Анализ линейной системы автоматического регулирования

1 Преобразование структурной схемы.

На систему автоматического регулирования действует задающее и возмущающее воздействия (рисунок 1). Для системы, работающей по возмущающему воздействию, g(р) равна нулю, следовательно, структурная схема имеет следующий вид:

Рисунок 2 - Эквивалентная схема

На рисунке 2 приняты следующие условные обозначения:

W_5,7(p)=W₅(p)W₇(p) – передаточные функции элементов прямой цепи;

W_1-4(p)=W₁(p)W₂(p)W₃(p)W₄(p) - передаточные функции элементов прямой цепи;

W₆(p) - передаточная функция возмущающего воздействия;

W₈(p)=1/W₆(p)

Находим передаточную функцию для разомкнутой цепи:

W_р(p) =W_1-4(p)W_5-7(p),

. (1.1)

Подставим числовые значения в выражение (1.1):

.

Находим передаточную функцию для замкнутой цепи с обратной единичной связью:

W_п(p) =W₆(p)W_5-7(p)

. (1.2)

Подставим числовые значения в выражение (1.2):

.

2 Исследование системы на устойчивость

2.1 Критерий Гурвица

Чтобы система была устойчивой необходимо и достаточно, чтоб главный определитель матрицы Гурвица и все его диагональные миноры были не отрицательны.

Критерий Гурвица предполагает исследование замкнутой системы по ее характеристическому многочлену:

По коэффициентам этого многочлена составляем квадратную матрицу следующего вида:

.

Найдм главный и диагональные миноры:

,

,

,

.

Так как система не устойчива найдём критический коэффициент усиления, при котором система будет на границе устойчивости. Критический коэффициент находят из уравнения Δ _n-1 = 0.

(1.3)

Подставляя значения в (1.3) получаем К_кр = 1.48

Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. не все определители матрицы Гурвица положительны.

2.2 Критерий Рауса

Для определения устойчивости системы по коэффициентам характеристического уравнения замкнутой системы, Раус предложил правило оформленное в виде таблицы:

Таблица 1 - Таблица Рауса

а0	а2	а4	а6
а1	а3	а5	a7
a1a2-a0a3 b1= a1	а1a4-a0a5 b2= a1	a1a6-a0a7 b3= a1	а1a8-a0a9 b4= a1	 
b1a3-a1b2 c1= b1	b1a5-a1b3 c2= b1	b1a7-a1b4 c3= b1	b1a9-a1b5 c4= b1	 
c1b2-b1c2 d1= c1	с1b3-b1c3 d2= c1	c1b4-b1c4 d3= c1	c1b5-b1c5 d4= c1	 
  	  	  	  	 

Выписываем характеристический многочлен и вычисляем коэффициенты таблицы Рауса:

Таблица 2 - Коэффициенты таблицы Рауса

7,36*10-4	0,332	14,175
3,008*10-2	1	0
0,308	14,175	0
-0,386	0	0
14,175	0	0

Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. не все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса положительны.

2.3 Критерий Михайлова

Для устойчивости АСР n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости, обошел в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не обращаясь в нуль.

Выписываем характеристическое уравнение замкнутой АСР:

Производим подстановку р = (j):

7,36*10^-4(j)⁴+3,008*10^-2(j)³+ 0,332(j)²+ (j)+ 14,175 = 0.

Выделяем вещественную и мнимую часть многочлена:

P() + jQ() = (7,36*10^-4⁴ – 0,332²+14,175) + j( - 3,008*10^-2³).

Задаём значения 0     и считаем P(), Q():

Таблица 3 - Данные для построения годографа Михайлова

	0	1	4	8	16	20	24
P()	14,175	13,844	9,051	-4,058	-22,58	-0,865	67,13
Q()	0	0,97	2,075	-7,4	-107,2	-220,6	-391,8
	28	32	36	40	60	∞
P()	206,27	445,96	820,1	1367,1	8357,5	+∞
Q()	-632,3	-953,7	-1367	-1885	-6437	-∞

По данным таблицы 3 строим годограф Михайлова (рисунок 3).

Рисунок 3 - Годограф Михайлова

Рисунок 4 - Увеличенный участок на годографе Михайлова

Рисунок 5 - Увеличенный участок на годографе Михайлова

Рисунок 6 - Увеличенный участок на годографе Михайлова

Вывод: Данная система в замкнутом состоянии является не устойчивой, т.к. годограф Михайлова, начав движение от вещественной положительной оси комплексной плоскости (рисунок 4 – 6), обошёл в положительном направлении (против часовой стрелки) лишь 3 квадранта.

2.4 Критерий Найквиста

Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутого контура САР.

Записываем передаточную функцию разомкнутой АСР:

. (1.4)

Делаем замену р = (j) и подставляем в уравнение (1.4):

.

Выделяем в знаменателе действительную и мнимую часть и домножаем на сопряженное:

.

Выписываем вещественную и мнимую части:

,

.

По данным таблицы 4 строим годограф Найквиста (рисунок 4).

Таблица 4 - Данные для построения годографа Найквиста

	0	2	4	6	10	20	30	40
P()	0	-3,865	-2,337	-1,286	-0,342	-0,004	0,006	0,003
Q()	0	-5,166	-0,963	0,058	0,266	0,064	0,016	0,005
	50	60	70	140	150	∞	60	60
P()	0,002	0,0012	0,0006	0,00005	0,00004	+0	0,0012	0,0012
Q()	0,0018	0,0008	0,0004	0,00001	0,00001	-0	0,0008	0,0008

Рисунок 7 - Годограф Найквиста

Рисунок 8 - Увеличенный участок годографа Найквиста

Вывод: Разомкнутая система является не устойчивой, т.к. АФЧХ (рисунок 7 – 8) системы охватывает точку с координатой (-1,j0).

2.5 Логарифмический критерий

Записываем передаточную функцию разомкнутой системы:

.

Определяем значения сопрягающих частот:

, ,. (1.4)

, ,.

ω_к=к₁к₂к₃к₄к₅ , ω_к=14,175

Фазочастотная характеристика разомкнутой системы:

суммарная

(1.5)

для каждого звена

;

(1.6)

Используя формулы (1.4), (1.5), (1.6) заполняем таблицу 5.

Таблица 5 - Данные для построения ЛФЧХ разомкнутой системы

	3	4	5	
0	0	0	0	-1,57
1	-0,197	-0,092	-0,04	-1,9
5	-0,785	-0,431	-0,197	-2,985
10	-1,107	-0,744	-0,381	-3,802
10,87	-1,14	-0,785	-0,41	-3,906
25	-1,373	-1,161	-0,785	-4,89
100	-1,521	-1,463	-1,326	-5,88
1000	-1,566	-1,56	-1,546	-6,242

Рисунок 9 - Логарифмическая частотная характеристика разомкнутой системы

Вывод: Система является астатической, т.к. в передаточной функции разомкнутой системы присутствует интегрирующее звено. Из логарифмических частотных характеристик разомкнутой системы (рисунок 9) видно, что система не устойчива.