МФТИ - Конкурс-67

МОСКОВСКИЙ ФИЗИКОТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (государственный университет)

МЕЖВУЗОВСКИЙ ЦЕНТР ВОСПИТАНИЯ И РАЗВИТИЯ ТАЛАНТЛИВОЙ МОЛОДЕЖИ В ОБЛАСТИ ЕСТЕСТВЕННОМАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК «ФИЗТЕХ-ЦЕНТР»

Конкурс абитуриентов 2011/2012 года по решению задач вступительных испытаний МФТИ

«Конкурс – 67»

СБОРНИК МЕТОДИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

Москва 2011

«Конкурс – 67»

Историческая справка

Межвузовский «Физтех-центр» МФТИ ежегодно проводит несколько конкурсов абитуриентов по решению задач вступительных испытаний МФТИ разных лет. Анализ состава конкурсантов и отклики на него позволили организаторам конкурса сделать вывод о том, что не только конкурс как соревнование привлекает к себе внимание, но и состав конкурсных задач, представленных в том же самом формате, как и много лет назад. Большое количество задач не должно смущать участников конкурса. Такой приѐм даѐт возможность представить богатую палитру созданных преподавателями МФТИ задач и помочь будущим абитуриентам сориентироваться в своем выборе.

Участниками конкурсов могут стать все любители «поломать голову» над решением задач по физике и математике. Все задачи решать не обязательно – достаточно решить без ошибок любые восемь задач, чтобы участник получил сертификат участника «Конкурса – 67» и был включен в реестр возможных абитуриентов МФТИ, ведущейся Межвузовским «Физтех-центром».

С условиями задач можно познакомиться на портале www.abitu.ru, а также они рассылаются учащимся и учителям, включенным в сферу интересов МФТИ.

Решения задач должны быть отосланы по адресу: 141700, Московская обл., г.Долгопрудный, Институтский пер., д. 9, МФТИ, ―Физтех-Центр‖, «Конкурс – 67» – не позднее 15 декабря 2011 года (по почтовому штемпелю) простым письмом без объявленной ценности. Иные варианты почтового отправления оргкомитетом приниматься не будут.

По мере прохождения проверки результаты олимпиады будут представлены на Интернет-Портале «Абитуриент» www.abitu.ru.

3

Правила оформления

Решения задач по математике и физике должны быть представлены в одной тетради, на обложке которой выписаны домашний адрес и Ф.И.О. Анкету участника надо заполнить печатными буквами и вложить в тетрадь (обратите внимание на указания внизу анкеты).

На 1-ой и 2-ой странице тетради необходимо написать ответы ко всем решѐнным задачам (как по физике, так и по математике) с сохранением порядка их следования и нумерации в условии. Каждый ответ выписывается на одной строке. Ответы пишутся через строку. Если задача не решена, ставится номер задачи и прочерк.

Решения задач по математике пишутся в начале тетради, а только затем пишутся решения задач по физике. Задачи пишутся в том порядке, в котором они даны в условии. Каждое решение начинается с новой страницы. Если задача не решена, следует оставить пустую страницу с номером задачи.

Небрежно оформленные работы жюри не рассматриваются.

Тетрадь вкладывается в конверт и отсылается по почте простым письмом без объявленной ценности (без уведомления о получении). Решения,

отправленные по почте иным образом, жюри не рассматриваются.

Правила заполнения анкет

Перед заполнением обратите внимание на указания внизу анкеты. Помните, что все анкеты распознаются автоматизировано. Форма заполняется печатными буквами. Желательно использовать чѐрную гелевую ручку. Нельзя использовать карандаш и ручки другого цвета (анкета не будет корректно распознана). Точки, тире, запятые и другие знаки пишутся в отдельных

клеточках и считаются отдельным символом.

4

ЗАДАЧИ

М1. Три числа, сумма которых равна 28, составляют геометрическую прогрессию. Если из этих чисел вычесть соответственно 1, 3 и 9 , то

получаются три числа, составляющие первые члены арифметической прогрессии. Найти сумму первых10 членов геометрической прогрессии.

М2. Полная поверхность правильной треугольной пирамиды равна S 123 ,

М5. В сферу радиуса R вписаны два прямых круговых конуса с общим основанием. Объем одного из них в четыре раза превосходит объем другого. Найти боковую поверхность каждого из конусов.

М6. Решить неравенство sin x cos2 x .

М7. Найти объем тела, полученного вращением равнобедренного треугольника около оси, лежащей в его плоскости и проходящей через вершину угла при основании параллельно боковой стороне. Известно, что боковая сторона равна a , а угол при основании равен .

М8. Решить уравнение x 4a 16 2x 2a 4 x .

Радикалы понимаются в арифметическом смысле. При каких вещественных a уравнение имеет решение.

М9. Решить систему уравнений

5

М11. Конус вписан в шар. Найти отношение объема конуса к объему шара, если образующая конуса наклонена к его основанию под углом .

М12. Решить систему

ax y z 1, x ay z a, x y az a2.

Указать, при каких значениях a система разрешима.

М13. Равнобедренный треугольник рассечен биссектрисой угла при основании

6

на два треугольника; площадь первого (прилежащего к основанию) 6 11 ;

5

площадь второго — 5 11 . Определить стороны равнобедренного треугольника.

М15. На плоскости расположена правильная четырехугольная пирамида с высотой 12 и стороной основания 8 . На высоте 14 над плоскостью расположен источник света, причем проекция O1 источника на плоскость, центр O основания пирамиды и вершина A основания лежат на одной прямой. Найти площадь тени, отбрасываемой пирамидой на плоскость, если OO1 10 .

Ф1. Какова должна быть минимальная сила трения между колесами автомобиля и дорогой, чтобы он мог двигаться со скоростью v 30 м / сек

под вертикальным дождем? Масса дождевой капли m 0,1 г .

Ежесекундно на 1 квадратный сантиметр горизонтальной поверхности попадает a 2 капли дождя. Поверхность автомобиля, смачиваемая дождем,

S5 м2 . Считать, что вся поверхность смачивается дождем равномерно.

Ф2. Найти разность потенциалов между точками ab в схеме, изображенной на рисунке Ф2.

Ф3. Цилиндрическая пробирка длины L , содержащая некоторое количество газа при температуре T полностью погружена в жидкость с плотностью . При этом поверхность жидкости внутри пробирки

находится в середине последней. Пробирку вынимают из жидкости, таким образом, что она едва касается поверхности жидкости своим открытым концом. Как надо изменить температуру газа в пробирке, чтобы жидкость внутри нее вновь установилась на расстоянии L / 2 от ее концов? Внешнее давление равно P0 .

6

Ф4. Плоская поверхность плоско-вогнутой линзы с фокусным расстоянием F покрыта хорошо отражающим слоем. На расстоянии a от линзы со стороны вогнутой поверхности расположен точечный источник света. Определить положение изображения. Можно ли в такой Системе получить действительное изображение?

Ф5. На наклонной плоскости с углом наклона покоится кубик. Коэффициент трения между кубиком и плоскостью равен k . Наклонная плоскость движется с ускорением в направлении, указанном стрелкой. При каком минимальном значении этого ускорения кубик начнет соскальзывать?

Ф6. Найти разность потенциалов между точками ab в схеме, изображенной на рисунке.

Ф7. Запаянная с одного конца цилиндрическая трубка дли ны L погружается в воду до тех пор, пока ее запаянный ко нец не оказался на одном уровне с поверхностью воды. Когда температура воздуха в трубке и

равна T , а атмосферное давление равно P0 .

Ф8. Две одинаковые тонкие плосковыпуклые линзы, фокусные расстояния которых равны f , помещены в оправу так, что их выпуклые поверхности

соприкасаются. Определить фокусное расстояние такой системы в воде, коэффициент преломления которой равен n . Считать, что внутрь оправы вода не попадает. Рассматривать только такие лучи, которые пересекаются с оптической осью под достаточно малыми углами, чтобы тангенсы этих углов можно было приближенно заменить синусами.

Ф9. Горизонтально летящая пуля массы m , попадает в деревянный шар, лежащий на полу, и пробивает его. Определить, какая часть энергии пули перешла в тепло, если ее начальная скорость была v1 , скорость после

вылета из шара v2 , масса шара M . Трение между шаром и полом

отсутствует, траектория пули проходит через центр шара.

Ф10. Тонкая металлическая лента свернута в кольцо радиуса R и вращается с угловой скоростью относительно оси кольца. Определить напряженность электрического поля внутри металла. Объяснить

7

механизм возникновения электрического поля. Отношение e / m заряда электрона к его массе считать известным.

Ф11. Сосуд емкостью 2V 200 л разделен пополам полупроницаемой перегородкой. В одну половину введено m1 2 г водорода и m2 28 г

азота, в другой половине вакуум. Через перегородку может диффундировать только водород. Во время процесса поддерживается температура t 100 С . Какие давления p1 и p2 установятся в обеих

частях сосуда?

Ф12. Действительное изображение протяженного источника получено при помощи линзы, находящейся на расстоянии a от источника. Определить фокусное расстояние f линзы, если при увеличении

расстояния a в два раза освещенность изображения меняется в 4 раза.

8

Предлагаем Вам принять активное участие в наших мероприятиях:

1.21-я Заочная физико-математическая олимпиада МФТИ (отборочный тур).

Задание олимпиады размещается в интернете по www.abitu.ru/olimp/zaocholimp Решения необходимо выслать почтой не позднее 25 декабря 2011 года для абитуриентов, а для остальных школьников до 1 марта 2012 года (по почтовому штемпелю). Возможна отправка электронного решения через систему www.zaolimp.ru

2.13-я Столичная физико-математическая олимпиада МФТИ проводится 26 и 27

ноября 2011 года (отборочный тур). 11 классы приглашаются 10 и 11 декабря, 6-10 классы приглашаются 10 декабря в школу №1840 г. Москвы, метро «Проспект Мира», Б. Переяславская ул., 1. Справки по тел. (495)-680-41-44. Интернет: www.abitu.ru/olimp/capolimp

3.38-я Всероссийская математическая олимпиада школьников. III этап (областной)

—январь 2012 года в МФТИ. Приглашаются победители и призеры муниципального этапа по направлению. www.abitu.ru/olimp

4.46-я Всероссийская олимпиада школьников по физике. III этап (областной) — январь 2012 года в МФТИ. Приглашаются победители и призеры муниципального этапа по направлению. www.abitu.ru/olimp

5.День открытых дверей проводится в МФТИ 8 января 2012 года.

6.51-я Выездная физико-математическая олимпиада МФТИ (отборочный тур).

Проводится с 14 января по 14 февраля 2012 года в 600 городах России и ближнего зарубежья. www.abitu.ru/olimp/outolim

7.Поступление учащихся 7-10 классов в ФЗФТШ при МФТИ. Условия приема и вступительное задание в ФЗФТШ при МФТИ рассылаются в ноябре-декабре 2011 года и размещаются в интернете по адресу www.school.mipt.ru. Срок отправления решѐнного вступительного задания указан в условии.

8.51-я Традиционная физико-математическая олимпиада МФТИ. Проводится в МФТИ 19 февраля 2012 года для школьников 9-11-х классов. Интернет: www.abitu.ru/olimp/tradicion

9.Конкурсы абитуриентов 2011/2012 года «Конкурс-67» (отборочный тур) и «Конкурс-68» по решению задач по математике и физике вступительных испытаний Московского физико-технического института (государственного университета) за период 1947-2011 годов. Конкурс предназначен для абитуриентов элитных ВУЗов и ВУЗов с углубленным изучением естественно-математических наук России и ближнего зарубежья. С условием задач можно ознакомиться на сайте www.abitu.ru/olimp . Решения «Конкурса-67» необходимо выслать почтой не позднее 15 декабря 2011 года (по почтовому штемпелю), «Конкурса-68» - 1 марта 2012 года (по почтовому штемпелю).

10.22-я Квалификационная физико-математическая олимпиада «Физтех-2012».

Проводится 10 марта по математике и 11 марта по физике 2012 г. Участники олимпиады «Физтех-2012», добившиеся высокого результата (90 и более баллов по 100 балльной шкале) по любому из предметов, являются победителями олимпиады. Интернет: olymp.fizteh.ru

11.14-ый Международный научно-технический конкурс школьников «Старт в Науку». Проводится 12 марта17 марта 2012 года. В 2011 году проживание и питание стоило до 300 руб./сутки. Финансовая поддержка Конкурса частично осуществляется за счет оргвзноса участников. Интернет: www.abitu.ru/conf

12.День открытых дверей проводится в МФТИ 8 апреля 2012 года.

10