ЭВМ_Семестр4_Лаба9
.pdfРГР №12. Алгебраическая проблема собственных значений
Калядин В.И.
Формулировка задачи. Для (n×n)-матрицы А требуется определить такие значения (собственные значения), для которых существуют
нетривиальные (не равные нулю) решения (собственные векторы )
x
однородной системы линейных алгебраических уравнений
|
|
|
Ax λ x |
(1) |
и отыскать эти нетривиальные решения .
x
Многие задачи науки и техники приводят к решению проблемы собственных значений. Рассмотрим на примерах некоторые из них.
Пример 1. Деформации изотропного материала |
можно описать |
|||
|
|
|
|
|
линейным преобразование Ax . Пусть плоское деформированное |
||||
состояние |
материала |
|||
задается |
|
матрицей |
||
|
6 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим |
|
2 |
3 |
. |
|
|
|
|
деформацию единичного квадрата с вершинами ОВcD задаваемыми
векторами b, c, d и определим какие новые
положения (см.
b , c , d
Рисунок 1 рисунок 1) займут вершины В, c, D. Для
этого выполним линейные преобразования этих векторов:
|
|
6 |
2 |
1 |
|
|
6 |
|
||
b |
Ab |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
3 |
|
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
1 |
|
8 |
|
|
|
|
6 |
2 |
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
d |
Ad |
|
|
|
|
|||||||||||
c Ac |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
1 |
|
|
3 |
|
||
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Деформированный после приложения нагрузки единичный
квадрат показан пунктиром на рисунке 1. Видно, что векторы
b , c , d
после деформации отклонились от исходного направления. Из соотношения (1) ясно, что рассмотренные векторы не являются собственными, поскольку для собственных векторов в силу (1) направления исходного и преобразованного векторов должны совпадать. Отыщем для матрицы А собственные значения и векторы, не отклоняющиеся от исходного направления после преобразования – то есть собственные векторы. Перепишем соотношение (1) иначе:
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
1 |
0 |
|
||
Ax |
x |
(A E)x 0 |
|
|
|
|
|
x 0 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
1 |
(2) |
||
|
6 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 0. |
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 3 |
|
Записанная выше однородная система уравнений имеет при главном
определителе det(A E) 0 |
|
нулевое решение – оно нам не |
|||
подходит. Поэтому найдем такие , чтобы выполнилось условие |
|
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
det( A x ) |
|
A x |
|
( 3 ) |
при котором возможны ненулевые решения (напомним, что их будет бесконечно много). Развернув для нашего примера условие (3)
|
6 |
2 |
|
(6 |
)(3 ) 4 |
2 |
9 14 0, |
( 4 ) |
|
|
|||||||
|
2 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и решив это уравнение, получим 1 7; 2 2 – собственные значения.
Уравнение (4) относительно называют характеристическим полиномом матрицы А. Существует n cобственных значений, среди которых могут быть одинаковые (кратные). Подставим 1 7 в систему
(2):
6 1 |
2 |
|
6 7 |
2 |
|
|
1x1 2x2 0. |
|||
|
2 |
x |
|
2 |
3 |
x |
0 |
2x1 4x2 0. |
||
|
3 1 |
|
|
7 |
|
|
Пусть |
x1 2 , тогда |
x2 |
|
2 |
1 удовлетворяет второму уравнению, т.е. x |
||||
|
|
|
|
1 |
– решение этой системы.
|
|
Если x – |
собственный вектор, то k x – тоже собственный вектор |
( k 0 ). Для определенности обычно нормируют собственные векторы
– приводят их «длины» к единице, т.е. делят каждую компоненту вектора на его норму (меру всех его компонент). Например, как сделано далее, используют вторую из двух указанных норм:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1) |
|
x |
|
|
|
max |
|
|
x |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нормирование по |
ой норме |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
i |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
0.5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x12 x22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 12 5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
нормирование по второй норме |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
e1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
4x1 2x2 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Подставим теперь |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
2x1 |
x2 0 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
В |
|
качестве |
|
|
|
|
решения |
|
|
|
|
|
годятся |
|
|
|
x1 1; |
|
x2 |
2 |
, |
тогда |
|
|
второй |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нормированный собственный вектор равен: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Итак, |
|
|
|
найдены собственное значение 1 , 2 |
(это вещественные |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
числа) и собственные векторы (они обозначены как e1 |
, e2 на рисунке 1), |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
причѐм они ортогональны (перпендикулярны): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
eT e |
2 |
|
e |
|
|
e |
2 |
|
cos(e ^ e |
2 |
|
|
e |
|
e |
2 |
|
e |
|
|
|
e |
2 |
sin(e ^ e |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
( 6 ) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Всегда ли так бывает? |
|
Оказывается, что если матрица A симмет- |
рична в вещественном случае (или эрмитова – в комплексном случае), то она имеет вещественные собственные значения. Кроме того в этом случае собственные векторы, соответствующие различным собственным значениям, взаимно ортогональны. В
нашем примере они ещѐ и нормированы, поэтому говорят, что они
ортонормированны.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Поскольку вектор x , направленый по собстенному вектору, после |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
преобразования Ax не меняет направления, а лишь меняет свою длину, |
||||||||||||||
то |
удобно |
выбрать |
новую |
систеу |
координат E1OE2, |
оси |
которй |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направить по собственным векторам e1 |
, e2 . Поскольку |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ae |
e , |
Ae |
2 |
e |
2 |
, |
|
|
( 7 ) |
||
|
|
|
1 |
1 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
то разложив, например, вектор c на составляющие по этим осям, легко |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
получить результирующий вектор с |
Aс |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Aс A(c1e1 |
c2e2 ) c1Ae1 c2 Ae2 1c1e1 2c2e2 |
. |
( 8 ) |
||||||||||
с |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразование |
Aс |
сводится |
к |
растяжению проекций |
вектора с в |
1 7 и 2 2 раз соответственно по осям OE1 и OE2. Эти новые оси
координат, направленные вдоль собственных векторов e1 и e2 ,
называют главными осями деформации.
Пример 2. Приведение квадратичной формы к каноническому виду.
Квадратичная форма
v |
T |
T |
y) (x |
T |
6 |
2 |
|
y) 6x |
2 |
4xy 3y |
2 |
F (x, y) |
|
|
Av (x y) A(x |
y) |
|
|
|
(x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
имеет размерность энергии. Если интересоваться кривой, для которой значение F(x,y)=Const, то квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду (упрощена). Для этого следует записать еѐ в системе координат E1OE2. Это можно сделать заменой x,y-координат исходной системы координат на u,v-координаты системы, повѐрнутой на угол arctg(1/ 2) до совмещения с собственными векторами. Формулы для замены:
x u cos v sin
yu sin v cos
Врезультате такой замены
F(x, y) 6x2 4xy 3y2 7u2 0 u v 2v2 F(u, v)
обнуляется член, |
содержащий произведение координат, и кривая |
|||||||
приобретает вид, |
близкий к каноническому виду. Например, для |
|||||||
Const=7 кривая 7u2 2v2 7 легко приводится к эллипсу |
||||||||
|
|
u 2 |
v2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
12 |
1 |
|
|
2 |
||
|
|
|
2 |
с полуосями 1 и 12 , который легко построить в повѐрнутой системе координат. Этот эллипс с показанными пунктиром повѐрнутыми осями представлен на рисунке 2.
Рисунок 2
Пример 3. Применение собственных значений в оптимизации.
В оптимизации, при исследовании на минимум (максимум) стационарной точки (точке с нулевой или нулевыми первыми производными), используют собственные значения матрицы A наряду с
условием положительной определѐнности > 0 |
|
(отрицательной |
||||||||
оптимизации |
|
< 0 ) |
квадратичной |
формы |
|
, |
которая |
|||
|
|
|||||||||
равняется нулю лишь при = 0. |
|
|
|
|
|
|
||||
Приведѐм пример 5.2. из РГР №5 [1] квадратичной формы, |
||||||||||
которую можно выделить из положительной суммы квадратов |
|
|||||||||
, |
= 3 2 |
+ 2 ∙ 3 |
+ 5 2 |
− 2 − 4 + 1 |
|
|||||
1 |
|
2 |
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
|
|
отклонений |
|
точек |
данных |
|
от |
сглаживающей |
их |
|||
прямой = 1 |
+ 2 ∙ . |
|
|
|
|
|
|
Переместим |
начало |
координат |
|
системы |
координат |
1 2 |
в |
||||||||||||||||||||
стационарную |
точку |
|
|
= − |
1 |
, |
= |
|
1 |
, |
|
1 |
= ( , ) |
и |
получим |
в |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
6 |
|
2 |
2 |
|
6 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
новой системе координат |
|
|
|
(при |
= |
− ; |
= |
− |
) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
|
|||||
положительно определѐнную квадратичную форму: |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
∙ 2 + 2 ∙ ∙ + ∙ 2 |
3 2 |
+ 2 ∙ 3 + 5 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
1 |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
|
= |
|
3 |
|
|
3 |
= |
|
> 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где |
= − |
− |
1 |
|
, |
= |
|
− |
1 |
, = 1 |
2 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
1 |
1 |
|
|
6 |
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, что свойство положительной (отрицательной) определѐнности матрицы равносильно наличию у этой матрицы положительных (отрицательных) собственных векторов.
Действительно, |
если нормированные |
∙ |
= 1 собственные |
векторы , |
и соответствующие |
им собственные значения |
|
> 0, = 1,2 вычислены, то можно записать |
|
||
|
|
|
|
vT Av |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(v e |
v e )T A(v e |
v e ) (v e |
v e )T ( v e |
v e ) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
1 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
v2 |
|
|
|
|
||||||||
v2eT e |
|
v v eT e |
v v eT e |
v2eT e |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1 |
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
2 |
2 |
2 |
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ). Таким |
в силу |
|
того, |
что |
векторы |
ещѐ |
и |
|
ортогональны |
( |
e1T e2 |
образом, знаки всех собственных векторов соответствуют знаку квадратичной формы. И если все собственные значения положительные, то и квадратичная форма также будет положительной.
Важно отметить, что при исследовании на минимум (максимум) в стационарной точке – точке с нулевой первой производной, рассматривается (как и для функции одной переменной) вторая производная. Для функции , двух переменных соответствующая квадратичная форма имеет вид:
|
∙ 2 + 2 ∙ |
∙ ∙ + |
|
∙ 2 |
∙ 2 + 2 ∙ ∙ ∙ + ∙ 2 = |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
+ |
|
|
+ − |
2 |
||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
∙ − 2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
= |
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для > 0 и ∙ − 2 > 0 рассматриваемая квадратичная форма будет положительной, что указывает на минимум функции в стационарной точке.
Обычно при исследованиях рассматривают матрицу вторых частных производных (или матрицу Гессе):
|
|
|
|
= |
|
|
(9) |
|
|
||
|
|
|
|
и условия для положительности квадратичной формы > 0 или условие положительности всех собственных значений матрицы Гессе. При > 0 и ∙ − 2 < 0 или отрицательных всех собственных значения матрицы Гессе рассматриваемая квадратичная форма будет отрицательной, а стационарная точка – является точкой максимума.
В приведѐнных выше примерах нужно было узнать все собственные значения. Задача, в которой требуется определить все собственные значения и соответствующие им собственные векторы называют полной проблемой собственных значений.
Встречаются приложения, в которых интересуются не всеми, а лишь некоторыми собственными значениями. Задачи, в которых требуется определить не все, а лишь отдельные собственные значения относят к частичной проблеме собственных значений.
Пример 4. Вращающийся вал с закреплѐнными на нѐм массами (см. рисунок 3) из-за неточностей в изготовлении и балансировке реально не является прямолинейным – его ось имеет отклонения от идеальной прямой линии. При вращении из-за этого возникают центробежные силы, которые стремятся изогнуть вал. Но упругий вал противодействует изгибу. При какой-то угловой скоростицентробежные силы и силы упругости могут уравновеситься, и тогда
случайное воздействие (например, от вибраций) может теоретически бесконечно отклонять вал.
Такие состояния вращающихся валов опасны, а угловые скорости= кр (их называю критическими), при которых наступают эти состояния, важно знать и избегать их.
Безопасная работа конструкции будет обеспечена при угловой скорости вращения меньшей, чем
наименьшая критиче-
ская угловая скорость.
Рисунок 3
Погиб в i-ом сечении складывается из прогибов от действия
центробежных сил в j-ом сечении, причѐм этот прогиб вычисляется |
||
|
|
|
как сумма прогибов ∙ 2 |
, где |
– податливость i-ом сечения |
, |
, |
|
от действия силы в j-ом сечении. Выражения для прогибов во всех трѐх сечениях дают систему уравнений:
∙ 2 |
+ ∙ 2 |
|
+ ∙ 2 |
|
= |
|
||||||
1 |
1,1 |
|
2 |
1,2 |
|
|
3 |
1,3 |
1 |
|
||
∙ 2 1 2,1 |
+ ∙ 2 2 2,2 |
+ ∙ 2 3 |
2,3 |
= 2 |
(10) |
|||||||
∙ 2 |
+ ∙ 2 |
|
+ ∙ 2 |
|
= |
|
||||||
1 |
3,1 |
|
2 |
3,2 |
|
|
3 |
3,3 |
3 |
|
||
Разделив обе части уравнений на ∙ 2, получим систему: |
|
|||||||||||
1,1 |
1,2 |
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
2,1 |
1,2 |
2,3 |
|
2 = |
|
|
2 |
, |
(11) |
|||
|
∙ |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3,1 |
3,2 |
3,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вкоторой наименьшей критической угловой скорости будет
соответствовать = |
1 |
наибольшее собственное значение. |
|
||
2 |
||
|
∙ |
|
|
Кр. |
|
Собственные векторы дадут (нормированные) ординаты изогнутой оси вала в точках расположения масс. Форму изогнутой оси вала представляет кубический сплайн, проходящий через эти точки и имеющий на концах нулевые вторые производные.
Пример 5. Массы m, подвешенные на пружинах (с коэффициентами жѐсткости с1, c2 , c3) показаны на рисунке 4. Определить наименьшую собственную частоту колебаний представленной системы.
|
Записав второй закон Ньютона для каждой |
|||||||||||||
|
массы, получим систему дифференциальных |
|||||||||||||
|
уравнений для определения во времени смещения |
|||||||||||||
|
от |
своего |
|
положения |
равновесия |
каждой из |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
масс: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∙ 1 = с2 2 − 1 |
− с1 1 |
|
|||||||||||
|
∙ 2 = с3 |
3 − 2 |
− с2 2 − 1 |
(12) |
||||||||||
|
|
∙ 3 = с3 2 − 3 |
|
|||||||||||
|
В случае собственных колебаний будет иметь |
|||||||||||||
Рисунок 4 |
место |
чисто |
|
осциллирующее решение ∙ , |
||||||||||
подстановка |
которого |
в |
уравнения |
(12) даст |
||||||||||
|
||||||||||||||
|
систему: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
∙ 2 = (с + с |
2 |
) − с |
2 |
|
|
|
|||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|||||
|
∙ 2 2 = −с2 1 |
+ (с2 + с3) 2с3 − с3 3 |
(13) |
|||||||||||
|
∙ 2 = −с |
3 |
+ с |
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
3 |
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Эту систему можно представить, используя приведѐнные жѐсткости= , в виде задачи на собственные значения:
|
+ |
− |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
2 |
= 2 |
2 |
|
−2 |
2 + 3 |
−3 |
(14) |
||||
|
|
− |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
Наименьшее собственное значение = 2 равно квадрату наименьшей угловой частоты воздействий на систему, при которой наступает резонанс. А собственный вектор , соответствующийпокажет относительные значения амплитуд колебаний масс.
Величины и могут быть получены решением частичной проблемы собственных значений.
Определение наибольшего по модулю собственного значения методом итераций
Покажем, что итерационный процесс
|
|
k 1,2,... |
(15) |
x(k ) Ax(k 1) , |
можно использовать для нахождения наибольшего по модулю собственного значения
max max( 1 , ..., n )
исоответствующего ему собственного вектора.
Пусть (n × n) -матрица А имеет такую полную систему собственных
векторов и собственных значений, что
1 2 ... n .
Заметим что, встречающиеся в технических задачах матрицы обычно не имеют математических особенностей (и кратных собственных значений) и обладают полной системой собственных векторов. Полезно также отметить, что для (часто встречающихся в технике)
симметричных матриц все собственные значения будут вещественными.
Выберем не равный нулю начальный вектор
|
|
x(0) |
|
|
|
|
|
|
(0) |
1 |
|
|
c1 |
|
0 |
(16) |
|
x |
|
... |
|
... |
||||
|
|
(0) |
|
|
cn |
|
|
|
|
|
xn |
|
|
|
|