Пожаркова_ТАУ_ЛР_9434
.pdf11
При нулевых начальных условиях данное выражение упрощается
f (n) (t) pnF(p). 4. Теорема интегрирования оригинала. Если
t
f (t) F(p) и g(t) f (t)dt, то
0
5. Теорема о начальном значении оригинала
f (0) lim pF(p).
p
6. Теорема о конечном значении оригинала f ( ) lim pF(p).
(1.3)
g(t) F(p). p
p 0
Подвергнем уравнение (1.1) прямому преобразованию Лапласа при нулевых начальных условиях, используя теоремы линейности (1.2) и дифференцирования (1.3):
a |
0 |
pnY(p) a pn 1Y(p) a |
2 |
pn 2Y(p) ... a |
Y(p) |
|
||
|
|
1 |
|
n |
|
|
||
b |
pmU(p) b pm 1U(p) b |
pm 2U(p) ... b U(p) |
(1.4) |
|||||
|
|
0 |
1 |
|
2 |
|
m |
|
c0 pk F(p) c1 pk 1F(p) c2 pk 2F(p) ... ck F(p).
Вотличие от (1.1) уравнение (1.4) является алгебраическим и зависит
только от самих функций Y(p), U(p), F(p) и не зависит от их производных.
Преобразуем:
Y(p) a0 pn a1 pn 1 a2 pn 2 ... an
U(p) b pm |
b pm 1 |
b pm 2 |
|
... b |
F(p) c |
0 |
pk c |
pk 1 c |
2 |
pk 2 |
... c |
k |
, |
|
|
|
||||||||||
0 |
|
|
1 |
2 |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Y(p) U(p) |
b pm b pm 1 |
b |
|
pm 2 ... b |
|
F(p) |
c pk c pk 1 |
c |
2 |
pk 2 ... c |
k |
. |
||||||||||||||
0 |
|
1 |
2 |
|
m |
|
0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
pn a pn 1 |
|
|
|
a |
|
pn a pn 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
a |
0 |
a |
2 |
pn 2 ... a |
n |
|
|
0 |
a |
2 |
pn 2 ... a |
n |
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим:
A(p) a0 pn a1 pn 1 a2 pn 2 ... an - полином n-го порядка, состоящий из коэффициентов левой части;
B(p) b0 pm b1 pm 1 b2 pm 2 ... bm - полином m-го порядка; C(p) c0 pk c1 pk 1 c2 pk 2 ... ck - полином k-го порядка.
Полиномы B(p) и C(p) называют полиномами воздействий.
С учетом этих обозначений исходное дифференциальное уравнение ОУ (1.4) в изображениях по Лапласу получит вид:
Y(p) U(p)B(p) F(p)C(p).
A(p) A(p)
Обозначим Wyu(p) B(p) и Wyf (p) C(p) . Тогда можно записать:
A(p) A(p)
12
Y(p) U(p)Wyu(p) F(p)Wyf (p). |
(1.5) |
Функции Wyu(p) и Wyf (p) называют передаточными функциями ОУ,
соответственно, по управляющему u t и возмущающему f t воздействиям. В общем случае передаточной функцией системы (звена) W(p)
называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах элемента.
Действительно, если f (t) 0, то F(p) 0, тогда из уравнения (1.5)
следует Wyu(p) Y(p) .
U(p)
Аналогично, если u(t) 0, то U(p) 0, тогда Wyf (p) Y(p) .
F(p)
Передаточная функция имеет важное основополагающее значение в классической теории управления. Она устанавливает связь в динамическом режиме между выходной и входной величинами элемента и полностью характеризует его динамические свойства. Передаточная функция не зависит от вида конкретного входного сигнала и определяется структурой и параметрами объекта. При прохождении сигнала через звено, изображение сигнала умножается на передаточную функцию, преобразуясь в изображение выходного сигнала.
Понятие передаточной функции весьма удобно при анализе так называемых структурных схем. Так, например, исходную схему ОУ, согласно уравнению (1.5) можно представить следующим образом (рис.1.4):
U p |
|
|
U p Wyu(p) |
|
Wyu (p) |
||||
|
Y(p) |
|||
|
|
|
||
|
|
|
||
F p |
|
|
F p Wyf (p) |
|
Wyf (p) |
|
|||
|
|
|||
|
|
|
|
Рис.1.4
Данная схема объекта управления, изображенная в виде соединения передаточных функций составляющих ее звеньев, называется структурной схемой ОУ. Структурная схема – это графическое изображение математической модели САУ в виде прямоугольников, которые соответствуют передаточным функциям по входным и выходным сигналам этих прямоугольников.
Пример 1. Найти передаточную функцию звена W1(p) (рис.1.5),
динамика |
которого |
описывается |
дифференциальным |
уравнением |
z1'(t) 10z1(t) 5v1(t). |
|
|
|
|
13 |
|
|
v1 t |
|
z1 t |
|
W1(p) |
|||
|
|
||
|
|
|
|
|
Рис.1.5 |
Подвергнем дифференциальное уравнение обратному преобразованию Лапласа, используя теоремы линейности (1.2) и дифференцирования (1.3):
z1'(t) 10z1(t) 5v1(t) Z1(p) p 10Z1(p) 5V1(p).
Преобразуем полученное уравнение:
Z1(p)(p 10) 5V1(p).
Поскольку передаточной функцией называется отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины, выразим:
|
Z1(p) |
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V1(p) |
p 10 |
Z1(p) |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Таким образом, W (p) |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
V1(p) |
p 10 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Пример 2. Составить дифференциальное уравнение ОУ, |
структурная |
|||||||||||||||
схема которого приведена на рис.1.4, если Wyu(p) |
p2 14.5p 70 |
|||||||||||||||||
|
|
|
, |
|||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p3 12.5p2 35p 100 |
|||
Wyf (p) |
|
|
|
p2 12p 20 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
p3 12.5p2 35p 100 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
В соответствии с рис.1.4, дифференциальное уравнение ОУ в |
||||||||||||||||
изображениях по Лапласу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Y(p) U(p)Wyu(p) F(p)Wyf (p). |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
Подставим выражения для Wyu(p) и Wyf (p): |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p2 14.5p 70 |
|
|
p2 12p 20 |
|
|
||||||
Y(p) U(p) |
|
F(p) |
|
. |
|
|
||||||||||||
p3 12.5p2 35p 100 |
p3 12.5p2 35p 100 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
Преобразуем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Y(p)(p3 |
12.5p2 35p 100) U(p)(p2 14.5p 70) F(p)(p2 12p 20) |
p3Y(p) 12.5p2Y(p) 35pY(p) 100Y(p) p2U(p) 14.5pU(p) 70U(p)p2F(p) 12pF(p) 20F(p).
Подвергнем полученное уравнение обратному преобразованию Лапласа, используя теоремы линейности (1.2) и дифференцирования (1.3). Получим дифференциальное уравнение ОУ для функций времени:
y'''(t) 12.5y''(t) 35y'(t) 100y(t) u''(t) 14.5u'(t) 70u(t)
f ''(t) 12f '(t) 20f (t).
1.4.СПОСОБЫ СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ
14
В системах управления встречаются три вида соединений звеньев: последовательное, параллельное и соединение по схеме с обратной связью (встречно-параллельное).
Последовательным называется соединение динамических звеньев, при котором выходная переменная каждого предыдущего звена подается на вход последующего звена:
X p |
|
Y1 p |
|
|
Y2 p |
… Yn 2 p |
|
Yn 1 p |
|
Y p |
||
W1(p) |
W2(p) |
|
Wn 1(p) |
Wn (p) |
||||||||
|
|
|
|
Y p |
|
|
Y p |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
W (p) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
посл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.6 |
|
|
|
|
Из рис.1.6 следует:
Y(p) Yn 1(p) Wn(p) Yn 2(p) Wn 1(p) Wn(p) X p W1(p) ... Wn 1(p) Wn(p)
n
X p Wi(p)
i1
Таким образом, передаточная функция последовательного соединения динамических звеньев равна произведению передаточных функций, составляющих схему:
n
Wпосл(p) Wi (p)
i 1
Параллельным называется соединение, при котором входная переменная всех звеньев одна и та же, а выходные переменные всех звеньев суммируются:
Y1 p
W1(p)
X p |
|
|
|
Y2 p |
Y p |
X p |
|
Y p |
W |
2 |
(p) |
W (p) |
|||||
|
|
|
|
|
|
пар |
|
|
|
|
|
|
Yn p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wn (p) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Рис.1.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из рис.1.7 следует:
Y(p) Y1(p) Y2 (p) ... Yn (p) X p W1(p) X p W2 (p) ... X p Wn (p)
n
X p Wi (p)
i1
15
Передаточная функция параллельного соединения динамических звеньев равна сумме передаточных функций:
n
Wпар(p) Wi (p)
i 1
Соединением с обратной связью (встречно-параллельным соединением) называется такое соединение динамических звеньев, при котором сигнал с выхода прямой цепи подается на его вход через звено обратной связи (рис.1.8). Обратная связь может быть положительной (ПОС) и отрицательной (ООС).
G p |
E p |
|
|
Y p |
G p |
E p |
|
|
Y p |
|||
W1 |
(p) |
W1 |
(p) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
X p |
|
|
|
|
|
X p |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
W2 |
(p) |
|
|
W2 |
(p) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
G p |
|
|
|
Y p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
W |
(p) |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
ОС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.8 |
|
|
|
|
W1(p) - звено прямой цепи;
W2(p) - звено цепи обратной связи; X(p) - сигнал обратной связи;
E(p) G(p) X(p) - сигнал рассогласования. Из рис.1.8 следует:
X(p) Y(p)W2(p)
Y(p) E(p)W1(p) G(p) X(p)W1(p) G(p) Y(p)W2(p)W1(p)G(p)W1(p) Y(p)W1(p)W2(p)
Y(p) Y(p)W1(p)W2(p) G(p)W1(p)
Y(p)1 W1(p)W2(p) G(p)W1(p)
Y(p) G(p) |
W1(p) |
|
|
|
|
|
|
1 W (p)W (p) |
|
|
|
|
|
||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
Таким образом, передаточная функция соединения с обратной связью |
|||||||
равна: |
|
|
|
|
|
W1(p) |
|
|
|
WОС |
(p) |
|
, |
||
|
|
|
W1(p)W2(p) |
||||
|
|
|
|
1 |
|
где «-» соответствует ПОС; «+» соответствует ООС.
Если W2(p) 1, то структурная схема системы с ОС имеет вид (рис.1.9):
16
G p |
E p |
|
|
|
Y p |
G p |
E p |
|
|
|
Y p |
|
|
W1(p) |
|
W1(p) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
WПОС |
(p) |
W1(p) |
|
|
WООС |
(p) |
W1(p) |
|
|||
|
1 W1(p) |
|
|
1 W1(p) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.9
1.5.ПРАВИЛА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ
Расположенные рядом сумматоры можно перемещать друг относительно друга в любом порядке, и их действие на схему не изменится.
Два или несколько расположенных рядом узлов можно менять друг относительно друга в любой последовательности.
Не рекомендуется переносить сумматор через узел разветвления и наоборот.
Перенос сумматора через звено в прямом направлении. При переносе сумматора через звено в прямом направлении в цепь переносимого сигнала включается звено с передаточной функцией того звена, через которое осуществляется перенос.
Перенос сумматора через звено в обратном направлении. При переносе сумматора через звено в обратном направлении в цепь переносимого сигнала дополнительно включается звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое осуществлен перенос.
Перенос узла через звено в прямом направлении. При переносе узла через звено в прямом направлении в цепь переносимого сигнала дополнительно включается звено с передаточной функцией, обратной передаточной функции звена, через которое осуществлен перенос.
Перенос узла через звено в обратном направлении. При переносе узла через звено в обратном направлении в цепь переносимого сигнала включается звено с передаточной функцией того звена, через которое осуществляется перенос.
Пример. Преобразуем (упростим) структурную схему (рис.1.10) и получим эквивалентную (результирующую) передаточную функцию.
17
|
W5(p) |
f t |
|
W6(p) |
|
|
|
|
u t |
1 |
y t |
W1(p) |
W2(p) |
W (p) |
|
|
3 |
|
2 |
3 |
W4(p)
Рис.1.10
Перенесем сумматор 1 через звено W2(p) в прямом направлении и объединим с сумматорами 2 и 3. В цепь переносимого сигнала включается звено с передаточной функцией звена W2(p), через которое осуществляется перенос (рис.1.11).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W5 |
(p) |
|
|
|
|
|
||||
u t |
|
|
|
|
|
|
W6(p) |
|
|
|
|
y t |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W1(p) |
|
|
W2(p) |
|
|
|
|
W (p) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2(p) |
|
W4(p) |
|
||
|
|
|
|
|
Рис.1.11 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звенья W1(p) и W2 (p), W2(p) и W4 (p) соединены последовательно, заменим их звеньями с результирующими передаточными функциями, равными произведениям W1(p)W2(p) и W2(p)W4(p) (рис.1.12).
|
|
|
|
|
|
|
f t |
|
|
|
|
|
|
|
W5 |
(p) |
|
|
|
|
|
|
|||
u t |
|
|
W6 |
(p) |
|
|
|
y t |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W1(p)W2(p) |
|
|
|
|
|
|
|
W (p) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W2 (p)W4(p) |
|
||
|
|
|
|
Рис.1.12 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Звенья с передаточными функциями W5 (p) |
|
и W1(p)W2(p) соединены |
параллельно, результирующая передаточная функция равна их сумме
(рис.1.13).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Звенья с передаточными функциями W3 (p) и W2(p)W4(p) соединены |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
обратной связью, |
результирующая передаточная |
функция для |
ООС |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
вычисляется по формуле |
|
|
|
|
|
W3(p) |
|
(рис.1.13). |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 W3(p)W2(p)W4(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W6(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
u t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
W3(p) |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
W1(p)W2(p) W5(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 W3(p)W2(p)W4(p) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.13 |
|
|
|
|
W3(p) |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Перенесем |
сумматор |
через |
звено |
|
|
|
|
|
|
в |
прямом |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
направлении (рис.1.14). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 W3(p)W2(p)W4(p) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
f t |
|
|
|
W6(p)W3(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 W3(p)W2(p)W4(p) |
|
|
|
|
y t |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
u t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
W3(p) W1(p)W2(p) W5(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 W3(p)W2(p)W4(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Обозначим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
W (p) |
W3(p)W1(p)W2(p) W5(p) |
, |
|
W (p) |
|
W6(p)W3(p) |
|
, |
тогда |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
yu |
|
1 W3 |
(p)W2(p)W4 |
(p) |
|
|
yf |
|
|
|
|
1 W3 |
(p)W2(p)W4(p) |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
схема примет вид (рис.1.15): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Wyf (p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(t) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Wyu(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть W(p) |
|
5 |
|
|
, W (p) |
0.5p 10 |
, |
W (p) |
1 |
, W (p) 1, W (p) 1, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
p 10 |
2 |
|
|
|
|
|
p 2 |
3 |
|
4 |
|
|
|
5 |
|
W6(p) 1. Вычислим:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
0.5p 10 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
W (p) W (p)W (p) W (p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p 10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Wyu |
(p) |
|
|
3 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 W3(p)W2(p)W4(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0.5p 10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2.5p 50 (p 10)(p 2) |
2.5p 50 (p 10)(p 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p(p 10)(p 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p(p 2) 0.5p 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(p(p 2) 0.5p 10)(p 10) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p(p 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 14.5p 70 |
|
|
|
|
|
|
p2 14.5p 70 |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
(p2 2.5p 10)(p 10) |
p3 |
12.5p2 35p 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
Wyf |
(p) |
|
|
W6 (p)W3(p) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0.5p 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 W3(p)W2 (p)W4 (p) |
1 |
|
|
1 |
|
|
p(p 2) 0.5p 10 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
p(p 2) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
p 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
p(p 2) 0.5p 10 |
p2 |
2.5p 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Для |
|
дальнейших |
расчетов |
|
|
(см. |
|
раздел |
1.6) |
|
удобно, чтобы у |
передаточных функций Wyu(p) и Wyf (p) были одинаковые знаменатели,
поэтому преобразуем Wyf (p): |
|
|
|
|
|
|||||
Wyf |
(p) |
p 2 |
|
(p 2)(p 10) |
|
|
p2 12p 20 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||
p2 2.5p 10 |
(p2 2.5p 10)(p 10) |
p3 |
12.5p2 |
|
||||||
|
|
|
|
35p 100 |
1.6.ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ЗАМКНУТОЙ ОДНОКОНТУРНОЙ СИСТЕМЫ МЕЖДУ ПРОИЗВОЛЬНЫМИ ВХОДАМИ
И ВЫХОДАМИ
Пусть САУ имеет следующую структурную схему (рис.1.16):
|
|
F p |
|
|
W3(p) |
G p |
E p |
Y p |
|
W1(p) |
W2(p) |
Рис.1.16
Поскольку звенья с передаточными функциями W1(p), W2(p), W3(p)
входят в прямую цепь регулирования, то передаточные функции
20
Wyg(p) W1(p)W2(p), Wyf (p) W3(p), Wg (p) 1, Wyf (p) W3(p) называют передаточными функциями прямой цепи по задающему и возмущающему воздействиям.
Передаточная функция WРЦ (p), включающая все звенья,
расположенные в прямой цепи и в цепи обратной связи, называется передаточной функцией разомкнутой цепи. В данном случае
WРЦ (p) W1(p)W2(p).
Передаточная функция yg (p) Y(p) называется передаточной
G(p)
функцией замкнутой системы по задающему (регулирующему) воздействию.
Передаточная функция yf |
(p) |
Y(p) |
называется передаточной |
|
|||
|
|
F(p) |
функцией замкнутой системы по возмущению.
Передаточная функция g |
(p) |
E(p) |
называется передаточной |
|
G(p) |
||||
|
|
|
функцией замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия.
Передаточная функция f |
(p) |
E(p) |
называется передаточной |
|
|||
|
|
F(p) |
функцией замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия. Для получения в одноконтурной системе передаточных функций между
произвольными выходной B(p) и входной A(p) переменными используется правило Мейсона:
ФAB |
(p) |
WAB(p) |
, |
(1.6) |
|
||||
|
1 WРЦ(p) |
|
где WAB (p) - передаточная функция прямой цепи по соответствующему воздействию, WРЦ (p) - передаточная функция разомкнутой цепи.
Пусть в системе (рис.1.16) |
W(p) 10, W (p) |
p2 14.5p 70 |
, |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
p3 12.5p2 35p 100 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
W3(p) |
|
|
p2 12p 20 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
p3 |
12.5p2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
35p 100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Используя правило Мейсона (1.6), составим передаточные функции |
||||||||||||||||
замкнутой системы по выходному сигналу |
y(t) и по ошибке (t) |
|||||||||||||||
относительно задающего g(t) и возмущающего f(t) |
воздействий. |
|
||||||||||||||
Определим передаточную функцию разомкнутой цепи: |
|
|||||||||||||||
W (p) W |
(p)W (p) 10 |
|
p2 |
14.5p 70 |
|
10p2 145p 700 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
РЦ |
1 |
2 |
|
p3 12.5p2 |
35p 100 |
|
p3 12.5p2 35p 100 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Определим передаточные функции прямой цепи.