Лекция 1
.docЛекция № 15.
Определенный интеграл
Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок точками на элементарных отрезков длины . В каждом из этих отрезков возьмем произвольную точку и составим сумму , называемую интегральной суммой (Римана) для функции на отрезке .
Определение 37.1. Пусть предел последовательности интегральных сумм при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит ни от способа разбиения отрезка , ни от выбора точек . Этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается
(1)
При этом число называется нижним пределом, число – его верхним пределом; функция – подынтегральной функцией, выражение – подынтегральным выражением, а задача о нахождении – интегрированием функции на отрезке .
Все непрерывные на отрезке функции интегрируемы на этом отрезке. Интегрируемыми будут и ограниченные функции, имеющие на конечное число точек разрыва.
Свойства определенного интеграла
1. Определённый интеграл – это число! Его значение зависит только от вида функции и пределов интегрирования, но не от переменной интегрирования, которую можно обозначать любой буквой:
.
Интеграл был введен в предположении, что . Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда и .
2. . 3.
Рассмотрим свойства определённого интеграла, которые имеют аналоги в случае интеграла неопределённого.
4. Если , то .
5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций: .
Перейдем теперь к свойствам определённого интеграла, которые не имеют аналогов в случае неопределённого интеграла.
6. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всём отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых , , .
.
7. Если на отрезке , то .
8. Пусть на отрезке , где , . Тогда
.
9. Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , то найдется такое число , что
.
10. Если функция интегрируема на отрезке , то функция также интегрируема на отрезке и имеет место неравенство
Геометрический смысл определенного интеграла
Понятие определенного интеграла введено таким образом, что в случае, когда функция неотрицательна на отрезке , где , численно равен площади под кривой на .
Учитывая сказанное, мы можем указать значения некоторых интегралов, используя известные планиметрические формулы для площадей плоских фигур. Например,
, , и т.д.
(Первый из интегралов – площадь квадрата со стороной единичной длины; второй – площадь прямоугольного треугольника, оба катета которого единичной длины; третий – площадь четверти круга единичного радиуса.)
Определенный интеграл как функция верхнего предела
Ранее, строя новые функции из известных, мы использовали четыре арифметических действия и суперпозицию функций. Сейчас мы рассмотрим принципиально иной способ построения новых функций из известных.
Если интегрируема на отрезке , то, очевидно, она интегрируема также на любом отрезке , вложенном в .
Положим по определению
,
где , а функция называется интегралом с переменным верхним пределом.
Пусть на отрезке . Тогда значение функции в точке равно площади под кривой на отрезке .
Это позволяет по новому взглянуть на некоторые известные функцию Например, , где , поэтому значение функции в точке численно равно площади под гиперболой на отрезке .
Рассмотрим теперь свойства функции .
Теорема 1. Пусть функция непрерывна на отрезке . Тогда в каждой точке отрезка производная функции по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции , т.е.
. (2)
Доказательство.
Покажем, что функция
(3)
является первообразной функции .
Согласно определению производной,
.
Применяя теорему о среднем к промежутку , представим интеграл в числителе в виде , где и при .
Следовательно, .
Теорема 2. Если функция непрерывна на отрезке , то функция также непрерывна на .
Вычисление определенного интеграла возможно с применением первообразной для функции по формуле Ньютона-Лейбница.
Теорема 3. Если функция непрерывна на отрезке и – первообразная функции , то
. (4)
Формула (4) называется формулой Ньютона–Лейбница.
Доказательство.
Возвратимся к уравнению (3). Полагая , находим значение постоянной :
.
Полагая в этом же уравнении , получаем:
.
Нахождение определённых интегралов с использованием формулы (4) осуществляется в два шага: на первом шаге находят первообразную для подынтегральной функции ; на втором – применяется собственно формула (3) – находится приращение первообразной, равное искомому интегралу. Введем обозначение для приращения первообразной
.
Все методы, применяемые при вычислении первообразной, переносятся на вычисление определенного интеграла.
Теорема 4. (замена переменной в определённом интеграле). Если выполнены условия:
1) функция непрерывна на отрезке ;
2) отрезок является множеством значений функции , определенной на отрезке и имеющей на нем непрерывную производную;
3) и , то справедлива формула
.
Пример 1. Вычислить .
Решение. Положим . Тогда и .
Если , то , и если , то . Следовательно,
.
Формула замены переменной для определённого интеграла даже удобнее, чем для неопределённого. Нам не нужно возвращаться к исходным переменным, а вместо этого нужно поменять пределы интегрирования.
Рассмотрим, как выполняется интегрирование по частям в определённом интеграле.
Теорема 5. Если функции и имеют непрерывные производные на отрезке , то справедлива формула
.
Пример 2. Вычислить .
Решение.
.
Геометрические приложения определенного интеграла
Вычисление площадей плоских фигур. Если непрерывная кривая задана в прямоугольных координатах уравнением , где на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной этой кривой, двумя вертикалями ; и отрезком оси абсцисс , вычисляется по формуле
.
Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную параболой , прямыми , и осью абсцисс.
Решение.
Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную кривой и осью ординат.
Решение. Здесь изменены роли осей координат, поэтому искомая площадь будет выражаться интегралом
.
В общем случае, если площадь ограничена двумя непрерывными кривыми ; и двумя вертикалями ; , где , для вычисления площади фигуры имеем формулу
Пример 5. Вычислить площадь , заключенную между кривыми и .
Решение. Найдем точки пересечения кривых: , , . На отрезке . Значит,
.
Параметрическое задание верхней границы криволинейной трапеции
При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями
,
в формуле надо сделать замену переменной, положив , , тогда получим , где a и b - значения параметра , соответствующие значениям и , т. е. ; .
Пример 6. Найти площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью .
Решение. Искомая площадь
.
Площадь фигуры в полярной системе координат
Пусть в полярной системе координат задана функция , где – полярный радиус, – полярный угол. Пусть, далее, функция непрерывна при изменении угла в пределах ( и – в радианах). Фигура, ограниченная линией , с которой любой луч, исходящий из полюса , пересекается не более чем в одной точке, и двумя лучами и , называется криволинейным сектором.
|
.
Пример 7. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .
Решение. Найдем область определения угла из условия, что . Имеем: , т. е.
.
Соответственно величина угла меняется в следующих пределах:
в зависимости от значения . Найдем границы изменения величины угла :
при : |
; |
при : |
; |
при : |
; |
при |
где – область определения -го лепестка.
Достаточно вычислить площадь одного лепестка
Следовательно, площадь всех лепестков