Лабораторна робота №3

Тема: «Обчислення виробничої функції».

Мета: набуття навичок обчислення виробничої функції та її аналізу.

1. Основні теоретичні положення

Виробнича функція – це функція, що відбиває взаємозв'язок між обсягами витрат ресурсів і обсягом випуску продукції. У макроекономіці прийнято вважати, що у – максимально можливий випуск продукції при заданих витратах ресурсів х₁, х₂, …, х_m. У мікроекономіці виробнича функція – це статистичний зв'язок між витратами ресурсів і випуском продукції.

Звичайно як ресурси розглядають виробничі фонди, трудові ресурси, фінансові ресурси тощо. Результуючий показник у – це зазвичай валовий випуск продукції.

Уперше виробничу функцію досліджували американські економіст Кобб і математик Дуглас. Вони на підставі статистичних даних про роботу різних галузей промисловості США в 20-30-х роках установили, що взаємозв'язок між обсягом валової продукції і витратами ресурсів можна подати у вигляді степеневої функції

. (1)

Ця форма виробничої функції придатна для опису залежності на короткостроковий період, коли технічний прогрес не істотно впливає на динаміку обсягу валової продукції. Якщо необхідно урахувати технічний прогрес, то виробнича функція записується у вигляді

, (2)

де k – коефіцієнт зростання обсягу валової продукції, що обумовлене технічним прогресом;

t – поточний час.

Аналіз виробничої функції Кобба-Дугласа показує, що той самий обсяг валової продукції можна одержати при різних співвідношеннях між витратами ресурсів. Так, наприклад, можна істотно збільшити основні засоби і при цьому скоротити трудові ресурси (заводи-автомати) або навпаки – при мінімальних основних засобах використовувати трудові ресурси у великому обсязі. Таким чином, виробнича функція Кобба-Дугласа в границі виявляється некоректною – галузі з основними засобами без робочої сили чи галузі з великою кількістю робочої сили без основних засобів. У зв'язку з цим надалі в економетрії почали використовувати також і інші виробничі функції – CES-функцію, виробничу функцію Леонтьєва й ін. У даній роботі буде вивчатися виробнича функція Кобба-Дугласа.

У залежності від числа ресурсів, що використовуються, розрізняють одноресурсні, дворесурсні і т.д. функції. В економетрії найчастіше будують дворесурсні функції, де х₁ = К – капітал (чи основні засоби) і х₂ = L – трудові ресурси (трудовитрати або чисельність працівників).

Триресурсна виробнича функція використовується для опису виробництва в аграрному секторі (х₃ = R – земельні ресурси). При необхідності враховуються також фінансові ресурси (F).

Обчислення виробничої функції здійснюється методом найменших квадратів. Для цього функція зводиться до лінійного в логарифмах вигляду і виконується стандартне обчислення.

За необхідності урахування технічного прогресу співмножник, що характеризує вплив технічного прогресу, також повинний бути прологарифмований.

Коефіцієнти виробничої функції b₁, b₂, …,b_m є еластичностями випуску продукції за відповідними ресурсами. Сума еластичностей відбиває властивість масштабованості відповідного виробництва

В = b₁+b₂+…+b_m (3)

Якщо В = 1, то це значить, що виробництво індиферентне до масштабів, тобто збільшення всіх ресурсів в k-разів приведе до збільшення випуску продукції також у k-раз. Якщо В < 1, то більш ефективним є виробництво менших масштабів, тому що збільшення ресурсів в k-раз призводить до збільшення випуску продукції в k^В < k раз. Така ситуація характерна для підприємств сфери побутового обслуговування, сільського господарства (вигідні невеликі фермерські господарства). Якщо В > 1, то доцільне функціонування підприємств, що використовують великі обсяги ресурсів (k^В > k). Ця особливість характерна для підприємств машинобудування, металургійної та гірничої промисловості.

Якщо коефіцієнти еластичності відбивають відносний вплив ресурсу на випуск продукції, то такі показники як граничні продуктивності характеризують приріст обсягу валової продукції в абсолютному вираженні. Граничні продуктивності розраховуються за всіма ресурсами за формулою

, i = 1, 2, …, m. (4)

Таким чином, гранична продуктивність показує на скільки одиниць збільшиться обсяг виробництва при збільшенні величини i-го ресурсу на 1 одиницю. Наприклад, нехай x_i – трудові ресурси (тис. люд.-змін), у – валова продукція (млн. грн). Якщо P_y(x_i) = 1,5 – це значить, що збільшення трудових витрат на 1 тис. люд.-змін приведе до збільшення випуску валової продукції на 1,5 млн. грн.

2. Завдання

За звітними даними про показники діяльності гірничо-збагачувального комбінату (ГЗК) за 10 років (табл. 1) обчислити виробничу функцію Кобба-Дугласа.

Таблиця 1

Ресурси та валова продукція ГЗК

Роки, t	Основні засоби, f, млн. грн	Трудові витрати, r, млн. люд.-днів.	Валова продукція, у, млн. грн/рік
1	1250	15,5	580(1+0,05N)
2	1200	15,8	590(1+0,05N)
3	1340	17,1	660(1+0,05N)
4	1400	17,2	670(1+0,05N)
5	1410	17,9	700(1+0,05N)
6	1600	19,3	780(1+0,05N)
7	1620	19,5	800(1+0,05N)
8	1670	21,1	870(1+0,05N)
9	1750	23,4	970(1+0,05N)
10	1940	26,5	1100(1+0,05N)

Використовуючи убудовану функцію ЛИНЕЙН(…), обчислити виробничу функцію Кобба-Дугласа з урахуванням і без урахування технічного прогресу.

Для обох моделей визначити значущість коефіцієнтів регресії, коефіцієнти еластичності і граничні продуктивності.

Визначити властивість масштабованості виробництва.

За критерієм визначити, яка функція більш точно описує залежність.

Проаналізувати отримані результати та сформулювати висновки.

3. Порядок виконання роботи

1. Шляхом логарифмування вихідних даних скласти розрахункову таблицю (табл. 1 стовпчики 1-4).

   t	F = ln f	R = ln r	Y = ln y
   1	2	3	4	5	6	7	8
   …

2. Обчислити виробничу функцію Кобба-Дугласа без урахування технічного прогресу (формула 1):

• на основі даних розрахункової таблиці, використовуючи убудовану функцію ЛИНЕЙН(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій), одержати таблицю коефіцієнтів і статистичних характеристик рівняння регресії;

• обчислити значення коефіцієнта а;

• визначити значущість коефіцієнтів регресії t_А, t_b1, t_b2;

• визначити коефіцієнти еластичності валової продукції за ресурсами Эу(f), Эу(r);

• обчислити граничні продуктивності Ру(f), Ру(r) (формула 4);

• визначити властивість масштабованості виробництва (формула 3);

• проаналізувати результати і зробити висновки.

1. Обчислити виробничу функцію Кобба-Дугласа з урахуванням технічного прогресу (формула 2):

• на основі даних розрахункової таблиці, використовуючи убудовану функцію ЛИНЕЙН(…) (категорія «Статистичні» майстра функцій), одержати таблицю коефіцієнтів і статистичних характеристик рівняння регресії;

• обчислити значення коефіцієнтів а та k;

• визначити значущість коефіцієнтів регресії t_А, t_к, t_b1, t_b2;

• визначити коефіцієнти еластичності валової продукції за ресурсами Эу(f), Эу(r);

• обчислити граничні продуктивності Ру(f), Ру(r) (формула 4);

• визначити властивість масштабованості виробництва (формула 3);

• проаналізувати результати і зробити висновки.

1. Визначити, яка з двох функцій більш точно описує залежність валової продукції від витрат ресурсів:

• обчислити теоретичні значення виробничих функцій (формули 1 та 2) та результати обчислень занести в табл. 1 стовпчики 5-6;

• обчислити для обох моделей та результати обчислень занести в табл. 1 стовпчики 7-8;

• проаналізувати результати і зробити висновки.

4. Звіт з лабораторної роботи повинен містити

• вихідні дані;

• результати обчислень виробничих функції (з урахуванням і без урахування технічного прогресу);

• результат обчислення еластичностей;

• результат обчислення граничних продуктивностей;

• результат обчислення коефіцієнтів масштабованості;

• результат обчислень теоретичних значень валової продукції за двома моделями;

• висновки.

4. Приклад обчислення виробничої функції

Є дані про ресурси та валову продукцію чотирьох сільськогосподарських районів за три роки (табл. 2).

Таблиця 2