Лекция 2 конспект

Лекция 2. Умножение вектора на число. Теорема о коллинеарных векторах. Линейная зависимость векторов и ее свойства.

Литература. [1] § 5, 6.

Определение 3. Под произведением ненулевых числа  и вектора понимается такой вектор, который удовлетворяет следующим условиям:

1. , где - абсолютная величина .

2. Если  > 0 , то векторы и сонаправлены; если  < 0 , то и противоположно направлены.

В случае, когда  = 0,или ,произведение .

Рассмотрим свойства операции произведения вектора на число.

Свойство 1. Пусть - произвольный вектор, тогда

Первое равенство непосредственно следует из определения 1. Для доказательства второго достаточно проверить, что векторы и имеют равные модули и одинаковые направления. Проверьте самостоятельно.

Свойство 2. Для любых чисел  и  и любого вектора справедливо равенство: .

Доказательство. Если среди чисел  и  есть хотя бы одно, равное нулю, либо вектор - нулевой, то . В этом случае равенство истинно. Предположим, что . Введем обозначения: . Для доказательства свойства достаточно проверить, что и .

Из определения следует: , , поэтому . Пусть числа  и  имеют одинаковые знаки. Тогда  > 0, поэтому . С другой стороны, если  > 0 и  > 0, то  и. При условии, когда , получим  и , т.е. . Мы показали, что в этом случае .

Если числа  и  имеют разные знаки, то  < 0. Отсюда следует, что . Пусть <0, а >0. Тогда , , т.е. . Если >0, а <0, то , . Отсюда вытекает, что . Таким образом, и вектор , и вектор противоположно направлены вектору , поэтому они сонаправлены. Свойство доказано.

Свойство 3. Для любых чисел  и  и любого вектора справедливо равенство: .

Доказательство. Пусть =. Тогда и левая, и правая части равенства равны нулевому вектору. Если  = 0 или  = 0, то, очевидно, равенство выполнено, Будем предполагать, что .

1. Пусть  > 0,  > 0. В этом случае , . Отложим от точки А вектор , затем от точки В - вектор (рис. 13, а). Тогда . Так как  > 0 и  > 0, то точка В лежит между А и С. Поэтому , . С другой стороны, + > 0, отсюда . Таким образом, вектор равен по длине и сонаправлен с . Следовательно, = =. В этом случае равенство (2.2) доказано.

2. Пусть  < 0,  < 0. Тогда , . Отложим от точки А вектор , затем от точки В отложим вектор (рис.13, б). Тогда и . Так как векторы и сонаправлены, то точка В лежит между А и С. Поэтому . В силу того, что  и  отрицательные числа, . Определим длину и направление вектора . В рассматриваемом случае + < 0, следовательно, , . Таким образом, длины и направления векторов и совпадают. = =. В этом случае равенство (2.2) доказано.

Предположим, что  и  имеют различные знаки. Без ограничения общности можно считать, что  > 0, а  < 0.

3. Пусть  > 0,  < 0, и . Тогда , . Отложим от точки А вектор , затем от точки В отложим вектор (рис.13, в). =. Так как , то точка С лежит между А и В. Поэтому , . С другой стороны, + > 0, следовательно, . . Векторы и имеют одинаковые длины и направления. Равенство (2.2) для этого случая также доказано.

4. Пусть  > 0,  < 0, и . Отложим от точки А вектор , затем от точки В отложим вектор (рис.13, г). . В этом случае точка А лежит между точками В и С. Поэтому , . Но в рассматриваемом случае +<0. Следовательно, . Так как , то длины и направления векторов и совпадают. Таким образом, для данного случая =.

5. В последнем случае осталось лишь предположить, что  > 0,  < 0 и + = 0. Тогда =. Покажем, что также совпадает с нулевым вектором. Действительно,  = -, поэтому векторы и противоположные и их сумма равна нулевому вектору. Таким образом, и в этом последнем случае равенство (2.2) доказано.

Прежде чем приступить к изложению последнего, четвертого свойства операции произведения вектора на число, докажем теорему о коллинеарных векторах.

Теорема 1. (теорема о коллинеарных векторах). Пусть даны векторы и , причем . Они коллинеарны в том и только в том случае, когда существует такое число ., для которого . Число  определяется единственным образом.

Доказательство. Если , то коллинеарность векторов непосредственно следует из определения 3.

Обратно. Пусть . Докажем, что существует требуемое число . В случае сонаправленности векторов и положим . В частности, если , то =0. Если , то будем считать, что: . Легко показать, что  удовлетворяет требуемому условию. Действительно, . Если =0, то . Если  > 0, то , поэтому векторы и сонаправлены и имеют одинаковую длину, следовательно, они совпадают. Если <0, то . Но , отсюда вытекает, что . В этом случае векторы и также имеют одинаковые длины и направления. Таким образом, .

Докажем единственность существования числа . Пусть существуют два числа и , удовлетворяющие условию и . Тогда . Используя соотношения (2.1) и (2.2), получаем: . Таким образом, . Так как , то , т.е. . Теорема доказана.

Если и нулевые векторы, то при любом  справедливо равенство: .

Докажем последнее свойство операции произведения вектора на число.

Свойство 4. Для любого числа  и любых векторов и справедливо равенство: .

Доказательство. Если  = 0, то равенство (2.3) очевидно. В дальнейшем будем предполагать, что   0. Пусть . Тогда из теоремы о коллинеарных векторах следует, что . Преобразуем правую и левую части равенства:

В этом случае .

Далее будем предполагать, что вектор не коллинеарен . Пусть >0. Тогда векторы  и  сонаправлены с и . Отложим от точки А векторы и : , а от точек В и В векторы и : (рис.13, а). Докажем, что треугольники АВС и AВC подобны между собой. Действительно, ABC=ABC, так как вектор сонаправлен с , то . Треугольники подобны, так как равны их углы и прилежащие стороны пропорциональны. Отсюда следует, что , т.е. точки А, С и Сʹ лежат на одной прямой. Получим: . Кроме того, из подобия треугольников вытекает . Таким образом, . Но , поэтому . Для рассматриваемого случая равенство (2.3) доказано.

Предположим теперь, что <0. Тогда , . Отложим векторы и от точек А и А: , а от точек В и В векторы и : (рис.14, б). Так же, как и в предыдущем случае, доказывается подобие треугольников АВС и АВC. Из их подобия следует, что BAC = BAC. Так как векторы и противоположно направлены, то углы ВАС и BAC вертикальные. Поэтому точки C, A и С лежат на одной прямой. Из подобия треугольников следует, что . Векторы и противоположно направлены, следовательно . С другой стороны, . Таким образом, . Равенство (2.3) доказано полностью.

Условимся вектор называть линейной комбинацией векторов с коэффициентами. В этом случае будем также говорить, что вектор линейно выражается через векторы с коэффициентами или линейно раскладывается по этим векторам с указанными коэффициентами.

Определение 1. Система векторов называется линейно зависимой, если существуют такие числа , среди которых, по крайней мере, одно отлично от нуля, что линейная комбинация равна нулевому вектору.

Если система векторов не является линейно зависимой, то она называется линейно независимой. Таким образом, система линейно независима в том и только в том случае, когда из равенства следует:

Докажем некоторые свойства линейно зависимых систем векторов,

Свойство 1. Если система содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.

Доказательство. Без ограничения общности можно считать, что . Положим Тогда Мы получили нулевую линейную комбинацию векторов , среди коэффициентов которых отлично от нуля. Утверждение доказано.

Свойство 2. Если в системе векторов содержится линейно зависимая подсистема, то вся система также линейно зависима.

Доказательство. Перенумеруем векторы системы так, чтобы линейно зависимую подсистему составляли первые k векторов. Таким образом, существуют числа , среди которых находится по, крайней мере, одно отлично от нуля, такие, что . Положим Тогда линейная комбинацию векторов с коэффициентами равна нулевому вектору: Утверждение доказано.

Свойство 3. Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из ее векторов линейно выражается через остальные.

Доказательство. Необходимость. Пусть система векторов линейно зависима. Тогда существуют числа , среди которых содержится, по крайней мере, одно, отличное от нуля, для которых . Перенумеруем векторы и числа так, чтобы . Тогда Разделим обе части этого равенства на ненулевое число : Вектор представлен как линейная комбинация векторов с коэффициентами Необходимость доказана.

Достаточность. Пусть один из векторов системы, например , линейно выражается через остальные: Тогда . Мы получили нулевую линейную комбинацию векторов с коэффициентами , среди которых содержится число 1, отличное от нуля Система линейно зависима. Утверждение доказано.

Из рассмотренных свойств вытекает, что линейно независимая система векторов не содержит нулевого вектора, любая ее подсистема также линейно независима, и ни один из ее векторов линейно не выражается через остальные.

Понятие линейной зависимости было введено нами «алгебраическим» способом. Но в аналитической геометрии с каждым «алгебраическим» свойством геометрических объектов имеет геометрический смысл. Установим его для линейно зависимых систем векторов. Теорема о коллинеарных векторах позволяет выяснить этот смысл для линейной зависимой системы, состоящей из двух векторов.

Теорема 1. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны.

Доказательство. Пусть ||. Тогда из теоремы о коллинеарных векторах (см. § 2) следует, что один из векторов, например , линейно выражается через вектор : . Из свойства 3 настоящего параграфа следует, что система , линейно зависима.

Обратно. Пусть , линейно зависимая система векторов. Тогда из того же свойства 3 имеем: один из векторов, например , линейно выражается через второй: . Поэтому векторы коллинеарны. Теорема доказана.

Следствие. Система, состоящая из двух неколлинеарных векторов, линейно независима.

Будем говорить, что вектор параллелен плоскости , если его представитель параллелен или лежит в этой плоскости. Ясно, что это определение не зависит от выбора представителя вектора.

Определение 2. Система векторов называется компланарной, если существует плоскость, которой параллельны все векторы системы.

Приведем примеры компланарных систем векторов.

1. Если система. состоит из коллинеарных векторов, то она компланарная.

Действительно, согласно определению коллинеарных векторов, существует прямая а, параллельная представителям данных векторов. Возьмем произвольную плоскость, параллельную прямой а. Тогда векторы параллельны выбранной плоскости.

2. Система, состоящая из двух векторов, всегда является компланарной.

В самом деле, рассмотрим векторы и . Если ||, то справедливость утверждения вытекает из предыдущего примера. Если они неколлинеарны, то отложим их от некоторой точки А: Точки А, В и С не лежат на одной прямой, поэтому существует проходящая через них плоскость. Векторы и параллельны этой плоскости.