BIS3_matem_org_ua

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный горный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

8 9 5 2 30 6 28 0 ,

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

06.06.2015

Размер:

1.34 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Очевидно, что матрица Am n согласована (см. подраздел 2.3) с матрицей X n 1, т.е. можно найти произведение

	a x	a x	a x
	11 1	12 2	1n n
	a21x1 a22 x2		a2n xn
AX				.

	a x	a x	a x
	a x	a x	a x
	m1 1	m2 2	mn n

Элементами полученной столбцевой матрицы являются левые части уравнений системы (3.1), а элементами матрицы B – правые части этих же

уравнений. На основании определения равенства матриц систему (3.1) можно

записать в форме

AX B .

(3.4)

Такая запись системы уравнений называется матричной.

Упорядоченный набор чисел x1

,x2

,...,xnГназывают решением систе-

в тождество после под-

мы (3.1), если каждое уравнение системы обращаетсяк

становки вместо x

,...,x соответственно чисел x

,...,x

. Матрицу

1 2

org

matem

е X

называют вектор-решением данной системы.

Если существует хотя бы одно решение системы (3.1), то система назы-

вается совместнойа

. В противном случае систему называют несовместной.

Совместная система называется определенной, если она имеет единст-

венное решение.

Система, имеющая более одного решения, называется неопределенной. Неопределенная система всегда имеет бесконечно много решений.

Решить систему – это значит выяснить, совместна она или несовместна, и в случае совместности найти ее решение (или множество решений).

Две системы называются эквивалентными или равносильными, если всякое решение одной из них является решением другой и наоборот, т.е. если они имеют одно и то же множество решений. Всякие две несовместные системы являются эквивалентными.

Элементарными преобразованиями системы называют следующие преобразования:

1) умножение некоторого уравнения системы на отличное от нуля число;

2)прибавление к одному уравнению системы другого ее уравнения, умноженного на произвольное число;

3)перестановку местами двух уравнений системы.

При элементарных преобразованиях системы приходим к системе, эквивалентной данной.

3.2. Решение невырожденных линейных систем

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными

a x

b ,

11 1

a21x1 a22 x2 a2n xn

(3.5)

................................................

an2 x2 ann xn

an1x1

bn"

Матрица A такой системы является квадратной матрицей порядка n .

Определитель этой матрицы

det A

(3.6)

.ua

org

matem

ann

an1

называется определителем шистемы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется

невырожденной, в противном случае систему называют вырожденной.

Рассмотрим невырожденнуюр

систему, т.е. систему, для которой 0 .

3.2.1. Формулы Крамера. Составим вспомогательные определители

путем замены в нем

, которые получаются из определителя системы

j -го столбца столбцом свободных членов:

a11

a12 b1

a1n

a21

a22

a2n

an1

an2 bn

ann

j-й столбец

Решение системы (3.5) можно найти по формулам Крамера:

									x j			j					( j 1,2,...,n ).																					(3.7)
									x j								( j 1,2,...,n ).																					(3.7)

Пример 3.1. Решить систему уравнений																												3x y 1,
Пример 3.1. Решить систему уравнений																															5 y				12.
																										2x					5 y				12.
Решение. Составим определитель системы из коэффициентов при неиз-
вестных x , y и вычислим его:
													3			1		15				2				17 .
													3			1		15				2				17 .
													2			5																					"
Поскольку 0 ,									система невырожденная.																												"
Поскольку 0 ,									система невырожденная.																			Составим вспомогательные
определители																																				У
определители																																			Г
																																		Н
																																		Н
		1		1																					3				1				"
x		1		1				5 12 17 ,										y							3				1			З
x								5 12 17 ,										y											У 36 2 34 .
		12			5																				2		В
		12			5																				2			12
																										Г
																										Г
По формулам Крамера (3.7) находим:																									и
По формулам Крамера (3.7) находим:																							к
																					и
																	е			т				ua
							x			17							е		аy					ua
							x			17									аy							34
				x									1,				y	м			.								2 .
										17						т			org					17
										17						т								17
															а			.
									ы					matem
Сделаем проверку, подставивмв каждое из уравнений системы найденные
числа:													й
числа:			3x y 1								е					2 1,								1 1,
			3x y 1							ш 3 1						2 1,								1 1,
									с																					12 12.
			2x 5 yв 12 2 1 5 2 12,																											12 12.
						а
					р																					2x1 x2 x3 0,
				д																						2x1 x2 x3 0,
			е																							3x						2x				5x		1,
Примерф3.2. Решить систему уравнений																										3x						2x				5x		1,
	а																												1						2		3
К																													1						2		3
К																										x							3x		2x			4.
																												1						2			3

Решение. Составим и вычислим определитель системы.

т.е. система невырожденная и можно применить формулы (3.7). Путем последовательной замены в определителе первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов получим вспомогательные определители.

						0	1										1
						0	1										1
1						1			2 5											0 3 20 8 0 2 13,
						4			3				2
						2	0							1
						2	0							1
2					3		1 5											4 12 0 1 40 0 47 ,
						1	4				2
						2	1					0																														"
						2	1					0
3				3					2 1							16 0 1 0 6 12 21.
																																									У
																																								Г
						1			3			4																									Н
						1			3			4																								"
																																				"
										13																	47								З				21					3
Тогда	x									13				,					x					2			47		,			x		У					21					3	.
Тогда	x						1							,					x					2					,			x			3										.
		1								28										2							28					3 В						28						4
										28																	28						Г					28						4
																																и
																																к
																														и
Проверка:																												т
Проверка:																											а				21ua
		13					47					21										26					а									0
		13					47					21										26			е47											0
																								т		м				.
2		28					28					28					0,									28.org							0,		28				0,					0 0,
2																	0,																0,						0,					0 0,
																							а
												ы									м
	13							47				ы									matem										94 105										28
	13							47												21й						39					94 105										28
3							2								5					е	1,														1,									1,		1 1,
		28							28					с																	28										28
		28							28									ш28													28										28
13						3	47			в					21						4,			13 141									42		4,			112					4,			4 4.
						3					2										4,														4,								4,			4 4.
28								а							28													28											28
28							28р								28													28											28
							д
						е																											x 2 y 3z 14,
			ф																														x 2 y 3z 14,
	а
К																																			3y 2z 9,
Пример 3.3. Решить систему уравнений																																	2x		3y 2z 9,

																																	3x 4 y z 16.

Решение. Составим и вычислим определитель системы.

Решение системы можно найти по формулам Крамера (3.7), так как 0 . Вычислим вспомогательные определители:

	14 2 3																					1 14 3																			1 2 14
	14 2 3																					1 14 3																			1 2 14
x	9 3						2		12 ,								y					2 9								2			18,					z			2	3 9		12 .
	16				4		1															3	16							1											3	4	16
Тогда					x				x				12			2 ,					y			y					18				3,				z			z		12	2 .
Тогда					x				x				6			2 ,					y									6			3,				z			z		6	2 .
													6																	6												6
Полученное решение легко проверить (см. примеры 3.1 и 3.2).
Замечания.
1. Невырожденная система ( 0 ) всегда является совместной"																																												и опре-
																																								Г
деленной, т.е. имеет единственное решение, которое можетУбыть получено по
формулам Крамера (3.7).																																						"
формулам Крамера (3.7).																																						З	Н
2. Если система вырожденная ( 0 ) и хотя бы один из определителей
																																				У
																																			В
j отличен от нуля, то система решения не имеет, т.е. несовместна.
																																		Г
																																	и
3. Если система вырожденная ( 0 ) и все вспомогательные определи-
			j																												к
тели			j	0 ( j																										и
тели				0 ( j			1,2,...,n ), то система либо несовместна, либо имеет бесчис-
																												т
																											а					ua
																									м							ua
ленное множество решений, т.е. неопределенная (см. примеры 3.4 и 3.5). Для
																							т							.								исследование.
однозначного заключения требуется дополнительноее																																						исследование.
																						а					org
																						м			.							2x y 3z 1,
														ы							matem											9x					5 y 4z 1.
																				й
																			е
																		ш
Пример 3.4. Найти ре ение системы 5x 3y 2z 3,
													в			с


												а
Решение. В данном случае
										р
								д							2				1		3
								д
							е
						ф							5					3				2	24 75 18 81 20 20 0 .
					а								5					3				2	24 75 18 81 20 20 0 .
					К										9				5		4
															9				5		4
Легко также проверить равенство нулю всех вспомогательных определи-
телей:
				1		1		3													2					1				3										2		1		1
				1		1		3													2					1				3										2		1		1
x		3			3			2			0 ,					y					5					3				2			0 ,				z			5		3		3	0 .
			1			5 4																9 1 4																		9		5 1

Вместе с тем можно заметить, что третье уравнение является следствием первых двух: достаточно удвоить первое равенство и вычесть из него второе.

Таким образом, третье уравнение новой информации не содержит и должно быть отброшено. Оставшиеся уравнения рассматриваем как систему с

двумя неизвестными, например,

x и y ,

а переменную z переносим в правую

часть каждого из равенств:

2x y 1 3z,

5x 3y 3 2z.

Вычислив все необходимые определители, решаем полученную систему

по формулам Крамера.

1 3z

3 1 3z 3 2z 11z 6 ,

1 3z

2 3

"Н

5 1 3z 19z 11.

3 2z

6 11z ,

к 19z

11.

Величину z

здесь можно задавать произвольном . . Например, при z 0 имеем

x 6 ,

y 11;

org

при z 1 получим x 17 , y 30 и т.д. Таким образом,

система имеет бесчисленное множеством

решений, т.е. является неопределен-

matem

ной.

x 2 y 3z 1,

Пример 3.5. Решитьв

систему 2x 4 y 6z 5,

3x 6 y 9z 3.

Решение.фВ этом случае, так же как в примере 3.4, все определители об-

ращаются вКнуль:

x y

0 (проверьте это самостоятельно). Од-

нако можно заметить, что первое уравнение противоречит второму (если первое уравнение умножить на 2, то левые части первого и второго уравнений совпадут, а правые – нет). Следовательно, система не имеет решений, т.е. несовместна.

3.2.2. Матричный метод. Запишем систему (3.5) в матричной форме

AX B .

(3.8)

Напомним, что здесь

a		a	a
	11	12	1n
a21		a22	a2n	матрица системы,
A

		a	a
a
	n1	n2	nn

столбец свободных членов.

столбец неизвестных,

0 ), то матрица A

Поскольку система (3.8) невырожденная ( det A

имеет обратную матрицу A

(см. формулу (2.4) и подраздел"

2.4). В этом слу-

чае решение уравнения (3.8) может быть найдено (смЗ. подраздел 2.6) по фор-

муле:

X A 1B .

(3.9)

x1 4x2 6,

.ua

3x 11.

.org

Пример 3.6. Решить систему туравнений

matem

A, X и B :

Решение. Составим матрицыш

1 4

A д0 1

2 7

AX B . Вычислим определи-

Теперь систему можно записать в виде

тель матрицы A:

det A

3 0 8 0 7 0 2 .

Поскольку det A 0 , то матрица A невырожденная и для нее существует обратная матрица (см. пример 2.21):

	1	A11		A21	A31
A 1	1	A		A	A	.
A 1		A		A	A	.
			12	22	32
	det A		A	A	A
			13	23	33

Вычислим необходимые алгебраические дополнения элементов матрицы A.

A		1			1				10 ,										A		21						4				0					12 ,								A	31					4					0		4,
A		1			1				10 ,										A								4				0					12 ,								A						4					0		4,
11		7				3																					7				3																			1				1
		7				3																					7				3																			1				1
A			0				1					2 ,							A		22				1 0							3,												A	32							1					0		1,
A			0				1					2 ,							A						1 0							3,												A								1					0		1,
12				2				3																	2					3																		"				0				1
				2				3																	2					3																						0				1

																																														У
																																														У
A		0			1		2 ,												A									1				4				1,									Г				1					4		1.
A		0			1		2 ,												A			23						1				4				1,							"AН						1					4		1.
13		2			7																	23							2		7											З		33					0					1
		2			7																								2		7										У								0					1
																																									У
Получаем																																								В
Получаем																																							Г
															10					12						4											и			6				2
															10					12						4											к5			6				2
								1					1																						и
					A			1					1		2								3						1				т					1 3 2						1 2 .
					A										2								3						1		а							1 3 2						1 2 .
													2																						.ua
													2			2							1							м								1 1 2 1 2
																2							1						е1									1 1 2 1 2
																							м			т					org
																										т
																								а						.
		1					1																matem											1															1
																						й
Решение исходной системы можно получить по формуле (3.9)
											10									е			4 6														60 12 44														4						2
											10						12ш						4 6														60 12 44														4						2
																		с
																	ы
X A B							2				2				в				3				1 1											2			12				3		11						2				2					1		,
							2							а					1															2				12			1								2				0					0
											р2								1				1 11															12			1		11										0					0
											д
т.е. x 2,					x					е
т.е. x 2,					x		ф				1, x 0 .
1					а											3
1				К		2										3
				К
	Результат можно проверить подстановкой найденных чисел в исходную
систему уравнений (см. примеры 3.1, 3.2).
																																							4x 2 y z 0,
	Пример 3.7. Решить систему уравнений																																								2 y z 1,
	Пример 3.7. Решить систему уравнений																																						x		2 y z 1,
																																										y z 3.
																																										y z 3.
	Решение. Имеем																4 2							1														x										0
																	4 2							1														x										0
																			1 2													X																1
														A					1 2						1 ,							X						y			,		B					1		.

																	0 1							1														z									3

Определитель матрицы A:
det A	4	2	1
	4	2	1
	1	2	1	8 1 0 0 4 2 11 0 .
	0	1	1

Таким образом, матрицаA имеет обратную, а система уравнений имеет решение, которое можно найти по формуле (3.9).

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы A.

A			2			1			3,							A			21									2	1				1,						A		31					2				1				4 ,
A			2			1			3,							A												2	1				1,						A							2				1				4 ,
11				1 1																								1 1																		2					1
																																																"
																																																"
																																													У
																																												Г
					1			1																	4			1															Н						4				1
A					1			1			1,					A			22						4			1			4 ,								A			"							4				1		5 ,
12					0	1													22						0			1												32									1				1
					0	1																			0			1											З										1				1
																																						У
																																						У
				1	2																						4		2								В										4			2
																																					В
A							1,									A																				Г			A													6 .
A							1,									A		23													4и,								A		33											6 .
13				0	1													23									0		1					к							33							1		2
				0	1																						0		1			и																1		2
																															т
																															т
																						3								а
																						3						1 м			4.ua
																												е
																												т
									A 1						1										а4					org																				X A 1B
Таким образом,									A 1													1			а4					5					. Следовательно,															X A 1B
														11										м					.
		3						1					4	11										м																				11										1
		3						1					4				0						matem0 1											12										11										1
																					й1				4						6
																				е
																	ш
															с
	1													ы														1															1
	1												в															1															1
					1		4					а5					1									11			0			4			15													11							1	,
	11				1		4					а5					1												0			4			15							11						11							1	,
	11										р																															11
					1					д			6			3													0			4			18										22										2
					1		4						6			3													0			4			18										22										2
									е
							ф
т.е. x		1,			а							z 2						решение заданной системы уравнений.
т.е. x		1,			Кy	1,						z 2						решение заданной системы уравнений.

3.3. Метод последовательного исключения неизвестных

(метод Гаусса)

Рассмотрим систему m уравнений с n неизвестными:
a x	a x	a x			b ,
11 1	12 2		1n n			1
a21x1 a22 x2 a2n xn b2							,	(3.10)
................................................								(3.10)

a x	a x		a	x		b .
m1 1	m2 2		mn n				m

С помощью элементарных преобразований (см. подраздел 3.1) систему (3.10) можно привести к эквивалентной системе ступенчатого вида:

a x a x a x a x b ,
	11 1	12 2 13 3	1n n 1
		b22 x2 b23x3 b2n xn p2,		(3.11)
		..................................................		(3.11)
		..................................................
		dkk xk dkn xn ek .
		dkk xk dkn xn ek .

При k n , т.е. когда число неизвестных совпадает с числом уравнений, систему (3.11) называют треугольной, ее коэффициенты образуют верхнюю

треугольную матрицу. В этом случае последнее уравнение системы"

содержит

только одно неизвестное x

, которое легко определить. Из предпоследнего

уравнения, где присутствуют xn и xn 1

, находят xn 1, "после чего, поднимаясь

вверх, можно найти и все остальные неизвестные. Система при этом имеет

единственное решение.

Если k n , т.е. число неизвестных большеи числа уравнений, то система

имеет бесчисленное множество решений. Виэтом случае k переменных счита-

ют основными, а n k

неизвестных

асвободными, которые можно задать

переменных можно выбирать

произвольно. Отметим, что в качествееосновных.ua

org

только те, коэффициенты при которыха

составляют базисный минор матрицы

matem

системы (см. замечание на с. 42).

преобразований появляется тождество

Если в процессе элементарныхе

вида 0 = 0, то его следует отброситьш

. Появление в системе невозможных ра-

венств типа 0 = l, где l отличноы

от нуля, означает, что исходная система (3.10)

несовместна.

(3.11) удобно выполнять в матричной форме, подвер-

Переход к системер

гая элементарным преобразованиям расширенную матрицу A системы (3.10).

Пример 3.8. Методом Гаусса решить систему уравнений

3x1 4x2 x3 1,

5x1 9x2 7x3 5.

Решение. Составим расширенную матрицу системы

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 97 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
06.06.20154.7 Mб658Anabolicum.pdf
#
10.11.20184.8 Mб5Avtomatika.docx
#
28.03.2016924.3 Кб237Bezopas_dvizhenia_rus_2.docx
#
18.09.201934.95 Кб1Bilet_vse_25.docx
#
24.04.20195.11 Mб2Bilyavskiy.doc
#
06.06.20151.34 Mб9BIS3_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.4 Mб12BIS4_matem_org_ua.pdf
#
06.06.20151.77 Mб16BIS5_matem_org_ua.pdf
#
28.03.20162.42 Mб8book_full.pdf
#
15.11.2019564.21 Кб1Brif_dlya_konsultantov_ISTINNAYa_iyul_2012.docx
#
26.08.2019102.02 Кб2bukhuchet.docx