Бесов

Если функция f равномерно непрерывна на E, то она и непрерывна на E (т. е. непрерывна в каждой точке x(0)

E). В этом сразу убеждаемся, положив в (1) x00 = x(0), x0 = x.

Обратное неверно. Например, при n = 1 функции f(x) = x1 , g(x) = sin x1 , непрерывные на E = (0, 1), не являются равномерно непрерывными на E.

Однако, если E — компакт, то непрерывность функции на E эквивалентна равномерной непрерывности этой функции на E в силу следующей теоремы.

Теорема 2 (Кантор). Пусть E Rn — компакт, и

функция f непрерывна на E. Тогда f равномерно непрерывна на E.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что теорема неверна, т. е. что существует функция f, непрерывная, но не равномерно непрерывная на E. Тогда

ε0 > 0 δ > 0 x, y E : |x − y| < δ, |f(x) − f(y)| > ε0.

Будем брать в качестве δ δm = m1 и соответствующую пару точек x, y обозначать через x(m), y(m).

Тогда имеем

x(m), y(m) E, |x(m) − y(m)| < m1 , |f(x(m)) − f(y(m))| > ε0 > 0.

Выделим из последовательности {x(m)} сходящуюся

подпоследовательность {x(mk)}∞k=1, lim x(mk) = x(0), что

k→∞

возможно в силу ограниченности {x(m)} по теореме Боль- цано–Вейерштрасса. Тогда из |x(m) − y(m)| < m1 следует,

что lim y(mk) = x(0). Точка x(0) E, так как E замкнуто.

k→∞

В силу непрерывности f в точке x(0) по множеству E имеем

f(x(mk)) → f(x(0)), f(y(mk)) → f(x(0)), при k → ∞,

162 Глава 10. Функции многих переменных

а это противоречит тому, что

|f(x(mk)) − f(y(mk))| > ε0 > 0 k N.

Теорема доказана.

Упражнение 1. Пусть функция f: (a, b) → R имеет ограниченную производную на (a, b). Показать, что f равномерно непрерывна на (a, b).

Определение 4. Пусть функция f определена на мно-

жестве E Rn. Ее модулем непрерывности (на E) назы-

вается функция w: (0, +∞) → (0, +∞), где w(δ) = w(δ; f) = w(δ; f; E) = sup{|f(x) − f(y)| :

x, y E, |x − y| 6 δ}.

Очевидно, что w — возрастающая функция и что w(δ1 + δ2) 6 w(δ1) + w(δ2) при δ1δ2 > 0.

Теорема 3. Пусть функция f определена на E R. Для ее равномерной непрерывности на E необходимо и достаточно, чтобы

w(0 + 0; f; E) = 0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1.◦ Пусть f равномерно непрерывна на E. Тогда из (1) следует, что

ε > 0 δ(ε) > 0 : w(δ; f) 6 w (δ(ε); f) 6 ε < 2ε

при 0 < δ 6 δ(ε).

Следовательно, w(0 + 0; f) = 0. 2.◦ Пусть w(0 + 0; f) = 0. Тогда

ε > 0 δ(ε) > 0 : w(δ(ε); f) < ε.

Тогда выполняется (1), т. е. f равномерно непрерывна на E.

Теорема 4 (теорема Коши о промежуточных зна-

чениях). Пусть область G Rn, функция f непрерывна на G. Тогда если a, b G, f(a) < f(b), то для

C (f(a), f(b)) c G : f(c) = C.

До к а з а т е л ь с т в о. Напомним, что область — это открытое связное множество, так что для точек a, b G существует кривая

= {x = ϕ(t) : α 6 t 6 β}, ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, G.

Рассмотрим сложную функцию g(t) = f(ϕ(t)). Она непрерывна на [α, β] по теореме о непрерывности сложной функции. Кроме того, g(α) = f(a), g(β) = f(b). По теореме Коши о промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции,

ξ [α, β] : g(ξ) = f(ϕ(ξ)) = C.

Взяв c = ϕ(ξ), приходим к утверждению теоремы.

Следствие 1. Теорема Коши о промежуточных значениях сохранится, если область G заменить в ее формулировке на замкнутую область G.

f(a) < C < f(b). Возьмем ε0 > 0 столь малым, что f(a) + + ε0 < C < f(b) − ε0. В силу непрерывности f в точках a, b найдутся точки a(0), b(0) G такие, что

|f(a) − f(a(0))| < ε0, |f(b) − f(b(0))| < ε0.

Тогда f(a(0)) < C < f(b(0)) и остается применить доказанную теорему.

Глава 11

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

В этой главе изучаются дифференциальные свойства функций во внутренних точках их областей определения.

§ 11.1. Частные производные и дифференцируемость функций многих переменных

Пусть функция f определена в некоторой окрестности

точки x(0) Rn, f(x) = f(x1, . . . , xn). Зафиксировав x2 =

= x(0)2 , x3 = x(0)3 , . . . , xn = x(0)n , получим функцию одной переменной f(x1, x(0)2 , . . . , x(0)n ). Если она имеет производ-

ную в точке x(0)1 , то эта производная называется частной производной по x1 функции f в точке x(0) и обозначается

§11.1. Частные производные и дифференцируемость функций165 x = x − x(0). Таким образом,

x C (Δx, . . . , xn) = (x1 − x(0)1 , . . . , xn − x(0)n ),

Определение 1. Функция f называется дифференцируемой в точке x(0), если приращение функции f в точке x(0) можно представить в виде

f(x(0)) = f(x(0) + x) − f(x(0)) =

где A1, . . . , An — некоторые числа.

В правой части (1) символ «o малое» имеет тот же смысл, что и в случае функций одной переменной, так что вместо o(| x|) можно написать ε(Δx)| x|, где функция ε

точке x(0). Тогда в этой точке существуют частные произ-

водные ∂f и Ai = ∂f (x(0)) для всех i = 1, 2, . . . , n.

∂xi ∂xi

Д о к а з а т е л ь с т в о. Будем считать в (1) x1 6= 0,

x2 = . . . = xn = 0, т. е. x = (Δx1, 0, . . . , 0). То-

гда f(x(0)1 + x1, x(0)2 , . . . , x(0)n ) − f(x(0)1 , x(0)2 , . . . , x(0)n ) =

= A1 x1 + ε(Δx)| x1|.

166 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

изводных ∂f , дифференцируемость. Соотношение между

∂xi

ними не такое, как в случае функции одной переменной. Именно, для функций n > 2 переменных

1.◦ дифференцируемость в точке влечет существование

частных производных ∂f (i = 1, . . . , n) и непрерыв-

∂xi

ность в этой точке (см. теоремы 1, 2);

§ 11.1. Частные производные и дифференцируемость функций167

2.◦ из существования всех частных производных ∂f и ∂xi

непрерывности функции f в точке не следует дифференцируемость этой функции в этой точке;

3.◦ из существования всех частных производных ∂f в ∂xi

точке не следует непрерывность функции f в этой точке.

Для обоснования 3◦ приведем пример функции двух переменных (n = 2)

(

1 при x = y 6= 0,

f(x, y) =

0 при x 6= y и при x = y = 0,

имеющей частные производные ∂f∂x (0, 0) = ∂f∂y (0, 0) = 0, но не являющейся непрерывной в точке (0, 0).

В силу теоремы 2 эта функция не является дифференцируемой в точке (0, 0). Тем самым данный пример пока-

зывает, что существование всех частных производных ∂f ∂xi

в точке x(0) не влечет дифференцируемость f в этой точке.

Для обоснования 2◦ приведем пример функции двух переменных

непрерывной в точке (0, 0) и имеющей частную производ-

ную ∂f∂x (0, 0) = ∂f∂y (0, 0) = 0, но не дифференцируемой в точке (0, 0). В самом деле, непрерывность в точке (0, 0) этой функции следует из оценки

x2 + y2 p

|f(x, y)| 6 p = x2 + y2 → 0 при (x, y) → (0, 0). x2 + y2

168 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

Если же допустить, что f дифференцируема в точке (0, 0), то согласно (2) было бы верно равенство

p

f(x, y) = f(x, y) − f(0, 0) = o( x2 + y2) при (x, y) → (0, 0),

противоречащее тому, что при x = y

В следующей теореме устанавливаются достаточные условия дифференцируемости функции в точке в терминах ее частных производных.

Теорема 3. Пусть в точке x(0) непрерывны все част-

ные производные (i = 1, . . . , n) функции f. Тогда f

дифференцируема в точке x(0).

Д о к а з а т е л ь с т в о ради простоты записи проведем для случая функции двух переменных (n = 2). Непрерывность частных производных функции в точке (x0, y0) R2 включает предположение об их существовании в некоторой

Правая часть равенства представляет собой сумму приращений функции по одной переменной при фиксированной другой. Применяя по соответствующей переменной теорему Лагранжа о конечных переменных, имеем

§ 11.1. Частные производные и дифференцируемость функций169

pp

× (Δx)2 + (Δy)2 = o( (Δx)2 + (Δy)2)

при (Δx, y) → (0, 0).

Следовательно, функция f дифференцируема в точке

(x0, y0).

Теорема доказана.

Упражнение 1. Показать, что непрерывность частных производных функции в данной точке не является необходимым условием дифференцируемости функции в данной точке, рассмотрев пример функции двух переменных

170 Глава 11. Дифференциальное исчисление функций

Определение 3. Функцию f, имеющую в точке или

на множестве непрерывные производные ∂f при всех i =

∂xi

= 1, . . . , n, называют непрерывно дифференцируемой соответственно в этой точке или на этом множестве.

Заметим, что эта точка или все точки этого множества должны быть внутренними точками области определения функции f в соответствии с определением частной производной.

Используя этот термин, последнюю теорему можно сформулировать так: непрерывно дифференцируемая в точке функция дифференцируема в этой точке.

§ 11.2. Геометрический смысл дифференциала функции и частных производных

Рассмотрим функцию двух переменных (x, y), заданную на некоторой окрестности точки (x0, y0) f: Uδ(x0, y0) → R.

Тогда S = {(x, y, z) R3: (x, y) Uδ(x0, y0),, z =

= f(x, y)} — ее график.

Определение 1. Пусть f дифференцируема в точке

(x0, y0). Касательной плоскостью к графику функции f

в точке (x0, y0, f(x0, y0)) называется плоскость, уравнение которой

z0 = f(x0, y0).

Эта плоскость проходит через точку (x0, y0, f(x0, y0)), а разность между значением z = f(x, y) функции в точке (x, y) и аппликатой zкас точки (x, y, zкас) касательной плоскости, как следует из (11.1.2) с n = 2 и (1),

p

f(x, y) − zкас = o( (x − x0)2 + (y − y0)2)

(2)

при (x, y) → (x0, y0).