Задачи для самостоятельного решения
1. Построить плоскость, касательную к заданной поверхности в точке А (рис. 110).
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
Рис. 110
2. Построить проекции линии пересечения многогранника плоскостью (рис. 111). Построить полную развертку многогранника и нанести на нее линию пересечения.
3. Построить точки пересечения прямой с заданной поверхностью (рис. 112).
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 111
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 112
4. Провести через прямую l плоскость следами, касательную к поверхности конуса (рис. 113).
5. Провести через прямую l плоскость следами, касательную к поверхности наклонного цилиндра (рис. 114).
|
|
|
|
Рис. 113 |
Рис. 114 |
6. Построить плоскость, проходящую через прямую l и пересекающую поверхность наклонного цилиндра по образующим, и найти эти образующие (рис. 115).
7. Построить плоскость, проходящую через прямую l и пересекающую поверхность конуса по образующим, и найти эти образующие (рис. 116).
|
|
|
|
Рис. 115 |
Рис. 116 |
8. Построить проекции линии пересечения многогранника плоскостью (рис. 117). Построить полную развертку многогранника и нанести на нее линию пересечения.
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 117
9. Построить проекции линии пересечения поверхности вращения плоскостью (рис. 118 и 119). Построить полную развертку поверхности вращения и нанести на нее линию пересечения.
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
Рис. 118
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 119
10. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью конуса (рис. 120 и 121).
|
|
|
|
|
а) |
б) |
в) |
Рис. 120
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 121
11. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью цилиндра (рис. 122 и 123).
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 122
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 123
12. Построить точки пересечения прямой l со сферой (рис. 124).
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 124
13. Построить точки пересечения прямой l с поверхностью многогранника (рис. 125 и 126).
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 125
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 126
Взаимное пересечение поверхностей Примеры решения задач
Построение общей линии пересекающихся поверхностей (линии их пересечения) является наиболее распространенной задачей в инженерной практике, поскольку поверхности большинства машиностроительных изделий представляют собой комбинацию различных пересекающихся элементарных поверхностей (цилиндра, конуса, сферы и т.д.).
Рассмотрим способы построения линий пересечения поверхностей, которые наиболее часто встречаются в инженерной практике.
Способ
вспомогательных секущих плоскостей.
Наиболее
распространенным способом построения
линии пересечения поверхностей является
способ вспомогательных секущих
плоскостей. Заданные поверхности
и
(рис. 127) пересекаются некоторой плоскостьюР1
по плоским линиям l1
и m1.
Точка (или точки) пересечения этих линий,
лежащих в одной плоскости Р1,
определяет точку (или точки) K1,
принадлежащую линии пересечения
заданных поверхностей.
Рис. 127
Проведя n
таких вспомогательных плоскостей (P1,
P2,
…, Pn),
можно найти n
точек (K1,
K2,
…, Kn),
принадлежащих искомой линии p
пересечения поверхностей
и
(рис. 139). Очевидно, что если каждое сечение
вспомогательной плоскостью определяет
две (три, четыре и т.д.) точки, принадлежащие
пересекающимся поверхностям, то,
естественно, проведениеn
таких плоскостей позволит получить 2n
(3n,
4n
и т.д.) точек, принадлежащих линии
пересечения.
При построении линии пересечения поверхностей вспомогательные секущие плоскости необходимо выбирать таким образом, чтобы при их пересечении с заданными поверхностями получались элементарные линии.
Пример 53. Построить проекции линии пересечения конуса со сферой (рис. 128, а).
Решение. Построение начинаем с нахождения опорных точек 1 и 2 (рис. 128, б). Для этого через оси поверхностей проводим фронтальную плоскость F (FH), которая пересекает конус по очерковым образующим, а сферу – по очерковой окружности. Пересечение этих линий определит положение опорных точек линии пересечения 1 (1', 1'') и 2 (2', 2'').
Каждая из заданных поверхностей представляет собой поверхность вращения с осью, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций. Поэтому в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем горизонтальные плоскости, которые будут пересекать конус и сферу по окружностям.
|
|
|
|
а) |
б) |
|
|
|
|
в) |
г) |
Рис. 128
Проводим первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1V). Эта плоскость пересекает конус по окружности радиусом R1, которая на горизонтальную плоскость проекций спроецируется в натуральную величину. Эта же плоскость пересечет сферу по окружности радиусом r1, которая также проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину. На пересечении этих окружностей на горизонтальной проекции отмечаем точки 3' и 4' и находим их фронтальные проекции 3'' и 4'', проведя линии связи до пересечения со следом P1V . Построенные точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4'') принадлежат искомой линии пересечения заданных поверхностей.
Аналогично проводим вспомогательную секущую плоскость Р2 (P2V), которая позволяет определить точки 5 (5', 5'') и 6 (6', 6''), принадлежащие линии пересечения.
Для определения видимости элементов чертежа на горизонтальной проекции проведем через экватор сферы горизонтальную плоскость Т (ТV). Эта плоскость пересечет конус по окружности радиусом R, а сферу – по очерковой окружности радиусом r. На пересечении этих линий получаем точки 7 (7', 7'') и 8 (8', 8'') (рис. 128, в). Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 8 (8', 8'') и получаем проекции линии пересечения конуса со сферой. На фронтальной проекции видимый участок 1'' 3'' 7'' 5'' 2'' линии пересечения полностью закрывает невидимый участок 1'' 4'' 8'' 6'' 2''. На горизонтальной плоскости проекций участок 7' 3' 1' 4' 8' линии пересечения является видимым, а остальная ее часть – невидимой (рис. 128, г).
Пример 54. Построить проекции линии пересечения цилиндра с полусферой (рис. 129, а).
Решение. Решение задачи начинаем с нахождения опорных точек линии пересечения (рис. 129, б). Проекции 1' и 2' крайних нижних точек линии пересечения определяем на пересечении окружностей оснований цилиндра и полусферы. Проведя линии связи через проекции 1' и 2' до пересечения с осью проекций, получаем фронтальные проекции 1'' и 2'' искомых точек.
Для определения крайней верхней точки 3 линии пересечения через оси поверхностей проводим горизонтально-проецирующую плоскость S (SH, SV). Горизонтальную проекцию 3' получаем на пересечении горизонтальной проекции основания цилиндра со следом SH. Для построения фронтальной проекции 3'' точки 3 проводим через нее фронтальную плоскость Т (TH), которая пересекает цилиндр по образующим, а полусферу – по полуокружности радиусом r. На пересечении этих линий на фронтальной проекции получаем проекцию 3''.
Обе заданные поверхности представляют собой поверхности вращения, оси которых перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций, поэтому в качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем фронтальные плоскости. Эти плоскости пересекают цилиндр по образующим, а полусферу – по окружностям.
Проводим первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1Н) (рис. 129, в). Эта плоскость пересекает цилиндр по образующим, а полусферу – по окружности радиусом R1, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину. На пересечении образующих цилиндра и окружности на фронтальной проекции получаем точку 4'' . Построенная точка 4 (4', 4'') принадлежит искомой линии пересечения заданных поверхностей.
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 129
|
|
|
|
в) |
г) |
Рис. 129. Продолжение
Аналогично проводим вспомогательные секущие плоскости Р2 (P2Н) и Р3 (P3Н), которые позволяют определить точки 5 (5', 5'') – 7 (7', 7''), принадлежащие линии пересечения. Границей видимости (рис. 129, в, г) является точка 4 (4', 4'').
Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 7 (7', 7'') и получаем проекции линии пересечения цилиндра с полусферой. На горизонтальной проекции линия пересечения совпадает с окружностью основания цилиндра. На фронтальной проекции участок 2'' 4'' линии пересечения является видимым, а остальная ее часть – невидимой (рис. 129, г).
Пример 55. Построить проекции линии пересечения двух цилиндров (рис. 130, а).
Решение. Построение начинаем с отыскания опорных точек 1 и 2 (рис. 130, б). Для этого через оси поверхностей проводим фронтальную плоскость F (FH), которая пересекает цилиндры по очерковым образующим. Пересечение этих линий определит положение опорных точек линии пересечения 1 (1', 1'') и 2 (2', 2'').
В качестве вспомогательных секущих плоскостей выбираем горизонтальные плоскости, которые пересекают цилиндр с горизонтальной осью по образующим, а цилиндр с вертикальной осью – по окружностям.
Проводим первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1V, P1W). Эта плоскость пересекает цилиндр с горизонтальной осью по образующим, для построения которых воспользуемся профильной проекцией. Цилиндр с вертикальной осью эта же плоскость пересечет по окружности, горизонтальная проекция которой совпадает с проекцией окружности основания. Проекции 3''' и 4''' получаем на пересечении следа P1W с окружностью основания цилиндра с горизонтальной осью. Точки 3' и 4' получаем на пересечении образующих, проходящих через точки 3 и 4 с проекцией окружности основания цилиндра с вертикальной осью. Точки 3'' и 4'' находим по двум проекциям, найденным ранее.
Аналогично проводим вспомогательные секущие плоскости Р2 (P2V, P2W) и Р3 (P3V, P3W), которые позволяют определить точки 5 (5', 5'',5'''), 6 (6', 6'', 6'''), 7 (7', 7'',7''') и 8 (8', 8'', 8'''), принадлежащие линии пересечения.
Соединяем одноименные проекции точек 1 – 8 и получаем проекции линии пересечения двух цилиндров. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией основания цилиндра с вертикальной осью, а
профильная проекция линии пересечения – с проекцией основания цилиндра с горизонтальной осью. На фронтальной проекции видимый участок 1'' 5'' 7'' 3'' 2'' линии пересечения полностью закрывает невидимый участок 1'' 6'' 8'' 4'' 2''.
|
|
|
а) |
|
|
|
б) |
|
Рис. 130 |
Пример 56. Построить проекции линии пересечения усеченного конуса с прямой треугольной призмой (рис. 131, а).
Решение. Построение начинаем с нахождения опорных точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (рис. 131, б). Фронтальные проекции 1'' – 6'' этих точек совпадают с фронтальной проекцией основания призмы. Для построения их горизонтальных проекций воспользуемся вспомогательными горизонтальными плоскостями, которые пересекают усеченный конус по окружностям, а призму – по отрезкам прямых.
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 131
|
|
|
|
в) |
г) |
Рис. 131. Продолжение
Проводим через точки 1 и 2 первую вспомогательную секущую плоскость Р1 (P1V). Эта плоскость пересекает конус по окружности радиусом R1, а призму – по отрезку 12. Пересекаясь между собой, горизонтальные проекции этих линий дают точки 1' и 2'. Проведя через горизонтальную грань призмы вспомогательную секущую плоскость Р2 (P2V), строим точки 3', 4', 5' и 6'. Плоскость Р2 (P2V) пересекает усеченный конус по окружности, часть которой, ограниченная на горизонтальной проекции построенными точками 3', 4', 5' и 6', является участком линии пересечения поверхностей.
Аналогично проводим вспомогательные секущие плоскости Р3 (P3V) и Р4 (P4V), которые позволяют определить точки 7 (7', 7'') – 14 (14', 14''), принадлежащие линии пересечения (рис. 131, в).
Соединяем одноименные проекции точек 1 (1', 1'') – 14 (14', 14'') и получаем проекции линии пересечения усеченного конуса с прямой треугольной призмой (рис. 131, г). Часть линии пересечения, принадлежащая нижней грани призмы, будет невидима на горизонтальной проекции.
Пример 57. Построить проекции линии пересечения закрытого тора с конусом (рис. 132, а).
Решение. Решение задачи начинаем с нахождения опорных точек линии пересечения (рис. 132, б). Горизонтальные проекции 1' и 2' нижних опорных точек 1 и 2 определяем на пересечении окружностей основания заданных поверхностей. Фронтальные проекции 1'' и 2'' этих точек находим проецированием. Для построения проекций верхней опорной точки 3 линии пересечения удобно применить преобразование проекций (перемену плоскостей проекций или вращение). Рассмотрим построение точки 3 двумя способами.
Первый способ.
Для построения
точки 3
(рис. 132, в)
воспользуемся переменой плоскостей
проекций. Для этого через оси закрытого
тора и конуса проводим горизонтально-проецирующую
плоскость S
(SH),
которая пересекает тор и конус по
образующим. Для построения этих образующих
параллельно плоскости S
введем дополнительную плоскость проекций
V1.
При этом новая ось проекций x1
будет параллельна горизонтальному
следу SH
плоскости
S.
Строим проекции тора и конуса в
новой системе плоскостей проекций
,
и на пересечении очерковых образующих
заданных поверхностей получаем проекцию
искомой точки. Горизонтальную проекцию3'
находим
на следе SH
и затем
строим 3''
из
условия принадлежности точки 3
пересекающимся поверхностям.
Второй способ.
Для построения
точки 3
(рис. 132, г)
воспользуемся вращением. Для этого, так
же, как и при построении первым способом,
через оси закрытого тора и конуса
проводим горизонтально-проецирующую
плоскость S
(SH),
которая пересекает тор и конус по
образующим. Вращаем эту плоскость вокруг
оси одной из пересекающихся поверхностей,
например, оси i
конуса, до положения, параллельного
фронтальной плоскости проекций. Строим
фронтальные проекции образующих, по
которым плоскость S
(SH)
пересекает тор, и находим проекцию
искомой точкив
повернутом
|
|
|
|
а) |
б) |
в)
Рис. 132. Продолжение
г)
Рис. 132. Продолжение д)
положении.
Горизонтальная проекция
лежит на следе плоскостиS
в повернутом
положении. Далее осуществляем обратное
вращение плоскости S
вместе с принадлежащей ей точкой 3
(3',
3'').
Для построения дополнительных точек 4 (4', 4'') – 7 (7', 7'') воспользуемся вспомогательными горизонтальными секущими плоскостями Р1 (P1V) и Р2 (P2V ), которые пересекают тор и конус по окружностям. Искомые точки определяются на пересечении этих окружностей (рис. 132, д).
|
|
|
е) |
|
Рис. 132. Окончание
|
Способ вспомогательных концентрических сфер. Если сфера, центр которой расположен на оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность, то линией пересечения является окружность, плоскость которой перпендикулярна оси поверхности вращения. Если же ось поверхности вращения при этом параллельна какой-либо плоскости проекций, то на эту плоскость окружность спроецируется в виде отрезка прямой (рис. 133 – 135).
Например, на рис. 133 показан цилиндр, ось вращения которого параллельна фронтальной плоскости проекций. Сфера, центр О (О', О'') которой лежит на этой оси, пересечет цилиндр по окружностям m и n. Эти окружности спроецируются на фронтальную проекцию в виде отрезков прямых (m'' = 1'' 2'' и n'' = 3'' 4''), а на горизонтальную плоскость проекций – в натуральную величину.
Способ вспомогательных концентрических сфер применяют при соблюдении следующих условий:
1) обе пересекающиеся поверхности являются поверхностями вращения;
2) оси поверхностей вращения пересекаются;
3) оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекций.
|
|
|
|
|
Рис. 133 |
Рис.134 |
Рис. 135 |
Если последнее условие не соблюдается, для того чтобы его обеспечить, прибегают к способам преобразования проекций.
Для построения точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей, проводится вспомогательная секущая сфера, за центр которой принимается точка пересечения осей вращения этих поверхностей. Эта сфера пересекает каждую из поверхностей по окружностям, которые проецируются на плоскость проекций в виде отрезков прямых. Точки пересечения этих отрезков и определяют точки, принадлежащие линии пересечения поверхностей.
Проведение нескольких таких концентрических сфер позволяет построить сколько угодно точек, принадлежащих линии пересечения.
Пример 58. Построить проекции линии пересечения полного и усеченного конусов (рис. 136, а).
Решение. Оба конуса являются поверхностями вращения, их оси параллельны фронтальной плоскости проекций и пересекаются в точке О (О', О'') (рис. 136, б). Следовательно, для построения линии пересечения этих поверхностей может быть использован способ вспомогательных концентрических сфер. При этом за центр концентрических сфер должна быть принята точка О (О', О'') пересечения осей заданных поверхностей.
а)
Рис. 136
б)
Рис. 136. Продолжение
Для определения опорных точек фронтальной проекции линии пересечения (рис. 136, б) через оси заданных конусов, а следовательно, и параллельно фронтальной плоскости проекций проводим вспомогательную плоскость F (FH). Эта плоскость пересекает конусы по очерковым образующим, точки пересечения которых и определяют искомые точки 1 (1', 1'') и 2 (2', 2'') линии пересечения.
в)
Рис. 136. Продолжение
Для определения опорных точек горизонтальной проекции линии пересечения (рис. 136, б) через ось заданного конуса проводим горизонтальную плоскость Т (ТV), которая пересекает конус с вертикальной осью по окружности радиусом r, а конус с горизонтальной осью – по очерковым образующим.Точки пересечения этих образующих с окружностью определяют искомые точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4'').
г)
Рис. 136. Окончание
Из точки О
(О',
О''),
как из центра, проводим первую
вспомогательную концентрическую сферу
наименьшим радиусом. Радиус наименьший
сферы выбирается таким образом, чтобы
она пересекала одну из заданных
поверхностей и была вписана в другую.
Для этого на фронтальной проекции из
центра сфер проводим перпендикуляры к
образующим конусов. Бóльший из этих
отрезков (рис. 1369, б)
и определяет радиус наименьшей сферы
.
Такая сфера пересекает конус с вертикальной осью по окружности m (m', m''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 5'' 6'', а на горизонтальную плоскость проекций – окружностью радиусом R1. Конус с горизонтальной осью сфера пересекает также по окружности n (n', n''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 7'' 8''. Пересечение этих окружностей (отрезков 5'' 6'' и 7'' 8'') определяет две точки 9 (9', 9'') и 10 (10', 10''), принадлежащие линии пересечения (рис. 136, б).
Затем увеличиваем
радиус сферы и повторяем описанные выше
построения (рис. 136, в).
Радиус наибольшей сферы
определится наибольшим расстоянием от
центра концентрических сфер до наиболее
удаленной опорной точки линии пересечения.
Найденные таким образом точки 1 (1', 1'') – 4 (4', 4''), 9 (9', 9'') – 12 (12', 12'') позволяют построить горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения (рис. 136, г). Границей видимости горизонтальной проекции линии пересечения являются точки 3 (3', 3'') и 4 (4', 4''), принадлежащие горизонтальной плоскости Т (ТV).
Способ вспомогательных эксцентрических сфер. Сферы можно использовать в качестве секущих не только для построения линии пересечения поверхностей вращения, но и поверхностей, имеющих семейство плоских сечений в виде окружностей. Примерами таких поверхностей являются тор, наклонные цилиндр и конус и др.
На рис. 137 показан наклонный конус, при рассечении которого горизонтальными плоскостями получаются окружности (например, m (m', m'')). Для того чтобы сфера пересекала конус по окружности m (m', m''), ее центр должен лежать в точке С (С', С''), расположенной на перпендикуляре к плоскости этой окружности, восстановленном из ее центра О (О', О''). При этом радиус R сферы будет определяться отрезками С'' 1'' и С'' 2''.
На рис. 138 показана четверть тора. Каждое сечение этой поверхности фронтально-проецирующими плоскостями, проходящими через ось тора О (О', О''), представляют собой окружности (например, m (m', m'')), которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезка прямой.
Для того чтобы сфера пересекла тор по этой окружности, ее центр С (С', С'') должен быть расположен на перпендикуляре к плоскости этой окружности, проведенном из ее центра О1 (О1', О1''). При этом радиус R сферы будет определяться отрезками С'' 1'' и С'' 2''.
Рис. 137
Рис. 138
Пример 59. Построить проекции линии пересечения усеченного конуса с тором (рис. 139, а).
Решение. Для определения опорных точек 1 и 2 линии пересечения проводим через ось конуса вспомогательную секущую плоскость F (FH), параллельную фронтальной плоскости проекций (рис.139, б). Эта плоскость пересекает конус по очерковым образующим, а тор – по очерковой окружности. Пересечение этих линий между собой определит проекции 1'' и 2'' точек, принадлежащих линии пересечения. Проекции 1' и 2' этих точек получаем на следе FH .
а)
Рис. 139
б)
Рис. 139. Продолжение
в)
Рис. 139. Продолжение
г)
Рис. 139. Окончание
Проводим через ось тора О (О', О'') фронтально-проецирующую плоскость Р1 (Р1V) (рис. 139, б). Такая плоскость пересекает тор по окружности m1 (m1''), которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 3'' 4''. Для того чтобы сфера пересекла тор по этой окружности, ее центр должен лежать на перпендикуляре к плоскости этой окружности, восстановленном из ее центра О1. Но для того чтобы эта же сфера пересекла поверхность конуса тоже по окружности, ее центр должен лежать на оси вращения конуса. Поэтому фронтальную проекцию С1'' центра сферы С1 находим на пересечении перпендикуляра к отрезку 3'' 4'', восстановленного из его середины (точки О1''), с осью конуса.
Проводим вспомогательную секущую сферу из центра С1 (С1'') радиусом С14 (R1 = С1'' 4''). Эта сфера пересекает тор по окружности m1, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 3'' 4'', а конус – по окружности n1, которая проецируется на фронтальную плоскость проекций отрезком 5'' 6''. Пересечение этих окружностей (отрезков 3'' 4'' и 5'' 6'') определяет две точки 7 (7', 7'') и 8 (8', 8''), принадлежащие линии пересечения.
Проведение плоскостей Р2 (Р2V) и Р3 (Р3V) и выполнение аналогичных построений (рис. 139, в) позволяет определить еще две пары точек, принадлежащих линии пересечения. Горизонтальные проекции этих точек находим из условия их принадлежности пересекающимся поверхностям (рис. 139, г).
Некоторые частные случаи пересечения поверхностей. В некоторых частных случаях построение линии пересечения можно значительно упростить. Рассмотрим, например, два цилиндра с параллельными образующими (рис. 140) и два конуса с общей вершиной (рис. 141). В обоих случаях линиями пересечения поверхностей являются общие образующие этих поверхностей.
Другой частный случай пересечения поверхностей определен теоремой Монжа: если две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности тоже второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой, то линиями их пересечения являются две кривые второго порядка, плоскости которых проходят через прямую, соединяющую точки пересечения линий касания.
Рассмотрим, например, пересечение двух цилиндров равного диаметра с пересекающимися осями (рис. 142). Из точки пересечения осей может быть проведена сфера, вписанная в оба цилиндра. В этом случае пересечение поверхностей происходит по двум эллипсам, фронтальные проекции которых 1'' 2'' и 3'' 4'' (рис. 142, а), или линия пересечения составлена из половин двух эллипсов (рис. 142, б). По двум эллипсам, фронтальные проекции которых 1'' 2'' и 3'' 4'', пересекаются и поверхности, показанные на рис. 143.
|
|
|
|
Рис. 140 |
Рис. 141 |
|
|
|
|
а) |
б) |
Рис. 142
|
|
|
Рис. 143
|
|
|
|
Рис. 144 |
Рис. 145 |
|
|
|
|
Рис. 146 |
а) |
|
|
|
|
б) |
в) |
Рис. 147
В случае, показанном на рис. 144, конусы имеют две параллельные образующие. Поэтому линиями их пересечения являются эллипс 1'' 2'' и парабола 3'' 4'' . На рис. 159 пересечение конусов происходит по эллипсу 1'' 3'' и гиперболе 2'' 4''.
Изображенные на рис. 142 – 145 линии пересечения поверхностей, проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков прямых, поскольку общая для каждой пары рассмотренных поверхностей плоскость симметрии расположена параллельно этой плоскости проекций.
Еще одним частным случаем является пересечение поверхностей вращения с общей осью. Такие поверхности называются соосными. Соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям.
На рис. 146 показано пересечение соосных конуса и цилиндра. Эти поверхности пересекаются по окружностям, которые проецируются на фронтальную проекцию в виде отрезков прямых (m'' = 1'' 2'' и n'' = 3'' 4''), а на горизонтальную плоскость проекций – в натуральную величину. На рис. 147 показано: пересечение соосных сжатого эллипсоида и усеченного конуса (рис. 147, а), закрытого тора и сферы (рис. 147, б), двух конусов (рис. 147, в).