- •Пояснительная записка к дипломному проекту на тему: «вязкое затухание звуковых волн в сильных центробежных полях»
- •Оглавление
- •Глава 1 Литературный обзор 7
- •Аннотация
- •Введение
- •Глава 1 Литературный обзор
- •Динамика газа в центробежном поле сил
- •Волны в сильном центробежном поле
- •Затухание звуковых волн
- •Глава 2 Методика расчета
- •Постановка задачи
- •Теоретический анализ
- •Описание программы
- •Верификация
- •Заключение
- •Список литературы
Затухание звуковых волн
Одной из главных причин затухания звуковых волн в газе, является наличие вязкости и теплопроводности, приводящее к диссипации энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т.е. его интенсивность постепенно уменьшается. Выведем формулу, использующуюся в данной работе для расчета коэффициента затухания звука, учитывающую диссипацию энергии за счет молекулярной вязкости и теплопроводности.
Для вычисления диссипируемой в единицу времени энергии Емех воспользуемся следующими общими соображениями. Механическая энергия представляет максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесного состояния в состояние термодинамического равновесия. Максимальная работа совершается, если переход происходит без изменения энтропии, и равна соответственно:
Емех = Е0Е(S),
Где Е0есть начальное значение энергии тела в исходном состоянии, а Е(S) – энергия тела в состоянии равновесия с той же энтропиейS, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем:
мех= ̶(S).
Производная от энергии по энтропии есть температура. Поэтому
– температура, которую имело бы тело, если бы оно находилось в состоянии термодинамического равновесия (с заданным значением энтропии). Обозначая эту температуру как Т0имеем, следовательно:
Емех = Т0S.
Воспользуемся для Sвыражением:
(1.21)
включающим в себя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от Т0, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо Т0:
.
Эта формула представляет собой обобщение формулы
на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности.
Пусть ось х совпадает с направлением распространения звуковой волны. Тогда
Два последних члена в (1.21) дают
.
Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает:
,
где V0– объем газа.
Далее, вычислим первый член в (1.21). Отклонение Т′ температуры в звуковой волне от своего равновесного значения связано со скоростью формулой
так что градиент температуры равен
.
Для среднего по времени значения от первого члена в (1.21) получаем:
.
С помощью известных термодинамических формул
можно переписать выражение в виде
.
Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде
(1.22)
Полная же энергия звуковой волны равна
. (1.23)
Для звука имеем дело с задачей, в которой интенсивность звуковой волны падает с увеличением пройденного расстояния x. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону, а для амплитуды как –, где коэффициент поглощения γ определяется посредством
.
Подставляем сюда (1.22) и (1.23), находим, таким образом, следующее выражение для коэффициента поглощения звука[10]:
, (1.24)
которое используется для расчёта объёмного эффекта затухания звуковых волн при верификации.
Глава 2 Методика расчета
Постановка задачи
Задача состоит в разработке численного метода расчета коэффициента затухания волн звукового семейства, распространяющихся в центрифуге, на основе анализа резонансных кривых и исследовать зависимости длины затухания звуковой волны от её волнового вектора, а также от радиуса ротора.Для этого рассмотрим цилиндрическую трубу (ротор), заполненную гексафторидом урана . Газ обладает теплопроводностью и молекулярной вязкостью. Ротор вращается с угловой скоростью Ω. Его длина L намного больше, чем радиус r (L>> r), что позволяет считать ротор бесконечным (Рис.6.). Предполагаем, что температура T на внешней стенке постоянна и равна 300 K. Внутри ротора находится источник звуковых волн. Он генерирует звуковые волныc волновым вектором k, который направлен вдоль оси вращения. Рис.6. РоторФундамент исследования составила работа [14] в которой предложен метод верификации, основанный на полуаналитическом решении задачи о циркуляции газа в роторе бесконечной длины. Поставленная задача решается с гармоническим возмущением малой амплитуды во вращающемся газе. В работе также показано, как решение системы уравнений в частных производных сводится к решению системы однородных дифференциальных уравнений, которые могут быть решены почти с любой точностью на персональном компьютере.Запишем основную систему дифференциальных уравнений во вращающейся цилиндрической системе координат, описывающих движение в роторе [10]:
, (2.1)
, (2.2)
, (2.3)
(2.4)
(2.5)
Плотность и давление, подчиняются следующим распределениям:
, (2.6)
, (2.7)
где – давление и плотность на стенке ротора, соответственно,
образуется система уравнений, которая численно решается с помощью Maple при граничных условиях скользящей стенки:
=(2.8)
=0
и граничных условиях трения на стенке:
. (2.9)
Сравнение результатов, полученных с помощью данной полуаналитической модели и результатов численного моделирования, полученных в среде ANSYS CFX, показывает, что результаты эквивалентны[14].