Высшая математика. Том 1
.pdf, $ 2.1. + -, $ 5 3 .
. 2.1
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2 , |
|
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3 |
|
4 |
|
5 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
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||||
|
|
5/ (1 |
|
1000 |
|
2000 |
|
|
1000 |
|
|
||
|
5/ (2 |
|
2000 |
|
1000 |
|
|
500 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
5/ (1 |
|
1500 |
|
2000 |
|
|
1000 |
|
|
||
|
5/ (2 |
|
1800 |
|
1500 |
|
|
800 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
5/ (1 |
|
1500 |
|
2000 |
|
|
1000 |
|
|
||
|
5/ (2 |
|
1800 |
|
1500 |
|
|
800 |
|
|
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|
|
|
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|
|
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6 |
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A = (1000 |
2000 |
1000). 2 - |
|||||||||||
2000 |
1000 |
500 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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1500 |
2000 |
1000 |
|
|
|
|
|
|
|
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$ - |
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B = (1800 |
1500 |
800 ). 2 , |
5 3 A+2B. 1’ Maxima. 6-
A B, .
! -
5 matrix, ,
.
! :
«*» – , «.» – , «+» – -
, «–» – .
1. 2.1. 7 Maxima
51
. , 3 :
–3 5/ (1 – 4000 ., 5/ (2 – 5600 .
–4 5/ (1 – 6000 ., 5/ (2 – 4000 .
–5 5/ (1 – 3000 ., 5/ (2 – 2100 .
+, $ 3 -
5 (1,2, :
–3 – 9600 .
–4 – 10000 .
–5 – 5100 ./
& ' . -
. " A B -
C=AB, . 2.2:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
× |
b1 j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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× |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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× |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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1. 2.2. ) |
|
|
|
|
|
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5: |
|
|
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|
|
|
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|
|
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1, p.) |
|
|
|
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|
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cij = ai1 b1 j + ai2 b2 j + ... + ain bnj, |
|
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j = |
|
|
|
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|
|
|
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1, m; |
|
|
|
||||||||||||||||
a11 |
a12 |
|
b11 |
b12 |
b13 |
|
a11b11 |
+ a12b21 |
a11b12 |
+ a12b22 |
a11b13 |
+ a12b23 |
|
||||||||||
a |
a |
|
b b |
b |
|
= a b |
+ a b |
a b |
+ a b |
a b |
+ a b |
. |
|||||||||||
21 |
22 |
|
21 |
22 |
23 |
|
21 11 |
|
22 21 |
21 |
12 |
22 22 |
21 13 |
22 23 |
|
||||||||
. , $ , , - ( - |
C) , $ 1- 3- c13,
1- 1- , 2- – 3- ,
. 8
- -
.
1 - . &-
, ! ! " " ( ) * + !
! " $* (
).
" , $ A = (aij) m×n
B = (bij) n×p, C m×p, -
: cij
i- A j- -
52
B .
8 , $ -
,
. +, -, . -
" ' ". :
An = A A A
n
8 - -
, -, ( ).
!, (a1 a2 |
b1 |
|
= (a1b1 |
+ a2b2 |
+ a3b3 ) . |
a3 ) b2 |
|
||||
|
b |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
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& 1. + c12, c23 c21 C, $ :
|
|
|
1 2 3 |
|
2 0 −2 |
|||||||
|
|
A = 0 |
−1 1 , B = 3 |
−1 0 , C = AB . |
||||||||
|
|
|
2 1 |
|
−2 |
|
1 1 1 |
|||||
,c12 = 0 − 2 + 3 = 1, c23 = 0 + 0 + 1 = 1, c21 = 0 − 3 + 1 = −2./ |
||||||||||||
& 2. + : |
|
|
||||||||||
|
|
1 |
2 |
= ( |
|
2 |
+ |
2 |
4 |
+ 1 |
)= |
(4 5)./ |
,(2 1 0) 2 1 |
|
|||||||||||
3 1 1 |
2 2 |
|
3 |
+ |
2 |
+ 2 6 |
+ |
1 + 2 |
|
7 9 |
||
& 3. + : |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
−3 − 2 − 2) = (−2 −7) ./ |
|||
,(−1 −2 1) 1 1 = (−2 − 2 + 2 |
||||||||||||
|
|
|
2 |
−2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
& 4. |
+ : |
|
|
|||||||||
,( 1 |
−2) (1 |
2) |
– ’ , $ |
|||||||||
−1 |
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, – . / |
||||||||||||
& 5. + |
, $ A = (−31 |
−21), B = (13 11): |
||||||||||
, AB = (0 2), BA = (2 1 )./ |
|
|
|
|
||||||||
|
5 |
1 |
|
8 |
−1 |
|
|
|
|
|
53
& 6. + , $ A = ( 1 |
−2), B = (1). |
|
−1 |
−3 |
2 |
, AB = (−3), B·A – . / |
|
|
−7 |
|
|
& 5. & -
,
, 2.2. 9 -
, .
|
|
|
|
. 2.2 |
|
9 |
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1 |
&.1 |
&.2 |
&.3 |
&.4 |
|
|
|
|
|
|
|
&, ./ |
10 |
10 |
12 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
6, . |
78 |
56 |
44 |
14 |
|
|
|
|
|
|
|
7, . . |
42 |
80 |
10 |
53 |
|
2 , , .
25 |
16 |
45 |
18 |
, 6
|
10 |
10 |
12 |
14 |
|
( 1, 2, 3, 4: A = 78 |
56 |
44 |
14 |
. |
|
|
42 |
80 |
10 |
53 |
|
25
) : B = 1645 .
18
1
A·B.
1’ Maxima. !
«.», .
1. 2.3. 7 Maxima
54
. , : – 1202 ./ , -
– 5078 ., 5 – 3734 . ./
& 2. 2 -
: (1 – , (2 – (3 – . & -
5 , 5 , -
. 1 1 , -
1 . 2.3. +-
.
. 2.3 1, 1 .
, $
2 |
|
1 . , . |
& - |
||||||||
, . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
5. |
5. |
. |
. |
|
||||||
(1 |
0,3 |
|
0,1 |
|
|
0,4 |
|
|
0,2 |
5400 |
|
(2 |
0,2 |
|
0,2 |
|
|
0,5 |
|
|
0,1 |
1200 |
|
(3 |
0,1 |
|
0,3 |
|
|
0,3 |
|
|
0,3 |
9800 |
|
|
|
9 , ./ . |
|
||||||||
|
420 |
|
430 |
|
|
100 |
|
|
50 |
|
|
, : |
|
||||||||||
|
|
|
0,3 |
0,1 |
0,4 |
0,2 |
|
|
|||
|
|
A = 0,2 |
0,2 |
0,5 |
0,1 . |
|
|||||
|
|
|
0,1 |
0,3 |
0,3 |
0,3 |
|
5400
& B = 1200 .
9800
9 :
C = (420 430 100 50).
! A
B. . - , A,
AT·B. & S=AT·B.
1’ Maxima. !
AT ( ) -
5 transpose, -
«.», .
! $ '
kill(all). ! , $ $
«$».
- , – 2840 . 5 , 3720 . 5-
, 5700 . 4140 . . + C S.
55
1. 2.4. 7 Maxima
- , 3569,4 . . /
. , , $ , -, , A· B : B· A. .
. 2 · = · ,
, $ .
) , $
, (AB)C=A(BC) (A+B)C=AC+BC.
4 , $ A -
E A,
AE=EA=A.
) 5. 0 , 2- -
0, 2-
. |
11) (−11 −11)= (00 |
00). |
|
, $ A = (11 |
11), B = (−11 −11), A B = (11 |
||
|
56 |
|
|
2.4. "$ " , 2.1
6 ’ ,
. 9
1. |
|
|
2 |
3 |
|
− 1 |
|
− 1 0 |
5 |
|
2(A+B)(2B–A), A = 4 |
5 |
|
2 , B = |
0 |
1 |
3 . |
||||
|
|
|
− 1 0 |
|
7 |
|
2 |
− 2 4 |
||
2. |
3A–(A+B)B, |
4 |
5 |
− 2 |
2 |
1 |
− 1 |
|||
A = 3 |
− 1 |
0 |
, |
B = 0 |
1 |
3 |
. |
|||
|
|
4 |
2 |
|
7 |
|
5 |
7 |
3 |
|
3. |
2(A–B)(A2+B), |
|
5 |
1 |
7 |
2 |
4 |
1 |
A = − 10 |
− 2 |
1 , |
B = 3 |
1 |
0 . |
|||
|
|
|
0 |
1 |
2 |
7 |
2 |
1 |
4. |
(A2–B2)(A+B), |
7 |
|
2 |
|
0 |
0 |
2 |
|
3 |
|
|
A = − 7 |
− 2 |
1 , |
B = 1 |
0 |
|
− 2 . |
||||||
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
3 |
1 |
|
1 |
||
5. |
(A–B2)(2A+B), |
5 |
2 |
0 |
3 |
6 |
− 1 |
|||||
A = 10 |
4 |
1 , |
B = − 1 |
− 2 |
0 . |
|||||||
|
|
7 |
3 |
2 |
2 |
1 |
|
3 |
||||
6. |
|
5 − 1 3 |
3 7 |
|
|
− 2 |
|
|||||
(A–B)A+2B, A = 0 |
2 |
|
− |
1 , |
B = 1 |
1 |
|
|
− 2 . |
|||
|
|
− 2 |
− 1 0 |
0 1 |
3 |
|
||||||
7. |
2(A–0,5B)+AB, |
5 3 |
|
− 1 |
2 |
|
|
4 16 |
||||
A = 2 |
0 |
|
4 , |
B = − 4 |
|
− |
2 |
0 . |
||||
|
|
3 5 |
|
− |
1 |
6 |
|
|
8 |
2 |
8. |
(A–B)A+3B, |
3 2 |
− 5 |
|
− 1 2 4 |
|
|
|||||
A = 4 |
2 |
0 , |
B = 0 |
3 |
2 . |
|
|
|||||
|
|
1 1 |
2 |
|
− 1 − |
3 4 |
|
|
||||
9. |
2A–(A2+B)B, |
1 4 2 |
|
4 6 − 2 |
|
|
||||||
A = 2 |
1 |
− 2 , |
B = 4 |
10 |
|
1 . |
|
|
||||
|
|
0 1 |
− 1 |
|
2 4 |
|
− 5 |
|
|
|||
10. |
3(A2–B2)–2AB#, A = |
4 |
2 |
1 |
|
2 |
|
0 |
2 |
|
||
3 |
− 2 |
0 , |
B = 5 |
|
− 7 |
− |
2 . |
|||||
|
|
|
0 |
− 1 2 |
|
1 0 |
− |
1 |
|
|||
11. |
|
|
|
1 |
0 |
3 |
B = |
7 |
|
5 |
2 |
|
(2A–B)(3A+B)–2AB, A = − 2 |
0 |
1 , |
0 |
|
1 |
2 . |
||||||
|
|
|
|
− 1 3 1 |
|
|
− 3 |
− 1 |
− 1 |
|||
|
|
|
|
2 |
3 |
1 |
|
2 |
7 |
|
13 |
|
12. |
A(A–B2)–2(BT+A)B, A = − 1 |
2 |
4 , |
B = |
− 1 |
0 |
|
5 . |
||||
|
|
|
|
5 |
3 |
0 |
|
5 |
13 |
21 |
57
13. |
(A+B)A–B(2A+3B), |
1 − 2 3 |
B = |
4 11 3 |
|||||||
A = 2 |
3 |
5 , |
1 |
|
6 |
1 . |
|||||
|
|
|
1 4 |
− 1 |
|
2 |
2 |
16 |
|||
14. |
A(2A–B)–B(A–B), |
|
2 |
3 |
1 |
|
9 |
8 |
7 |
||
A = 4 |
− 1 |
0 , |
B = 2 |
7 |
|
3 . |
|||||
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
4 |
3 |
|
5 |
|
15. |
3(A+B)(ABT–2A), |
|
2 |
1 |
3 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
A = 1 |
− 2 |
0 , |
B = − 3 |
0 |
|
1 . |
|||||
|
|
|
4 |
− 3 0 |
|
2 1 |
|
2 |
16. |
2AB–(A+B)(A–B), |
4 |
− 2 |
0 |
0 |
− 2 |
4 |
A = 1 |
1 |
2 , |
B = 1 |
2 |
3 . |
||
|
|
3 |
− 2 |
0 |
3 |
4 |
− 5 |
17. |
2A+3B(AB–2A), |
1 − 1 0 |
|
B = |
|
5 |
3 1 |
|
|||||||||
A = 2 |
|
0 |
|
− 1 , |
− 1 |
2 |
0 . |
||||||||||
|
|
|
7 3 2 |
|
|
|
− 3 0 0 |
|
|||||||||
18. |
(A–B)(A+B)–2ATB, A = |
|
3 2 − 4 |
|
|
|
0 |
|
1 − 2 |
||||||||
− 1 |
0 |
2 , |
B = − 1 |
|
1 |
2 . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
− 2 1 |
− |
1 |
|
|
3 |
− 1 0 |
||||||
19. |
2A–AB(B–A)+B, |
3 2 − 1 |
B = |
0 |
3 − 1 |
||||||||||||
A = 0 |
− |
1 |
2 , |
|
2 |
− 1 |
2 . |
||||||||||
|
|
|
5 7 1 |
|
|
− 3 1 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
5 6 |
|
|
0 − 1 |
|
1 |
|||||
20. |
A2–(A+B)(A–3B), A = |
− 1 |
|
0 |
3 , |
B = 1 |
0 |
|
− |
2 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 1 2 − 1 |
|
|
3 1 |
|
|
2 |
|||||||
21. |
B(A+2B)–3AB, |
|
7 − 3 0 |
|
|
− 4 2 1 |
|
|
|||||||||
A = 1 |
|
− 1 |
0 , |
B = 1 |
0 |
1 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
2 |
|
0 |
3 |
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
||||
22. |
3(A+B)–(A–B)A, |
1 |
|
2 |
3 |
|
B |
4 |
2 |
1 |
|
||||||
A = 0 |
− |
2 |
3 , |
|
= − |
1 |
2 |
0 . |
|||||||||
|
|
|
1 1 1 |
|
|
2 3 |
− 1 |
|
|||||||||
23. |
|
|
|
1 − 2 |
− 2 |
|
|
0 3 5 |
|||||||||
A(A–B)+2B(A+B), A = 1 |
|
1 |
− |
2 , |
B = 4 |
1 |
|
0 . |
|||||||||
|
|
|
|
1 |
|
− 1 |
− |
1 |
|
|
1 1 2 |
||||||
24. |
|
|
1 − 1 2 |
B = |
− 1 0 2 |
|
|
||||||||||
(2A+B)B–3B, A = 3 |
0 |
− 2 , |
2 |
1 |
1 . |
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
− 1 1 |
|
|
− |
2 0 1 |
|
|
|||||||
25. |
AB–2(AT+B)A, |
|
2 1 − 1 |
|
|
2 − 1 0 |
|
||||||||||
A = 1 |
|
0 |
|
1 , |
B = 0 |
|
2 |
1 . |
|
||||||||
|
|
|
3 1 |
|
− 2 |
|
|
1 3 |
− |
1 |
|
||||||
26. |
(A+2B)(3A–B), |
|
1 2 |
3 |
|
B |
2 3 − 1 |
||||||||||
A = 4 |
|
− |
2 |
1 , |
|
= − |
2 |
0 |
− |
1 . |
|||||||
|
|
|
0 1 |
− 1 |
|
|
1 0 1 |
58
27. |
2ATB–A(BT–A), |
|
1 2 − 1 |
B |
1 2 − 1 |
|
||||||
A = 2 |
3 |
0 , |
= 2 |
− 1 0 . |
|
|||||||
|
|
|
0 2 |
− 1 |
|
1 2 |
1 |
|
||||
28. |
3(A+B)(2B–A), |
A = |
1 |
2 |
3 |
|
|
1 0 2 |
|
|
||
− 1 |
0 |
2 , |
B = 2 |
3 |
1 . |
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
||||
29. |
2A(A+B)–3AB, |
A = |
2 3 4 |
B |
2 0 − 2 |
|
||||||
1 |
− 2 |
0 , |
= 1 |
1 |
0 . |
|
||||||
|
|
|
0 1 2 |
|
1 |
− 1 1 |
|
|||||
30. |
|
|
|
2 5 − 1 |
|
1 − 2 0 |
||||||
3AB+(A–B)(A+2B), A = 0 |
2 |
|
1 , |
B = 1 |
0 |
2 . |
||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
|
1 |
|
0 |
0 |
3 |
|
31. |
|
|
|
1 2 3 |
|
2 − 2 4 |
||||||
2(A–B)+(A+B)A, A = − 2 |
0 |
5 , |
B = 0 |
5 |
− |
3 . |
||||||
|
|
|
1 2 |
− |
1 |
|
1 1 |
− |
1 |
2.5. ". & ) ! " "
9 $ . ! -
: A , det A , det (aij), ∆.
|
|
A = |
a11 |
a12 |
- |
||||||||||||
|
|
a |
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
|
|
22 |
|
|
|
|
, $ |
a a − a a |
|
|
|
a11 |
a12 |
|
. |
|||||||||
|
|
||||||||||||||||
11 |
22 12 21 |
|
|
a |
a |
|
|||||||||||
. |
|
a11 |
a12 |
|
= a a − a a . |
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
a |
|
11 22 |
12 |
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- , $ -
.
- :
, |
|
2 |
5 |
|
= −8 − 15 = −23 ; |
|
0 |
−3 |
|
= 0 + 6 = 6 ./ |
|
|
|
|
|||||||
|
|
3 |
−4 |
|
|
|
2 |
1 |
|
|
a11a12 a13
= a21a22 a23 :
a31 a32 a33
a11a12 a13 a21a22 a23 =
a31 a32 a33
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a13 a32 − a13 a31a22 − a12 a21 a33 − a32 a23 a11 .
59
% * $ -
, , 6 ( ) -
( ). & – . '
' , « », « »,
6, $ :
! , $ « »
•• •
•• •
•• •
a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 .
1. 2.5. & 6 « »
! , $ « »
•• •
•• •
•• •
−a13 a22 a31 − a12 a21 a33 − a11 a23 a32 .
1. 2.6. & 6 « »
.
( ):
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
|
|
|||||
|
||||||
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
|
|
|
|
|
|
|
1. 2.7. &
- : 2 3 4
, 5 −2 1 = (2 (−2) 3 + 3 1 1 + 4 5 2) − (4 (−2) 1 + 3 5 3 + 2 1 2) =
1 2 3 = (−12 + 3 + 40) − (−8 + 45 + 4) = 31 − 41 = −10 .
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