- •Тема: Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве Лекция № 7 “Прямая на плоскости. Основные задачи”
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Виды уравнений прямой.
- •3. Основные задачи.
- •Лекция № 8 “Кривые второго порядка”
- •1. Окружность.
- •2. Эллипс.
- •3. Гипербола.
- •4. Парабола.
- •Лекция № 10 “Плоскость в пространстве”
- •1. Общее уравнение плоскости.
- •2. Другие уравнения плоскости.
- •3. Основные задачи.
- •Лекция № 11 “Прямая в пространстве”
- •1. Общее уравнение прямой.
- •2. Основные задачи.
3. Основные задачи.
1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями . Требуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислитькоординаты точки пересечения , необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точкидолжны одновременно удовлетворять уравнениям прямыхи.
2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами
. Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26).
Рис. 26. Угол между двумя прямыми.
Из рисунка видно, что , а угол. Вычислим:
.
Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой
. Из полученной формулы видно:
а) если прямые и параллельны или совпадают (или), то. Отсюда следуетусловие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой .
а) если прямые иперпендикулярны (), тоне существует. Отсюда следуетусловие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением .
Пример 4. Определить угол между прямыми
В силу того, что , то прямые параллельны, следовательно,.
Пример 5. Выяснить взаимное расположение прямых
Так как угловые коэффициенты и связаны между собой соотношением, то прямые взаимно перпендикулярны.
3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки на прямую . Если прямаязадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой
определяется формулой: . Если прямаязадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой:.
Лекция № 8 “Кривые второго порядка”
1. Окружность.
О1. Кривой второго порядка называется линия, описываемая уравнением .
З1. Если коэффициенты , уравнение кривойII порядка вырождается в уравнение прямой.
При определенных значениях параметров, входящих в это уравнение, оно дает канонические уравнения окружности, эллипса (не путать с овалом), гиперболы и параболы. Рассмотрим эти кривые второго порядка в указанной последовательности.
О2. Окружностью называется геометрическое место точек равноудаленных от выделенной точки , называемой центром окружности, на
расстояние , которое называетсярадиусом окружности.
Получим уравнение окружности (Рис. 27). Пусть точка лежит на окружности
Рис. 27. Вывод уравнения окружности.
Из рисунка видно, что по теореме Пифагора , которое определяет уравнение окружности(Рис. 28).
Рис. 28. Окружность.
Если , то уравнение принимает вид, которое называетсяканоническим уравнением окружности.