BIS3_matem_org_ua
.pdf
|
|
1 |
2 |
0 1 15 |
2 15 |
4 15 |
|
|||
A A 1 |
|
1 |
1 |
2 |
|
7 15 |
1 15 |
2 15 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 0 |
|
|
1 5 |
2 5 |
1 5 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 2 0 |
|
|
|
1 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
14 0 |
|
2 2 0 |
4 |
4 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
1 2 |
|
|
7 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 7 6 |
|
|
2 1 12 4 |
2 6 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
15 |
|
|
|
|
15 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 3 |
|
6 0 6 |
12 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 0 1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 15 0 |
|
|
|
0 |
|
|
1 0 |
E ; |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 15 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 |
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 15 |
|
2 15 |
|
|
|
|
|
|
4 15 |
|
|
1 |
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A 1A |
|
7 15 |
|
|
|
1 15 2 15 |
|
|
|
Г |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 5 |
|
|
|
|
2 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
3 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 т5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
1 2 |
|
|
|
4 |
1 2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
.org |
|
12 |
|
2 2 0 |
0 4 4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
7 |
1 |
2 1 |
|
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
1 6 |
|
14 1 0 |
0 2 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
6 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
3 |
6 9 |
|
6 6 0 0 12 3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р1 |
0 15 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 0 |
|
E . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
15 |
0 |
|
|
0 15 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
Пример 2.13. Дана матрица A |
|
|
|
|
|
|
|
. Найти матрицу A 1 . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
Решение. Убедимся в том, что матрица A невырожденная, т.е. ее детер- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
минант не равен нулю. |
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A |
|
|
|
|
5 12 7 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдем алгебраические дополнения элементов данной матрицы:
A 1 1 1 |
5 5 ; |
A 1 1 2 |
4 4 ; |
11 |
|
12 |
|
40
|
|
A 1 2 1 3 3; |
|
|
|
|
A 1 2 2 1 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Следовательно, согласно формуле (2.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
A 1 1 |
|
|
5 |
|
|
3 |
|
|
|
5 7 |
|
|
|
3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 7 |
|
|
1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Для проверки правильности результата вычислим произведения A A 1 и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A 1A: |
|
|
|
|
1 3 5 7 |
|
|
|
|
3 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
5 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
1 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 12 |
|
|
3 3 |
|
|
|
1 7 |
|
|
|
|
Н |
|
|
1 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||
|
|
|
20 20 |
|
12 5 |
7 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З7 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
5 7 |
|
3 7 1 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
3 |
|
1 3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A 1A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 7 1 7 |
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
4 5 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7и 4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 12 |
|
15 15 |
|
|
.ua7 |
|
|
|
0 |
|
1 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
м |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
7 |
|
4 4 |
12 |
|
|
|
. |
7 0 |
|
|
7 |
|
|
|
0 1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Таким образом, |
|
A A |
ш |
|
|
|
|
|
A E . Это означает, что найденная матри- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ца A |
является обратнойыдля матрицы A. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
2.5. Ранг матрицы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
аЭлементарные преобразования матрицы |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим матрицу A размера m n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
a21 |
|
|
a22 |
|
|
|
|
|
a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Выделим в этой матрице k строк и k столбцов, где k – число, которое |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
не больше чисел m и n , |
т.е. k min m,n . |
Определитель |
Mk |
порядка k , |
41
составленный из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, называют минором k -го порядка, порожденным матрицей A.
Очевидно, минорами 1-го порядка являются сами элементы матрицы.
|
1 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
2 |
0 |
4 |
0 |
|
. Каждый |
Пример 2.14. Рассмотрим матрицу A |
|
|||||
|
3 |
0 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
элемент этой матрицы является ее минором 1-го порядка. Выделяя любые две строки и два столбца матрицы, можно составить миноры 2-го порядка. Например, из элементов, стоящих на пересечении первых двух строк и первых двух
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
столбцов, составляем минор |
M2 |
|
, а из элементов, стоящих" |
на пересе- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
2 |
4 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чении 2-й и 3-й строк и 1-го и 3-го столбцов, |
|
|
З |
M2 |
|
|
|
. Выбрав |
||||||||||||||||||||
минор |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
элементы, стоящие на пересечении трех строк и трех столбцов, например, 2-го, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и0 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а3 |
|
0 |
|
|
4 0 |
|
. Миноры 4-го и бо- |
|||||||||||
3-го и 4-го, получим минор 3-го порядка M |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
ua0 |
|
|
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
лее высокого порядка для данной атрицы. не существуют. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
с |
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Рангом матрицы |
|
|
|
й |
|
число r , которое равно порядку самого |
||||||||||||||||||||||
|
A называюте |
|||||||||||||||||||||||||||
старшего отличного от нуляшминора матрицы |
|
A. Применяют обозначения: |
||||||||||||||||||||||||||
r A , Rg A. |
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из определенияаследует, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
р |
|
Am n имеет ранг, причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1) любая матрицад |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
0 |
r A min m,n ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) r AК 0 тогда и только тогда, когда матрица A – нулевая; |
|
|
3) для квадратной матрицы п-го порядка r A n тогда и только тогда,
когда матрица A невырожденная ( det A 0 ).
Базисным минором матрицы называют отличный от нуля ее минор, порядок которого равен рангу матрицы.
Для ненулевой матрицы всегда существует базисный минор (вообще говоря, не единственный). Строки и столбцы, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называют базисными.
Замечание. В матрице A всякий отличный от нуля минор порядка r Rg A можно принять в качестве основного, т.е. базисного. Тогда любой
ряд матрицы A, расположенный за пределами базисного минора, представляется как линейная комбинация параллельных рядов, пересекающих этот
42
минор. Такой ряд с помощью элементарных преобразований (см. с. 44) обращается в нулевой.
2.5.1. Методы вычисления ранга матрицы
1. Метод окаймляющих миноров |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Минором, окаймляющим минор k -го порядка Mk , называют минор |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k 1 -го порядка Mk 1, содержащий в себе Mk . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Справедливо утверждение: если матрица |
|
A имеет минор k -го порядка |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Mk 0 , а все окаймляющие его миноры Mk 1 0, |
то ранг матрицы A ра- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вен k , т.е. r A k . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A достаточно" |
|
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, для определения ранга матрицы |
|
|
найти от- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
равны нулю. |
|||||
личный от нуля минор M , все окаймляющие миноры которогоГ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда ранг матрицы A равен порядку минора M . |
|
|
"Н |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 З 3 |
2 |
5 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г2 |
4 |
3 |
1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 2.15. Найти ранг матрицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
7 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
A к |
|
|
|
|
11 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
7 |
15 |
7 |
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
|
. |
|
|
|
1 |
1 |
5 |
6 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
. |
|
|
|
(т.е. элементов матрицы) имеют- |
|||||||||||||||||||||
Решение. Среди миноров 1-мго порядкаorg |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r A 1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ся отличные от нуля, наприм р, элемент |
|
a |
|
1. Следовательно, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Среди миноров 2-го порядкаш, окаймляющих этот элемент, также есть отлич- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 6 2 0 (остальные окайм- |
||||||||||||||||||||||
ный от нуля, например, |
M2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ляющие минорые2-го порядка вычислять уже не следует). Таким образом, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
, |
r A 2 . Можнофубедиться, что все миноры 3-го порядка, окаймляющие M |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
обращаются в нуль. Действительно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
4 3 |
0 , |
|
|
2 |
|
4 1 |
|
0 , |
|
|
2 |
4 |
|
3 |
|
0 , |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
0 2 7 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 15 |
7 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 3 5 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
4 1 |
0 , |
|
|
2 |
|
|
4 3 |
0 , |
|
|
|
|
2 |
4 |
1 |
0. |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
7 15 2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 6 |
|
|
|
|
|
Следовательно, ранг матрицы A равен 2: r A 2.
43
|
2 |
4 |
3 |
1 |
0 |
|
|
|
1 |
2 |
1 |
4 |
2 |
|
|
|
|
||||||
Пример 2.16. Найти ранг матрицы A |
0 |
1 |
1 |
3 |
1 |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
|
4 |
7 |
4 |
4 |
5 |
|
|
|
|
Решение. Среди миноров 1-го порядка (элементов матрицы) имеются отличные от нуля, т.е. r A 1. Минор 2-го порядка, расположенный в левом
верхнем углу, равен нулю: |
|
|
2 |
|
|
4 |
|
|
4 4 0 . |
Но матрица имеет другие |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
миноры 2-го порядка, |
не |
|
равные нулю, например, |
"M |
2 |
|
|
4 |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
||||
4 6 2 0 . Следовательно, r A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ми- |
||||||||||||||||||||||||
|
2 . Возьмем окаймляющий"Н |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
нор 3-го порядка M3 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
. Он отличенГ |
от нуля, т.е. r A 3. Вы- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числив все окаймляющие M3 миноры 4-го порядка, можно убедиться, что все |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
они обращаются в нуль: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 4 |
|
3 |
|
|
м1 |
|
|
|
|
|
2 4 |
3 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
0 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
matem3 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 2 |
|
|
|
е |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
сш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
в |
|
4 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 7 |
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
а |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, rеA 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Метод элементарных преобразований |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотренный выше метод окаймляющих миноров не всегда удобен, поскольку связан с вычислением значительного числа определителей. Существуют преобразования, которые не изменяют ранга матрицы, но облегчают процедуру его вычисления. Такие преобразования называют элементарными.
Кним относятся:
1)перестановка двух параллельных рядов матрицы (строк или столб-
цов);
2)умножение всех элементов какого-либо ряда на любое число, отличное от нуля;
3)прибавление ко всем элементам какого-либо ряда соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число;
4)транспонирование матрицы.
44
Матрицы A и B называют эквивалентными, если матрица B получена из матрицы A путем элементарных преобразований. Эквивалентность матриц обозначают: A ~ B .
В результате элементарных преобразований над строками любую матрицу можно привести к ступенчатому виду, т.е. сделать так, чтобы все элементы, стоящие под главной диагональю, обратились в нуль. В этом случае вычисление миноров матрицы, а значит, и нахождение ее ранга, упростится. Напом-
ним, что под главной диагональю любой матрицы мы понимаем элементы a11 ,
a22 и т.д.
Если в процессе преобразования возникает нулевая строка, ее можно удалить из матрицы.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
Пример 2.17. Найти ранг матрицы A |
3 |
1 |
|
4Г 2 |
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
3 |
" |
|
15 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
У |
|
|
|
|
|
11 |
, ко вто- |
|
Решение. Чтобы сделать нулевыми элементыВ, стоящие под a |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рой строке прибавим первую, умноженную нак 3 , а к третьей первую, ум- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
ноженную на 5 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
а |
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
е |
|
|
т |
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
м |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычтем из.orgтретьей |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
2 |
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
5 |
|||||
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
A ~ 0 |
7 |
5 |
|
|
ы |
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
~ 0 |
7 |
|
5 |
17 . |
||||||||||||
|
17 |
|
~ й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0 |
7 |
7 |
|
|
10 |
|
|
|
естроки вторую |
|
|
0 |
|
0 2 |
|
7 |
||||||||||||||||
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Имеем ступенч тую матрицу. Легко заметить, что эта матрица имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||
миноры не выше т ретьего порядка. Удобнее всего вычислить тот, который со- |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
держит полученныее |
нулевые элементы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ф |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
К |
|
|
|
M3 |
0 |
|
7 |
|
5 |
1 7 2 14 0 , |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следовательно, r A 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
1 2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Пример 2.18. Найти ранг матрицы A |
|
|
1 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Решение. Для вычислений удобно, чтобы элемент a11 был равен едини-
це. Этого можно добиться, поменяв, например, местами первый и третий столбцы.
45
|
1 |
2 |
3 |
2 |
Ко второй строке прибавим первую, |
|
|
|
1 |
0 |
2 |
|
|
|
~ |
A ~ |
1 |
~ а к третьей первую, умноженную |
|
||||
|
5 4 |
0 |
1 |
на 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
Третью строку можно |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
|
2 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
|
0 |
|
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|||||
~ |
|
|
|
|
|
3 ~ |
разделить на |
3 и прибавить |
|
|
|
|
|
|
|
3 ~ |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
6 |
15 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
5 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
ко второй строке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нулевую строку можно удалить ~ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
~ |
|
|
0 |
2 |
5 |
|
3 |
|
~ |
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
У2 |
5 |
3 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная в результате элементарных преобразований матрица имеет |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 0. Таким обра- |
||||||||||||
миноры не более второго порядка, причем M |
|
|
0 |
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
зом, r A 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
т |
.org |
|
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
5 |
6 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2.19. Найти ранг матрицы A |
1 |
|
|
3 |
|
|
|
4 |
7 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
в |
строке прибавим первую, |
умноженную на 4 , из |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Ко второйа |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
третьей строки вычтем первую, к четвертой строке прибавим первую, умно- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
женную на |
|
2ф. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 |
9 |
|
|
9 |
18 |
|
Разделим вторую строку на 9 , |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
A ~ |
|
|
|
|
|
|
~ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
5 |
|
|
5 |
10 |
|
~ |
третью на 5 , а |
четвертую на |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0 |
3 |
|
|
3 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 2 1 |
3 |
Вычтем из третьей и четвертой |
|
1 2 |
1 3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 1 1 |
2 |
|
|
|
0 1 |
1 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
||||||||||||||||||||
~ |
0 1 1 |
2 |
|
~ строк вторую строку и |
|
|
|
|
|
|
|
|
~ |
0 0 |
0 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 1 1 |
2 |
|
удалим нулевые строки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 0 |
0 0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
46
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
~ |
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
Минор 2-го порядка M2 |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 0 . Следовательно, r A 2. |
||
|
|
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
2.6. Матричные уравнения
Матричными уравнениями называют уравнения вида |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AX B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
(2.5) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
XA B , |
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
(2.6) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
X – |
где A и B заданные матрицы, причем матрицаВA невырожденная , а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неизвестная матрица, допускающая произведен е AX либо XA. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
к |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решением матричного уравнения называют матрицу соответствующего |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
размера, которая, будучи подставлена в ур внение, превращает его в тождест- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
ua |
|
|
|
|
|
|
необходимо |
|||
во. Чтобы найти решение матричного |
муравнения (2.5) или (2.6), |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
слева, |
а обе |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
умножить обе части первого из ниха на обратную матрицу A |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1м |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
справа. Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
части второго уравнения – на A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
с |
A |
AX |
A |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.5 ) |
||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
а |
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
р |
|
|
|
|
XAA |
BA |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6 ) |
|||||||||||||||||
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
е |
|
|
A 1A AA 1 |
|
E , |
|
|
EX X или |
|
XE X , где |
E – |
||||||||||||||||||||||||
Учитыв яф, что |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
а |
|
, получим формулы для вычисления искомой матрицы X : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
единичная матрицаК |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
для уравнения (2.5) |
|
|
|
|
|
|
|
X A 1B , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
для уравнения (2.6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.7) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
X BA 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.8) |
||||||||||||
Пример 2.20. Решить матричное уравнение AX B , если |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
B |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем определитель матрицы A:
47
det A |
|
3 |
4 |
|
3 1 4 1 1. |
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
Так как det A 0 , матрица A – невырожденная, и следовательно, решение уравнения AX B существует и определяется формулой (2.7)
Найдем матрицу A 1 , обратную матрице A (см. подраздел 2.4): |
||||||
|
1 |
|
A |
A |
|
|
A 1 |
|
11 |
21 |
|
, |
|
|
A |
A |
||||
|
det A |
|
|
|||
|
|
|
12 |
22 |
|
|
где Aij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
A 1 |
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
1 1, |
|
|
|
|
|
4 |
4 , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
Г |
|
|
|
|
|
|||||||
|
A 1 1 2 1 1, |
|
|
A 1 2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
З3 |
3. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
4 |
|
1 |
|
4 |
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
X A |
B |
|
|||||||||||||||||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательнок |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
а |
|
ua |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
. |
|
1 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.org |
|
|
4 |
|
|
|
|
2 3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
9 |
|
|
1 т2 |
4 |
1 |
3 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
3 |
1 3 |
|
|
|
matem |
|
|
1 |
|
|
1 9 3 3 |
1 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ш |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
X |
|
|
|
|
с2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
в |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
ы |
|
0 |
. Сделаем проверку, подставив найденную |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
р |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
матрицу X |
|
|
|
|
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в исхо ное уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
а |
е |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
6 |
4 |
|
|
9 0 |
|
|
|
|
2 9 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
AX |
|
|
ф3 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
К |
1 1 |
|
|
|
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
|
|
1 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получили AX B . Уравнение решено правильно.
Пример 2.21. Решить матричное уравнение AX B , если
2 |
3 2 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
||||
|
2 |
1 |
3 |
|
, |
|
1 |
0 |
1 |
|
A |
|
B |
. |
|||||||
|
1 |
3 2 |
3 |
|
|
|
2 |
1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
Решение. Найдем определитель матрицы A:
48
det A |
|
2 |
|
3 2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 1 3 2 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
3 |
|
3 |
3 |
2 6 12 |
9 |
|
|
4 9 9 |
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 1 1 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
det A 1 |
0, |
матрица |
|
|
A – |
невырожденная. |
Уравнение |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
AX B имеет решение X A 1B . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Найдем обратную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
31 |
|
|
|
Н |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
det A |
|
12 |
|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
32З |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ВA |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
|
|
|
|
23 |
Г |
|
33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
элементов матрицы A. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Вычислим необходимые алгебраические дополненияк |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 .ua , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
м |
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
е |
org |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
matem |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
й |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е2 |
|
6 3 3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
A12 1 ш1 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
в |
с |
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
р |
1 1 3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
1 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Aд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
К |
|
A21 1 |
2 1 |
|
3 2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
3 |
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
6 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
A22 1 |
2 2 |
|
2 |
|
|
4 |
|
6 4 2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
A23 1 |
2 3 |
|
2 |
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
3 |
, |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
3 2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
49