); z(x)] = (yz + y0z0)dx;

0

y(0) = z(0) = 1; y(1) = z(1) = e:

4. Решить изопермическую задачу:

Z1

J[y] = (y0)2dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 0; при условии R1 ydx = 1; R1 xydx = 1:

00

5.Найти экстремум функционала:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 + 2(z0)2 + z2)dx; y ¡ z0 = 0

0

5

y(0) = ¡2; y(1) = ¡1e; z(0) = 1; z(1) = 0:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ¡e2x + 2

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 ¡ 4y2 + 2y + xe2x)dx;

¡2

y(¡2) = 0:

Вариант 6

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z1

J[y] = ((y0)2 ¡ y2 ¡ y)e2xdx;

0

y(0) = 0; y(1) = e¡1:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z2

J[y] = (2xy + (y0)2)dx; y(0) = 0:

0

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z¼=2

J[y(x); z(x)] = (y0z0 ¡ yz)dx;

0

y(0) = z(0) = 0; y(¼=2) = z(¼=2) = 1:

4. Решить изопермическую задачу:

Z¼

J[y] = (2y + 3y0 + (y0)2dx;

0

y(0) = 0; y(¼) = ¼2; при условии R¼ y sin xdx = ¼2 ¡ 1:

0

5. Найти экстремум функционала:

Z¼=2

J[y] = (¡(y0)2 + (y00)2)dx;

0

y(0) = 0; y(¼=2) = 0; y0(0) = 0; y0(¼=2) = 2 ¡ ¼=2:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 + (z0)2)dx; ¡z + y0 = 0

0

6

y(0) = 0; y(1) = 1; z(0) = 1; z(1) = 0:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ¡e2x + 2

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + 9y2 + 2y sin x ¡ x2ex)dx;

0

y(0) = 1:

Вариант 7

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z1

J[y] = ((y0)2 ¡ 2xy)dx;

¡1

y(¡1) = 1; y(1) = 1:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z¼=2

J[y] = ((y0)2 ¡ 2xy ¡ y2)dx:

0

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z1

J[y(x); z(x)] = (2y2 + 2yz + (y0)2 ¡ (z0)2)dx;

0

y(0) = z(0) = 0; y(1) = 2 sh e; z(1) = ¡2 sh e:

4. Решить изопермическую задачу:

Z¼

J[y] = (2y cos x + y0 + (y0)2dx;

0

y(0) = 2; y(¼) = ¡2; при условии R¼ y cos xdx = ¼:

0

5. Найти экстремум функционала:

Z¼=2

J[y] = (y2 ¡ 2(y0)2 + (y00)2)dx;

0

y(0) = 0; y(¼=2) = ¼=2; y0(0) = 0; y0(¼=2) = 1:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z¼

J[y; z] = ((y0)2 ¡ (z0)2)dx; y0 = z ¡ cos x

0

7

y(0) = 0; y(¼) = 0; z(0) = 0; z(¼) = ¡¼2 :

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ex ¡ 2

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + 4y2 ¡ 6yex + 2x cos x)dx;

¡1

y(¡1) = 1:

Вариант 8

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z0

J[y] = ((y0)2 ¡ 2xy)dx;

¡1

y(¡1) = 0; y(0) = 2:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z1

J[y] = ((y0)4 ¡ 6(y0)2)dx;

0

y(0) = 2:

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 ¡ 2xyz0)dx;

1=2

y(12) = 2; z(12) = 15; z(1) = 1; y(1) = 1:

4. Решить изопермическую задачу:

Z1

J[y] = (2yy0 + (y0)2dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 0; при условии R1(4xy0 + yy0)dx = 4:

0

5. Найти экстремум функционала:

Z1

J[y] = (¡2xy + (y00)2)dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 1=120; y0(0) = 0; y0(1) = 0:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

8

Z¼=4

J[y; z] = (y2 ¡ 4x2z2)dx; z0 = 2y ¡ 4xz

0

z(0) = 0; z(¼4 ) = 1:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = ¡ex+0;5 ¡ 2

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + y2 + 4yex ¡ x sin x)dx;

¡1

y(¡1) = 1:

Вариант 9

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Ze

J[y] = (x(y0)2 + yy0)dx;

1

y(1) = 0; y(e) = 1:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z2

J[y] = y0(1 + x2y0)dx;

1

y(1) = 3:

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z¼=2

J[y; z] = (2yz ¡ 2y2 + (y0)2 ¡ (z0)2)dx;

0

y(¼2 ) = 1; z(¼2 ) = 3; z(0) = 0; y(0) = 0:

4. Решить изопермическую задачу:

Z1

J[y] = (y0)2dx;

0

y(0) = 0; y(1) = 2; при условии R1 yxdx = 1:

0

5. Найти экстремум функционала:

Z¼=2

J[y] = ((y00)2 ¡ 2(y0)2 + y2 ¡ 2y)dx;

0

9

y(0) = 0; y(¼=2) = ¼=16; y0(0) = 0; y0(¼=2) = 0:

6. Решить вариационную задачу с голономными или неголономными связями, определить тип связей:

Z1

J[y; z] = ((y0)2 + (z0)2 + x2)dx; y + z = 2x2

0

y(0) = 2; y(1) = 1; z(0) = 1; z(1) = 2:

7. Для функционала, найти экстремаль при условии, что правый конец движется по заданной линии: '(x) = e2x ¡ 5

Z'(x)

J[y] = ((y0)2 + 4y2 + 8ye2x + 3x2)dx;

¡1

y(¡1) = 1:

Вариант 10

1. Решить простейшую вариационную задачу:

Z¼=4

J[y] = ((y0)2 ¡ y2)dx;

0

p y(0) = 1; y(¼4 ) = 22:

2.Решить задачу со свободным концом и без ограничений:

Z2

J[y] = (y2 + (y0)2 ¡ 2xy)dx;

0

y(0) = 1:

3. Найти экстримали функционалов зависящих от двух функций:

Z1

J[y; z] = (2y0z0 ¡ y2 + z2 ¡ 2yex)dx;

0

y(0) = 0; z(0) = 1; z(1) = 0; y(1) = 1:

4. Решить изопермическую задачу:

Z2

J[y] = x(y0)2dx;

1

y(1) = 0; y(2) = 12; при условии R2 yxdx = 9:

1

5. Найти экстремум функционала:

10