met_ukaz_fizikak_r__1-2
.pdfСтатика
Статика изучает законы равновесия материальной точки (тела) под действием приложенных сил. Под равновесием понимают состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения или вращения.
Для равновесия тела необходимо выполнение двух условий:
• Векторная сумма всех сил, приложенных к телу равна нулю
n R
∑Fi = 0 или F1 + F2 + ....+ Fn = 0 ,
i=1
где n - число сил.
• Алгебраическая сумма моментов сил относительно любой оси равна нулю
n
∑Mi = 0 или M1 + M2 + ....M n = 0 ,
i=1
где n - число моментов.
• Момент силы, стремящейся повернуть тело относительно оси против часовой стрелки, считается положительным, по часовой стрелке – отрицательным.
Элементы механики жидкости
• Гидростатическое давление столба жидкости
P = ρgh ,
где ρ - плотность жидкости, g - ускорение свободного падения,
h- высота столба жидкости.
•Сила Архимеда (выталкивающая сила, действующая на тело, погруженное
вжидкость)
FA = ρgV ,
где V - объём тела (объём жидкости, вытесненной телом).
• Уравнение неразрывности струи
ϑ1S1 = ϑ2 S2 ,
где S1 и S2 - площади поперечного сечения трубки тока в двух местах, ϑ1 и ϑ2 - соответствующие скорости течений.
• Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной жидкости
ρϑ 2 |
|
|
ρϑ 2 |
|
|
|
1 |
+ ρgh + P = |
2 |
+ ρgh |
|
+ P , |
|
|
|
2 |
||||
2 |
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
где P1 и P2 - статические давления в двух сечениях трубки, h1 и h2 - высоты
сечений над некоторым уровнем, ρϑ 2 |
2 и ρϑ 2 |
2 - динамические давления |
1 |
2 |
|
жидкости в этих же сечениях, ρgh1 и |
ρgh2 - гидростатические давления. |
|
•Скорость истечения жидкости в открытом сосуде из малого отверстия
v = 
2gh .
•Формула Стокса (сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде)
FC = −6πηRv ,
где η - коэффициент динамической вязкости жидкости, R - радиус шарика, v - скорость движения шарика.
ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Контрольная работа №1
Задача 1. Зависимость пройденного пути от времени задается уравнением S = A − Bt + Ct2 + Dt3 (C = 0,2м / с2 , D = 0,1м / с3 ). Определить через сколько времени после начала движения ускорение a тела станет равным 2,8 м / с2 .
Дано: |
|
|
|
|
Решение |
||||||||
|
|
По определению ускорение – это производная скорости |
|||||||||||
|
|
||||||||||||
S = A − Bt + Ct2 + Dt3 |
|
по времени |
a = |
|
dV |
, а скорость – производная пути |
|||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
||||
C = 0,2м / с2 |
|
по времени V = |
dS |
, поэтому выражение для скорости |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||
D = 0,1м / с3 |
|
запишется |
V = |
d |
(A − Bt + Ct2 + Dt3 )= −B + 2Ct + 3Dt2 . |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dt |
|||||||
a = 2,8м / с2 |
|
Ускорение a = |
d |
(− B + 2Ct + 3Dt2 )= 2C + 6t . |
|||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|||||||||
_________________ |
|
Вычисления |
|||||||||||
t − ? |
|
По условию a = 2,8м / с2 , тогда |
|||||||||||
|
|
2,8 = 0,4 + 0,6t , 0,6t = 2,8 − 0,4 = 2,4 , откуда t = |
2,4 |
= 4(c) . |
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
0,6 |
|
|||||||||
Ответ: t = 4c .
Задача 2. Диск вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением ϕ = At2 , где
A = 0,1рад / с2 . Определить полное ускорение a точки на ободе диска к концу второй секунды после начала движения, если линейная скорость этой точки в этот момент равна 0,4м/с.
Дано: Решение По определению полное ускорение вращательного
ϕ = At2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
движения определяется по формуле |
|
a = |
|
|
at2 + an2 , где |
|||||||||||||||||||||||||||
A = 0,1рад / с2 |
|
|
|
|
|
at |
= |
|
dV |
- тангенциальное ускорение, |
an |
= |
V 2 |
- нормальное |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
R |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t = 2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ускорение. Поэтому нужно найти сначала линейную |
||||||||||||||||||||||||||||||||
V = 0,4м / с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
скорость вращения диска V . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
______________ |
|
По определению линейная скорость V = ωR , где |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a − ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω - угловая скорость вращения, которая определяется |
|||||||||||||||||||||||||||||
как ω = |
dϕ |
. Подставив выражение для угла поворота, ϕ |
найдем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
d |
(At2 ) = 2At). Тогда линейная скорость V = 2AtR . Откуда R = |
V |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2A V |
|
|
|
|
|
|
|
2At |
|||||||
Тангенциальное ускорение at = |
dV |
= |
d |
(2AtR) = 2AR = |
= |
V |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt dt |
|
2At |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||||||
Нормальное ускорение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
V 2 |
|
|
|
V 2 2At |
|
= 2AVt . Полное ускорение a = (2AVt) |
2 |
V 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
an = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
R |
|
|
|
|
|
V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||||||||
Проверяем |
размерность полученного выражения для ускорения: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a]= |
м2 с2 |
|
+ |
|
м2 |
|
|
= |
м |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
с4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с4 с2 |
|
|
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a = |
(2 0,1 0,4 2)2 + |
0,16 |
|
= 0,256(м / с2 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: a = 0,256м/ с2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Задача 3. Поезд массой 1200т движется со скоростью V0 |
= 36км /ч , и при |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торможении останавливается, пройдя путь S = 300м . Найти силу торможения.
Дано: Решение
m = 12 105 кг
N
Fтр F
x
mg
V0 = 36км /ч = 10м / с
S = 300м
__________________
Fтор − ?
Поезд считаем материальной точкой.
На поезд действуют 3 силы: FT |
R |
- сила тяжести, |
||
= mg |
||||
N - сила реакции опоры, Fтор - тормозящая сила, |
||||
направленная противоположно направлению движения. |
|
|||
Согласно второму закону Ньютона |
R |
R |
(1). |
|
ma |
= mg + N + Fтор |
|
||
Движение происходит по оси ОХ. Проецируем уравнение (1) на ось ОХ:
ОХ: |
− ma = −Fтор , |
ma = Fтор (2). |
|
||
Чтобы определить Fтор , нужно выразить ускорение a . |
|
||||
Движение поезда равнозамедленное. |
|
||||
По определению для равнозамедленного движения: |
|
||||
скорость |
V = V0 |
− at , пройденный путь S = V0t − |
at2 |
(3) |
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
|
Так как поезд останавливается, то конечная скорость V равна нулю, т.е. |
|||||
V0 = at , откуда выражаем время движения t = |
V0 |
(4). Подставляем (4) |
||||||||||||||||||||||||
a |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в выражение (3) : S = V |
|
V0 |
|
− |
aV0 |
2 |
|
= |
V0 |
2 |
, откуда a = |
V02 |
(5). |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
0 a |
2a2 |
2a |
2S |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Находим тормозящую силу, подставив (5) в (2) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
F |
|
= m |
V02 |
|
(6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
тор |
|
|
2S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Проверяем размерность конечной формулы (6) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
[F |
|
] = |
кг м2 |
= |
кг |
м |
= Н . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
тор |
|
|
м с2 |
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
F |
|
= 12 105 |
100 |
= 2 105 (Н) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
тор |
|
|
|
|
|
|
600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
|
F |
|
= 2 105 Н . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
тор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задача 4. Маховик в виде диска массой m = 12кг и радиусом R = 0,2м свободно вращается вокруг оси, проходящей через его центр, с частотой
ν = 4c−1 . При торможении маховик останавливается через t = 3c . Определить тормозящий момент Mтор .
Дано: |
|
Решение |
|
||
диск |
|
Тормозящий момент находим из основного уравнения |
m = 12кг |
|
динамики вращательного движения |
|
|
|
R = 0,2м |
Mтор = Jε |
(1), |
где |
J - момент инерции диска, |
|
||||||||||
ν = 4c−1 |
ε - угловое ускорение вращения. |
|
|||||||||||||
t = 3c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
______________ |
Момент инерции для диска (согласно таблице) J = |
mR2 |
|
(2). |
|||||||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
Mтор -? |
Угловое ускорение по определению ε = ω , ω = 2πν - |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
||
|
-угловая скорость, т.е. |
ε = |
2πν |
(3). |
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|||
Подставляя (2) и (3) в уравнение (1), для тормозящего момента получаем: |
|
||||||||||||||
|
Mтор = |
mR2 2πν |
|
|
|
(4). |
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Проверяем размерность (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[Mтор |
] = |
кг |
м |
2 |
= Н м = Дж . |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
с2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вычисления
Mтор = 12 0,22 2 3,14 4 = 2,01( Дж)
23
Ответ: Mтор = 2,01Дж
Задача 5. Платформа в виде диска радиусом R =1м вращается по инерции с
частотой |
ν1 |
= 6мин−1 . На краю |
платформы стоит человек, масса |
которого |
m = 80кг . С какой частотой ν 2 |
будет вращаться платформа, если |
человек |
||
перейдет |
в |
ее центр? Момент |
инерции платформы J =120кг м2 . |
Момент |
инерции человека рассчитывать как для материальной точки.
Дано:
R=1м ;
ν1 = 6мин−1 = 0,1с−1 ;
m1 = 80кг ;
J2 = 120кг м2
_________________
ν 2 = ?
Решение.
Человек вместе с платформой составляет замкнутую механическую систему, поэтому момент импульса этой системы должен иметь постоянное значение.
Момент импульса системы в первом случае, когда человек стоял на краю платформы
L1 = ω1J1 + ω1J2 = ω1 (J1 + J2 ), |
|
(1) |
|
где ω1 = 2 π ν1 |
- угловая скорость вращения платформы и человека в |
||
первом случае, J1 |
- момент инерции человека, J2 - момент инерции |
||
платформы. |
|
|
|
Момент инерции человека можно определить по формуле: |
|||
|
J |
1 |
= m R2 . |
|
|
1 |
|
Когда человек перейдет в центр платформы, момент инерции человека станет равным нулю (расстояние до оси вращения R = 0), следовательно, во втором случае момент импульса человека станет равным нулю.
Момент импульса системы во втором случае
L2 = ω2 J2 ,
где ω2 = 2 π ν 2 - угловая скорость вращения платформы во втором случае. Запишем закон сохранения импульса:
|
|
|
|
L1 = L2 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2 π ν |
1 |
(m R2 |
+ J |
2 |
)= 2 π ν |
2 |
J |
2 |
; |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ν |
1 |
(m R2 |
+ J |
2 |
)=ν |
2 |
J |
2 |
; |
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ν 2 = |
ν |
1 |
(m R2 |
+ J |
2 |
) |
; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
J2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Производим проверку размерности расчетной формулы:
|
|
1 |
(кг м2 + кг м2 ) |
|
|
|
|
[ν ]= |
|
|
|
1 |
|
||
c |
|
= |
. |
||||
|
|
||||||
|
|
|
кг м2 |
|
с |
||
Вычисление:
ν 2 = 0,1 (80 +120) ≈ 0,17с−1 . 120
Ответ: если человек перейдет в центр платформы, платформа будет вращаться с частотой равной 0,17с−1 .
Задача 6. На нити длиной 1м висит шар радиусом 5 см, опирающийся на вертикальную стенку. Нить образует со стенкой угол 300 и касается шара в очке С. Определить коэффициент трения шара о стенку.
Дано: Решение
l = 1м
R= 0,05м
α= 300
______________
µ − ?
R
На шар действуют силы: FT = mg - сила тяжести, N - сила реакции опоры, T - сила натяжения нити, Fтр - сила трения.
Записываем первое условие равновесия (геометрическая сумма всех сил
равна нулю) : |
R |
+ T + Fтр |
= 0 (1). |
|
mg + N |
||||
Проецируем уравнение (1) на оси ОХ и ОУ |
||||
ОХ: |
N −TX |
= N − T sinα = 0 |
(2), |
|
ОУ: |
− mg + TY + Fтр |
= −mg + Тсosα + Fтр = 0 (3). |
||
Записываем для шара относительно точки С второе условие равновесия (алгебраическая сумма моментов сил равна нулю).
где |
M1 |
= Fтрl1 , M2 = mgl2 , M3 = Nl3 - моменты сил, l1 = l sinα - плечо силы |
|
трения, |
l2 = Rcosα - плечо силы тяжести, |
l3 = Rsinα - плечо силы реакции |
|
опоры. С учетом этих выражений уравнение (4) запишется |
|||
|
|
− Fтрl sinα + mgRcosα + NRsinα = 0, |
(5) |
Известно, что Fтр = µN , т.е. (5) можно записать как
− µNl sinα + mgRcosα + NRsinα = 0 (6).
Решая систему уравнений (2), (3) и (6), получим для коэффициента трения
R
µ = l sin2 α − (R / 2)sin 2α . (7)
Проверяем размерность (7)
µ= м .
м
|
|
|
Вычисления |
|
µ = |
|
|
0,05 |
= 0,22. |
|
|
|
||
|
2 |
− (0,025)0,87 |
||
(0,5) |
|
|||
Ответ: µ = 0,22.
Задача 7. Верхний конец стержня закреплён, а к нижнему подвешен груз P = 3H . Длина стержня 6м, поперечное сечение S = 4cм2 . Определить
напряжение материала стержня, его абсолютное и относительное удлинение, если модуль Юнга E = 2 1011 Па .
Дано: |
|
Решение |
|
||
P = 3H |
|
Под действием груза стержень растягивается |
|
|
|
S = 4cм2 |
= 4 10−4 м2 |
|
и в материале стержня возникает напряжение, которое |
||||||||||
E = 2 1011 Па |
|
|
|
можно рассчитать по формуле σ = |
Fуп |
. В нашем случае |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
l = 6м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_______________ |
|
|
|
|
Fуп = Р , |
т.е. σ = |
Р |
(1). |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|||
σ − ?, l − ?,ε − ? |
Так как деформации стержня малы, то выражение |
||||||||||||
|
|
|
|
|
закона Гука имеет вид: |
σ = Eε , (2) |
|||||||
где ε = |
l - относительное удлинение. Из (2) выражаем относительное |
||||||||||||
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
удлинение ε = σ = |
P |
. |
(3) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
E |
|
ES |
|
|
|
|
|
|
|
|
Абсолютное удлинение |
|
l = lε . (4) |
|
|
|
|
|
||||||
Проверяем размерность (3) и (4) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
[ε ] = |
H м2 |
= 1(безразмерная величина), [ l] = м. |
||||||||||
|
H м2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
ε = |
|
3 |
|
|
= 0,375 10−7 , l = 6 |
0,375 10−7 = 2,25 10−7 (м) |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
2 1011 4 10−4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: |
ε = 0,375 10−7 , |
|
l = 2,25 10−7 м . |
|
|
|
|
|
|||||
Задача 8. Шар массой 200г, движущийся со скоростью 10м/с, ударяет неподвижный шар массой 0,8кг. Удар прямой, центральный, абсолютно неупругий. Определить скорости шаров после удара.
|
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
m1 |
= 0,2 кг |
|
|
|
Применяем закон сохранения импульса для абсолютно |
||||||||
V1 = 10м/с |
|
|
|
неупругого удара. После удара шары будут двигаться |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
m2 |
= 0,8 кг |
|
|
|
вместе с одинаковой скоростью V . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
R |
R |
V2 |
= 0 м/с |
|
|
|
|
|
m1V1 |
+ m2V2 = (m1 |
+ m2 )V . (1) |
||||
______________ |
Проецируем уравнение (1) на ось Х, учитывая то, что |
||||||||||||
V-? |
|
|
|
|
V2 |
= 0 : |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Х: m1V1 = (m1 + m2 )V , откуда найдем скорость шаров после |
||||||
удара V = |
|
m1V1 |
. (2) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
(m1 + m2 ) |
|
|
|
|
|
|||||
Проверяем размерность формулы (2) |
|||||||||||||
|
|
|
|
[V ]= |
кг м |
= |
м |
. |
|
|
|||
|
|
|
|
с кг |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|||
|
|
0,2 10 |
|
|
|
Вычисления |
|
||||||
|
V = |
= 2 (м/с). |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
0,2 + 0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ответ: |
V = 2 м/с. |
|
|
|
|
|
|||||||
Задача 9. В сосуд заливается вода со скоростью 0,5л/с. Пренебрегая вязкостью воды, определить диаметр отверстия в сосуде, при котором вода поддерживалась бы на постоянном уровне h = 20см.
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
V = 0,5л / с = 5 10−4 м3 |
|
|
|
Объём воды, выливающейся через отверстие в |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
h = 0,2м |
|
|
|
|
|
|
сосуде определяется как |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
t = 1c |
|
|
|
|
|
|
|
|
V = Sϑ t (1), |
где |
S = |
πD2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
(2)- площадь |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___________________ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
D − ? |
|
|
|
|
|
|
|
основания отверстия, |
ϑ - скорость истечения воды. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
По формуле Торричелли скорость истечения жидкости из отверстия |
|||||||||||||||||||||||||
равна |
|
|
|
|
ϑ = |
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2gh |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставляем (2) и (3) в уравнение (1), получаем выражение |
, |
||||||||||||||||||||||||||
|
πD |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4V |
|
||||
V = |
|
2gh t , откуда диаметр отверстия D = |
|
(4) |
|||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
π |
|
2gh t |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Проверяем размерность (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[D] = |
|
|
|
|
|
= |
|
|
м2 = м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
м2 с2 |
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычисления |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
D = |
|
|
|
|
4 5 10−4 |
= 0,018(м) . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
2 9,81 0,2 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Ответ: |
|
D = 0,018м . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ЗАДАЧИ
100.Тело движется по закону x = 12t − 2t2 . Построить графики зависимостей координаты, скорости и ускорения тела от времени. Найти координату и скорость тела через 2 с и 5 с.
101.Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением s = сt3 , где с=0,1 см/с3. Найти нормальное an и тангенциальное аt ускорение точки в момент, когда линейная скорость точки V = 0,3 м/с.
102.С какой высоты падало тело, если за последние 2 с прошло 60 м? Сколько времени падало тело? Принять g = 10 м/с2 .
103.Вал вращается с частотой n = 180 об/мин. С некоторого момента вал начал вращаться равнозамедленно с угловым ускорением ε = 3 рад/с2 . Через какое время t вал остановится? Найти число оборотов вала n до остановки.
104.Камень брошен под углом 300 под углом к горизонту со скоростью
10 м/с. Через сколько времени он достигнет высоты 1,05 м?
105. По дуге окружности радиусом R= 10 м движется точка. В некоторый момент времени нормальное ускорение точки an =4,9 м/с2 ; в этот момент времени векторы полного и нормального ускорений образуют угол ϕ = 600 . Найти скорость V и тангенциальное ускорение at .
106. |
|
Движения |
двух |
материальных |
точек |
выражаются |
уравнениями |
|||||||||
x = A + B t + C t2 |
, x |
2 |
= A |
+ B |
t + C |
t2 , где |
A = 20м, В = В |
2 |
= 2м/ с, А = 2м, |
|||||||
1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
1 |
1 |
|
2 |
|
||
С − 4м / с2 ,С |
2 |
= 0,5м / с2 .В какой момент времени скорости этих точек будут |
||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
одинаковы? Определить скорости V1 и |
V2 , ускорения a1 и a2 |
точек в этот |
||||||||||||||
момент времени. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
107.Модуль линейной скорости точки, лежащей на ободе вращающегося колеса, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 0,05 м ближе к оси колеса. Найти радиус колеса.
108.Автобус движется по прямолинейному участку, имея скорость 15 м/с. На каком расстоянии от остановки он должен начать тормозить, если ускорение при этом не должно превышать 0,5 м/с2 . Сколько времени займёт торможение до полной остановки?
109.Тело, брошенное под углом 450 к горизонту, через 5 с после бросания имело вертикальную составляющую скорости 9,8 м/с. Какова дальность полёта по горизонтали? Сопротивление воздуха не учитывать.
110.Самосвал с грузом общей массой 10 т движется по горизонтальному участку дороги со скоростью 72 км/ч. На каком расстоянии от места разгрузки самосвал должен начать тормозить, если сила торможения равна 5 кН? Сколько времени займет торможение?
111.Стальная проволока выдерживает груз, масса которого не превышает
600кг. С каким максимальным ускорением можно поднимать груз массой
500кг, чтобы проволока не оборвалась?
112.Радиус Земли в n = 3,66 раза больше радиуса луны; средняя плотность Земли в k = 1,66 раза больше плотности Луны. Определить ускорение свободного падения на поверхности Луны, если на поверхности Земли ускорение g = 9,81 м/с2 .