Sapunov_Prikladnaya_teoriya_uprugosti_2008

Таким образом, при заданном напряженном состоянии функция Ψ(z) определена полностью, функция Φ(z) − с точностью до сла-

гаемого iC , функция ϕ(z) − с точностью до слагаемого iC z + γ и функция ψ(z)− с точностью до слагаемого γ′. Этим самым утверждается, что все три постоянные C , γ и γ′ могут быть заданы

произвольно.

С другой стороны, очевидно, что напряженное состояние не изменится, если

−функцию ϕ(z) заменить на функцию ϕ(z)+iC z + γ ;

−функцию ψ(z) заменить на функцию ψ(z)+ γ′.

При этом функция Φ(z)=ϕ′(z) заменяется на Φ(z)+iC , а функция Ψ (z) остается без изменения.

Задание перемещений точек тела вполне определяет компоненты напряженного состояния. Ясно, что при заданных перемещениях замены комплексных функций можно проводить только по типу рассмотренных выше. Посмотрим, как влияют такие замены на компоненты перемещений, определяемых комплексным соотноше-

нием (1.2):

2μ(u1 +iv1) = 2μ(u +iv) +(κ+1)Сiz + κγ− γ′ ,

откуда следует, что проведенная замена комплексных функций без изменения значений перемещений возможна только в том случае, если

С= 0 , κγ − γ′ = 0 .

Следовательно, при заданных перемещениях можно произвольно

21

распорядиться только одной из комплексных постоянных γ , γ′.

ние тела как целого, и, соответственно, эти слагаемые должны быть приравнены к нулю, что и приводит к уже известному результату.

Возможность произвольного выбора постоянных позволяет принимать их, например, равными нулю или обеспечивать соблюдение некоторых условий для рассматриваемых комплексных функций.

Так, при заданных напряжениях постоянные C , γ и γ′ можем выбрать так, чтобы

При заданных перемещениях подходящим выбором постоянной γ или γ′ можно обеспечить

ϕ(0)= 0 или ψ(0)= 0 .

1.3.2. Конечная многосвязная область

Будем считать, что область S , занятая телом, ограничена несколькими простыми замкнутыми контурами L1 , L2 , . . . , Lm ,

Lm+1, из которых последний охватывает все предыдущие; предполагается, что контуры не имеют общих точек.

22

Напомним, что по определению напряжения и перемещения должны быть однозначными функциями, однако введенные в рассмотрение комплексные функции в случае многосвязной области могут оказаться многозначными.

Рассмотрим, какие условия необходимо выполнить и в каком виде нужно выбрать комплексные функции, чтобы сохранить однозначность напряжений и перемещений.

Прежде всего, формула σx +σy = 4ReΦ(z) показывает, что

действительная часть функции Φ(z) должна быть однозначна. Однако ее мнимая часть при однократном обходе какого-либо замкнутого контура L′k ( k =1, 2, ..., m ), охватывающего один из контуров

Lk (или при обходе самого контура Lk , поскольку L′k стягивается к Lk ), может испытать приращение вида iBk = i 2πAk , где Bk ( Ak ) − действительная постоянная.

Введем в рассмотрение новую функцию

где zk − произвольно выбранная точка внутри контура Lk (вне контура S ). Функция ln (z − zk ) при обходе против часовой стрелки вокруг контура Lk получает приращение 2πi . Действительно,

ln z = ln reiθ = ln r +ln eiθ = ln r +iθ, и при обходе контура по положительному направлению угла θ (против часовой стрелки) полу-

мые под знаком суммы вернутся к своим прежним значениям. Итак, имеем

Φ(z)= ∑m Ak ln (z − zk )+ Φ (z) ,

k =1

23

где функция Φ (z) является аналитической и, следовательно, однозначной в области S .

Для комплексной функции ϕ(z) получаем:

∫z Φ (z)dz представляет собой функцию комплексной переменной

z0

z , которая при обходе внутреннего контура Lk может получить

Подставляя полученное соотношение в формулу для ϕ(z) и группируя вместе слагаемые типа Ak zk ln(z − zk ) и ck ln (z − zk ), получим:

ϕ(z) = z ∑m Ak ln(z − zk ) + ∑m γk ln (z − zk )+ϕ (z) ,

k =1 k =1

где ϕ (z) − функция, аналитическая в области S ; γk − некоторые комплексные постоянные.

24

Рассматривая вторую из формул (1.3), определяющих напряженное состояние, а именно

σy −σx + 2iτxy = 2 [z Φ′(z)+ Ψ(z)] ,

убеждаемся, что функция Ψ (z) − аналитическая (однозначная) функция. Соответственно, для функции ψ(z)= ∫Ψ(z)dz имеем:

ψ(z) = ∑m γ′k ln (z − zk )+ψ (z) ,

k =1

где ψ (z) − функция, аналитическая в области S ; γ′k − некоторые

комплексные постоянные.

Дополнительно введем в рассмотрение комплексную функцию χ(z)= ∫ψ(z)dz . По аналогии с предыдущим будем иметь:

χ(z) = z ∑m γ′k ln(z − zk ) + ∑m γ′′k ln (z − zk )+χ (z) .

k =1 k =1

Посмотрим, какие требования к комплексным функциям должны быть добавлены, чтобы однозначными оставались и перемещения. Комплексное представление перемещений имеет вид (1.2):

2μ(u +iv) = κϕ(z)− zϕ′(z)−ψ(z) .

Подставим в приведенную формулу найденные выше соотношения для функций ϕ(z) и ψ(z). Будем иметь:

25

При обходе контура Lk против часовой стрелки функция 2μ(u +iv) получит следующее приращение:

2μ [u +iv]Lk = 2πi [(κ+1)Ak z + κγk + γ′k ] .

Следовательно, для однозначности перемещений необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

Ak = 0 , κγk + γ′k = 0 ( k =1, 2, ..., m ) .

Покажем, что комплексные постоянные γk и γ′k могут быть представлены через компоненты главного вектора X k , Yk внешних усилий, приложенных к контуру Lk ( k =1, 2, ..., m ).

Представление главного вектора нагрузки, приложенной к контуру Lk , в комплексной форме имеет вид (1.4, а):

где на этот раз контур Lk должен обходиться в направлении часо-

вой стрелки (при положительном обходе область, занятая телом, остается слева). Принимая во внимание данное обстоятельство, будем иметь:

X k + iYk = −2π(γk − γ′k ) .

Решение двух уравнений относительно комплексных постоянных γk и γ′k позволяет получить:

26

Окончательно комплексные функции ϕ(z) и ψ(z) будут иметь вид:

1.3.3. Бесконечная многосвязная область

Бесконечную многосвязную область можно представить как предельный случай конечной многосвязной области, когда контур Lm+1 целиком уходит в бесконечность. Граница такой области со-

стоит из одного или нескольких контуров L1 , L2 , . . . , Lm .

Очевидно, что все соотношения, определяющие комплексные функции, полученные в разделе 1.3.2, остаются справедливыми для любой конечной области S . Остается изучить поведение рассматриваемых функций в окрестности бесконечно удаленной точки плоскости.

Опишем из начала координат, как из центра, окружность LR радиуса R так, чтобы все контуры Lk ( k =1, 2, ..., m ) находились

внутри LR .

Для всякой точки z , находящейся вне LR , будем иметь z > zk . Представим функцию ln (z − zk ) в следующем виде:

27

LR (по определению, имеющему место в теории функций ком-

плексной переменной).

Преобразуем формулы для комплексных функций ϕ(z) и ψ(z), полученные в разделе 1.3.2, для точек z , находящихся вне LR (для больших z ) с учетом полученного представления функции ln (z − zk ). Будем иметь:

внешних усилий, приложенных к границе области S (к совокупности контуров L1 , L2 , . . . , Lm ); ϕ (z) и ψ (z) − комплексные

функции, аналитические (голоморфные) вне LR .

Согласно теореме Лорана1 функции ϕ (z) и ψ (z) можно разложить в ряд вне окружности LR :

1 Если функция f (z) голоморфна внутри кругового кольца, ограниченного концентрическими окружностями L1 и L2 , то в этой области она разлагается в ряд

L2 − бесконечно большая окружность.

28

Приведенными рассуждениями комплексные функции ϕ(z) и ψ(z) полностью определены в окрестности бесконечно удаленной

точки плоскости. Однако, поскольку эти функции предназначены для описания напряжений и перемещений, необходимо добавить условия ограниченности этих величин на бесконечности: напряжения и перемещения должны принимать конечные значения в бесконечно удаленных частях плоскости.

Рассмотрим, каковы должны быть комплексные функции ϕ(z) и

ψ(z) при соблюдении условия об ограниченности напряжений

во всей рассматриваемой области S .

Формулы для комплексного представления напряжений в общем

Подставляя полученные соотношения для функций ϕ(z) и ψ(z) в первое уравнение, получим:

29

Очевидно, что для обеспечения ограниченности суммы σx +σy нужно принять

an = an = 0 при n ≥ 2 .

Подобным образом можно убедиться, что для обеспечения ограниченности комбинации напряжений σy −σx + 2iτxy необходимо и достаточно, чтобы оставался ограниченным ряд

∞

∑ nrn−1a′ne i(n−1)θ ,

n=2

откуда следует

a′n = 0 при n ≥ 2 .

Таким образом, с учетом введенного условия об ограниченности напряжений во всей рассматриваемой области S , комплексные функции ϕ(z) и ψ(z) принимают вид:

ψ0 (z) − функции, голоморфные вне окружности LR , представляемые при достаточно больших значениях z разложениями вида1

30