Аналитическая геометрия 4
.pdf
6) |
B D 0 |
|
7) |
C D 0 |
|
8) |
A B 0 |
|
9) |
A C 0 |
|
10) B C 0
Ax Cz 0 |
– плоскость, проходящая через Оу |
|
Ax By 0 |
– плоскость, проходящая через Oz |
|
Cz D 0 |
– плоскость, параллельная плоскости Оху |
|
By D 0 – плоскость, параллельная плоскости Охz
Ax D 0 |
– плоскость, параллельная плоскости Оуz |
|
32
11)
12)
13)
A B D 0
A C D 0
B C D 0
Cz
By
Ax
0 |
, |
|
|
||
0 |
, |
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
z 0
y 0
x 0
–плоскость Оху
–плоскость Охz
–плоскость Оуz
14)А, В,
Плоскость
y z 0 x z 0 x y 0
С, D отличны от нуля
Ax By Cz D 0 |
строится по трем точкам |
|
x D A
y D B
z D C
Пример 7.1. Построить плоскости
1)
2)
3)
4)
5)
3x 4y 2z 12 0
2x y 4z 0 x 2 y 10 0 4x y 0 3y 6 0
33
Замечание. Если точки |
M |
0 |
(x |
; y |
0 |
; z |
0 |
) |
, |
M |
1 |
(x |
; y |
; z ) |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
не лежат на одной прямой, то проходящая через представляется уравнением
и
M
них
2(x2 ; y2 ; z2 )
плоскость
x x |
0 |
y y |
0 |
z z |
0 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x |
x |
0 |
y |
y |
0 |
z |
z |
0 |
||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||
x |
2 |
x |
0 |
y |
2 |
y |
0 |
z |
2 |
z |
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
0
– уравнение плоскости через три данные точки.
IV. Условия параллельности и перпендикулярности двух
плоскостей. Угол между двумя плоскостями.
Рассмотрим в пространстве Охуz две плоскости Р1 и Р2.
Р1: A1x B1 y C1z D1 0 , |
Р2: A2 x B2 y C2 z D2 0 |
Если коэффициенты не пропорциональны, то плоскости пересекаются.
Под углом между плоскостями понимают один из двугранных углов,
образованных этими плоскостями.
Угол между нормальными векторами указанных смежных двугранных углов.
n1
и n2 равен одному из
|
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Значит, |
cos |
|
или |
cos |
|
|
A1 A2 B1B2 C1C2 |
|
|
|
||||||
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n1 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|
A2 |
B2 |
C 2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Плоскости Р1 и Р2 параллельны,
n |
|| n |
2 |
1 |
|
, значит
A |
|
B |
|
C |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
A |
B |
C |
|
||
|
|
2 |
|||
2 |
|
2 |
|
|
|
–
необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей.
2) Плоскости |
Р1 |
и |
Р2 |
перпендикулярны, |
n1 n2 , |
значит |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 B1 B2 |
C1 C2 |
0 |
|
– необходимое и |
достаточное |
условие |
|
|
перпендикулярности плоскостей. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
34 |