- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для решения
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Задачи для решения
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Задачи для решения
- •Основные формулы
- •Примеры решения задач
- •Пример 1
- •Пример 2
- •Пример 3
- •Пример 4
- •Пример 5
- •Пример 6
- •Пример 7
- •Пример 8
- •Пример 9
1.53. Тонкое кольцо радиусом 0,1 м заряжено с линейной плотностью
0 cos , где |
0 |
= 20 нКл/м; – азимутальный угол. Найти |
напряжённость поля в центре кольца.
1.54. Круглая пластина радиусом 0,4 м равномерно заряжена с поверхностной плотностью =2 мкКл/м2. Найти напряжённость электрического поля в точке, лежащей на расстоянии 0,8 м от пластины на перпендикуляре к плоскости пластины, проходящем через её центр.
1.55.Система состоит из тонкого равномерно заряженного кольца радиусом R=5 см и очень длинной равномерно заряженной нити, расположенной по оси кольца так, что один из её концов совпадает с центром кольца. Заряд кольца Q = 40 нКл. Линейная плотность заряда нити
= 20 нКл/м. Найти силу взаимодействия кольца и нити.
1.56.Равномерно заряженная очень длинная нить, расположенная по оси круга радиусом 0,1 м, упирается одним своим концом в его центр. Линейная плотность заряда нити 40 нКл/м. Найти поток вектора напряжённости электрического поля через площадь круга.
1.57.Шар радиусом R = 0,2 м имеет положительный заряд, объёмная плотность которого зависит только от расстояния r до его центра по закону
= 8,85 10-6 (1 - r/R)(Кл/м3). Полагая диэлектрическую проницаемость
шара и окружающего пространства равной единице, найти напряжённость электрического поля на расстоянии r1 = 0,5 м от центра шара.
1.58. Система состоит из шара радиусом 0,1 м, заряженного сферически симметрично, и окружающей среды, заполненной зарядом с объемной плотностью = 2 10-8 r -1 (Кл/м3), где r – расстояние от центра
шара. Найти заряд шара, при котором напряженность электрического поля вне шара не будет зависеть от r. Чему равна эта напряженность? Для шара и окружающей среды принять = 1.
2. ПОТЕНЦИАЛ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЁННОСТИ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ С ПОТЕНЦИАЛОМ
Основные формулы
Потенциал электростатического поля
Wn ,
Q0
где Wn – потенциальная энергия точечного положительного заряда Q0, помещённого в данную точку поля.
Разность потенциалов в двух точках поля
14
1 2 QA ,
где А – работа по перемещению заряда Q из точки с потенциалом 1 в точку
с потенциалом 2 .
Работа А
A Q .
Потенциал поля точечного заряда Q на расстоянии r от заряда
k Qr ,
где k 9 109 м/Ф; ε – диэлектрическая проницаемость среды.
Принцип суперпозиции для потенциалов электростатических полей
n k Qi ,
i1 ri
где ri – расстояние от заряда Qi до точки, в которой вычисляется потенциал
.
Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов Q1 и
Q2
W |
k |
Q1 Q2 |
. |
|
|||
n |
|
r |
|
|
|
Энергия взаимодействия системы точечных зарядов Q1, Q2, …, Qn
Wn 1 n Qi i ,
2 i 1
где i – потенциал поля, создаваемого всеми n-1 зарядами (за исключением i-го) в точке, в которой расположен заряд Qi.
Связь потенциала φ с напряжённостью E электростатического поля
E grad ,
где grad – операция «градиент», действие которой на функцию φ(x,y,z) в декартовых координатах задаётся уравнением
grad x i y j z k ,
где i , j , k – орты координатных осей x, y, z.
В случае центрально симметричного электрического поля, а также поля цилиндрической симметрии
E r ,
r r
15
где r – расстояние от центра симметрии, или соответственно от оси цилиндрической симметрии до точки наблюдения.
В случае однородного поля
E 1 2 , d
где d – проекция отрезка, соединяющего точки с потенциалами 1 и 2 , на направление силовой линии поля.
Примеры решения задач
Пример 1
Три точечных заряда Q1 = 1 мкКл, Q2 = -2 мкКл, Q3 = 4 мкКл находятся на бесконечно больших расстояниях друг от друга. Найти: а) работу, которую нужно совершить, чтобы расположить заряды в
вершинах |
|
правильного |
треугольника со |
стороной а = |
0,1 м; |
||
б) потенциальную энергию заряда Q1 после перемешения зарядов. |
|
|
|||||
Дано: |
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Q 10 6 Кл |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
Кл |
|
После перемещения зарядов: |
|
|
|
Q 2 10 6 |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
Q 4 10 6 |
Кл |
|
|
Q2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
а) А -? |
|
|
|
|
|
|
|
б) Wn1 -? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Q1 |
а |
Q |
3 |
|
|
|
|
|
|
а) Работа А равна изменению потенциальной энергии: А = |Wnкон - Wnнач|.
Wnнач = 0; Wnкон = W12 + W23 + W13;
W |
k |
Q1 Q2 |
; W |
k |
Q2 Q3 |
; |
W |
k |
Q1 Q3 |
; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||||||||||
12 |
|
|
a |
23 |
|
a |
13 |
|
a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
A k (Q1 Q2 Q2 Q3 Q1 Q2 ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
9 109 |
|
|
2 10 6 2 10 6 |
4 10 6 10 6 4 10 6 |
|
|
0,54 Дж. |
||||||||
10 6 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16
б) W |
W |
W |
|
k Q1 Q2 Q3 |
|
9 109 10 6 |
10 6 |
4 10 6 |
0, 45 |
Дж. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
n1 |
|
12 |
13 |
|
|
|
|
a |
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ответ: а) А = 0,54 Дж; б) Wn1 =0,45 Дж. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Пример 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Бесконечная |
тонкая |
равномерно |
заряженная |
нить |
имеет |
|||||||||
линейную плотность |
заряда 5 10 7 Кл/м. Какую скорость приобретет |
|||||||||||||||||
электрон, переместившись из точки на расстоянии r1 = 0,1 м в точку на |
||||||||||||||||||
расстоянии r2 = 0,2 м от нити? Отношение модуля заряда электрона к его |
||||||||||||||||||
массе |
Qm 1,76 1011 Кл/кг. Начальная скорость электрона равна нулю. |
|||||||||||||||||
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
||
5 10 7 Кл/м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
r1 |
= 0,1 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
r2 |
= 0,2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|||
Q |
1,76 1011 Кл/кг |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
υ0 = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
|
||
υ = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
По |
теореме |
о |
|
|
кинетической |
энергии |
|
работа |
||||||
А |
m |
2 |
m 2 |
|
m 2 |
, т.к. 0 0 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
0 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
С другой стороны, работа А |
|
|
|
|
|
|
||||||||
А Q , |
тогда |
2 Q . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из уравнения, связываюшего потенциал и напряженность |
||||||||||||||
электрического |
поля |
в |
случае |
|
цилиндрической |
симметрии |
E |
d , |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
следует: |
rr2 |
E dr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
Напряженность Е поля нити
|
2 k |
|
r2 |
dr |
|
|
|
r |
|
E |
|
; 2 k |
|
|
2 k |
|
ln |
2 |
. Тогда скорость |
r |
r |
r |
|||||||
|
|
|
r1 |
|
|
|
1 |
|
4 Q k ln r2 . m r1
4 1,76 1011 9 109 5 10 7 ln 0,0,12 4,7 107 м/с.
Ответ: 4,7 107 м/с.
Пример 3
Диэлектрический шар радиусом 0,2 м с 5 равномерно заряжен по объему с объемной плотностью заряда 2 мкКл/м3. Найти разность
потенциалов между точками, расположенными на расстояниях r1 = 0,1 м и r2 = 0,4 м от центра шара.
Дано: |
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
R = 0,2 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 10 6 мкКл/м3 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
r1 |
= 0,1 м |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
r2 |
= 0,4 м |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
? |
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Связь Е и для центрально симметричного поля |
r2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
E d |
r1 E dr . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
dr |
|
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Напряженность электрического поля шара в зависимости от расстояния r до центра шара
|
r |
|
при |
r R; |
|||
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
||||
|
0 |
|
|
||||
E |
|
|
|
|
|
|
|
k Q |
|
при r |
R. |
||||
|
r |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Q V 43 R3 – электрический заряд шара.
18
|
|
R |
r |
|
|
|
|
|
r2 |
k Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
dr |
|
r2 |
dr |
|
|
|
|
|
(R |
|
r1 |
) |
k Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
0 |
|
|
6 |
0 |
|
|
r |
R |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
r1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
(R |
|
r1 |
) k |
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
0 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 10 6 0, 22 |
0,12 |
|
9 |
10 |
9 |
2 |
10 |
6 |
|
4 |
3,14 0, 2 |
3 |
|
1 |
|
1(2 |
|
|
1,5 10 |
6 |
В. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
6 |
8,85 10 |
12 |
5 |
|
|
|
|
3 |
|
0, 4 |
0, 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
Ответ: |
|
|
|
|
1,5 106 В. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4
Две тонкие концентрические металлические сферы радиусами R1 = 0,2 м и R2 = 0,4 м имеют заряды Q1 = 200 нКл и Q2 = -160 нКл. Найти потенциалы электрического поля в точках А, В и С, расположенных на расстояниях rA = 0,1 м; rB = 0,3 м; и rC = 0,5 м от общего центра сфер.
Дано:
R1 = 0,2 м
R2 = 0,4 м
Q1 = 2 10 7 Кл Q2 = 1,6 10 7 Кл
rA = 0,1 м rB = 0,3 м rC = 0,5 м
A , В , С - ?
Решение
1
2
О |
А |
В |
С |
|
rА |
|
|
|
rВ |
|
|
|
|
rС |
|
Потенциал внутри первой сферы A одинаков во всех точках внутри этой сферы и по принципу суперпозиции для потенциалов
A 1 |
2 k |
Q |
k |
Q |
k |
Q |
|
Q |
|
9 109 |
|
2 |
10 7 |
|
1,6 10 7 |
1, 44 104 В. |
||
1 |
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
0, 2 |
0, 4 |
|
||||||||
|
|
R1 |
|
R2 |
|
|
R1 |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Потенциал B 1 |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
19
где |
1 k |
Q1 совпадает с потенциалом поля точечного заряда, равного Q1 и |
||||
|
|
rВ |
|
|
|
|
расположенного в т. О; |
2 |
k |
Q2 |
– потенциал поля, создаваемого сферой |
||
|
|
|
|
|
R2 |
|
«2» во всех точках между сферами.
Q |
|
Q |
|
9 109 |
|
2 |
10 7 |
|
1,6 10 7 |
2, 4 103 В. |
||
В k |
1 |
2 |
|
|
|
0,3 |
0, 4 |
|
||||
|
rВ |
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
Потенциал C в точке вне обеих сфер совпадает с потенциалом поля точечных зарядов, равных Q1 и Q2 , помещенных в т. O: C 1 2 , где
1 k Q1 , 2 k |
Q2 . |
|
|
|
|||
|
rC |
|
|
rC |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
C k |
Q Q |
k |
|
2 10 7 |
1,6 |
10 7 |
В. |
1 2 |
|
0,5 |
7, 2 103 |
||||
|
rC |
|
|
|
|
|
Ответ: A 1, 44 104 В, B 2,4 103 В, 7, 2 103 В.
Пример 5
Тонкое кольцо радиуса R = 0,3 м равномерно заряжено с линейной плотностью заряда 0,03 мкКл/м. Найти работу по перемещению
точечного заряда Q = 20 нКл из центра кольца вдоль оси кольца на расстояние h = 0,4 м плоскости кольца.
Дано:
R = 0,3 м
3 10 8 Кл/м
Q = 2 10 8 Кл h = 0,4 м
A - ?
dQ
Решение
Y
А
r |
Y |
R О
20
Выберем ось координат, совпадающую с осью кольца с началом в центре кольца. Определим зависимость потенциала кольца от расстояния «Y» до его центра. По принципу суперпозиции для потенциалов
|
|
y |
d , |
где d k dQ |
; |
k 9 109 м/Ф; r R2 |
y2 . |
r |
|
|
|
Для всех зарядов dQ кольца расстояние r до точки А, в которой вычисляем потенциал, есть величина постоянная, следовательно,
y |
|
k dQ |
|
k |
|
|
dQ |
k Qкольца |
, Qкольца 2 R , у k |
2 R |
. |
r |
r |
|
|||||||||
|
r |
|
|
|
|
R2 h2 |
Работа А по перемещению заряда Q из центра кольца в точку, расположенную на оси кольца на расстоянии h от его плоскости,
A Q 0 h Q |
k |
|
2 R |
k |
2 R |
|
2 k Q |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
R |
h |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
8 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
5 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
6,28 |
9 |
10 |
|
|
2 10 |
|
3 10 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,34 10 |
|
Дж. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
R |
2 |
h |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0,4 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Ответ: А 1,34 10 3 |
|
Дж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6
Два электрона, находясь первоначально на бесконечном расстоянии друг от друга, движутся навстречу друг другу со скоростями, равными по величине 10 м/с. На какое минимальное расстояние сблизятся электроны?
Дано: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
υ0 = 10 Мм/с = 107 м/с |
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v0 |
|||||||||||
rm - ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
|
rm |
|
|
|
|
|
|
е |
||||||||||||||||
|
По закону сохранения энергии |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
W1 = W2 |
, или 2 |
m 0 |
2 |
k |
e2 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m 9,1 10 31 кг, |
e 1,6 10 19 Кл – масса и заряд электрона. |
21