Кожевников. Матрицы и СЛУ
.pdfŒ âà¨æë ¨ á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©
•.€. Š®¦¥¢-¨ª®¢ July 11, 2011
2
3
‘®¤¥à¦ -¨¥
|
•à¥¤¨á«®¢¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
5 |
x 1. |
‚¢¥¤¥-¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
6 |
‹¨-¥©-ë¥ ®¯¥à 樨 - ¤ ¬ âà¨æ ¬¨, âà -ᯮ-¨à®¢ - |
|
|
|
-¨¥ ¬ âà¨æ .................................................... |
8 |
|
‘«®¦¥-¨¥ ¨ ã¬-®¦¥-¨¥ - ç¨á«®................... |
8 |
|
‹¨-¥©- ï ª®¬¡¨- æ¨ï ¨ «¨-¥©- ï ®¡®«®çª ..... |
10 |
|
’à -ᯮ-¨à®¢ -¨¥ ................................... |
11 |
x 2. |
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï................................ |
12 |
‹¨-¥©- ï § ¢¨á¨¬®áâì ¨ à -£ .............................. |
12 |
|
|
‹¨-¥©- ï § ¢¨á¨¬®áâì............................... |
12 |
|
• -£ .................................................... |
15 |
|
• -£ ¬ âà¨æë......................................... |
18 |
x 3. |
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï................................ |
19 |
“¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æ ........................................... |
19 |
|
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥, ®á-®¢-ë¥ á¢®©á⢠¨ ¯à¨¬¥àë ..... |
19 |
|
Ž¡à â¨¬ë¥ ¬ âà¨æë. Ž¡à â- ï ¬ âà¨æ ......... |
22 |
|
“¬-®¦¥-¨¥ ¬ âà¨æ ¨ à -£ .......................... |
24 |
x 4. |
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï................................ |
25 |
•«¥¬¥-â à-ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨ ¨å ¯à¨¬¥-¥-¨¥ ......... |
26 |
|
|
•«¥¬¥-â à-ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨ í«¥¬¥-â à-ë¥ |
|
|
¬ âà¨æë ............................................... |
26 |
|
Œ¥â®¤ ƒ ãáá .......................................... |
28 |
|
•«¥¬¥-â à-ë¥ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ¨ à -£............. |
30 |
|
•¥¢ë஦¤¥--ë¥ ¬ âà¨æë ........................... |
32 |
x 5. |
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï................................ |
35 |
‘¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© .............................. |
36 |
|
|
”®à¬ë § ¯¨á¨ ¨ ªà¨â¥à¨© ᮢ¬¥áâ-®á⨠.......... |
36 |
|
Ž¤-®à®¤-ë¥ á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨©, |
|
|
áâàãªâãà à¥è¥-¨ï................................... |
38 |
4
•¥è¥-¨¥ á¨áâ¥¬ë «¨-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© ¬¥â®¤®¬ |
|
ƒ ãáá .................................................. |
39 |
„¢®©á⢥--®áâì ....................................... |
42 |
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï................................ |
44 |
x 6. Ž¯à¥¤¥«¨â¥«ì (¤¥â¥à¬¨- -â) ............................... |
44 |
ˆ-¤ãªâ¨¢-®¥ ®¯à¥¤¥«¥-¨¥ .......................... |
45 |
Žá-®¢-ë¥ á¢®©á⢠................................... |
45 |
Ÿ¢-®¥ à §«®¦¥-¨¥ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ................... |
51 |
”®à¬ã«ë á ¨á¯®«ì§®¢ -¨¥¬ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ï ........ |
52 |
‡ ¤ ç¨ ¨ ã¯à ¦-¥-¨ï................................ |
54 |
•à¨«®¦¥-¨¥ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
55 |
‹®£¨ª ................................................. |
55 |
Œ-®¦¥á⢠............................................ |
55 |
‡- ª á㬬¨à®¢ -¨ï .................................. |
57 |
•®-ïâ¨ï ®â®¡à ¦¥-¨ï ¨ ¯à¥®¡à §®¢ -¨ï ......... |
57 |
Žâ¢¥âë, 㪠§ -¨ï ¨ à¥è¥-¨ï . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
61 |
‹¨â¥à âãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
69 |
‘¯¨á®ª ®¡®§- ç¥-¨© . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
70 |
•à¥¤¬¥â-ë© ãª § ⥫ì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
72 |
5
•à¥¤¨á«®¢¨¥
•â® ã祡-®¥ ¯®á®¡¨¥ ¯®á®¡¨¥ - ¯¨á -® - ®á-®¢¥ «¥ªæ¨© ¯® ªãàáã |
|
- «¨â¨ç¥áª®© £¥®¬¥âਨ ¨ «¨-¥©-®© |
«£¥¡àë, ª®â®àë© ç¨â ¥âáï ¢- |
â®à®¬ - ä ªã«ìâ¥â¥ ®¡é¥© ¨ ¯à¨ª« ¤-®© 䨧¨ª¨ Œ”’ˆ á 2007 |
|
£®¤ . |
|
•® âà ¤¨æ¨¨, á«®¦¨¢è¥©áï - ”¨§â¥å¥, ¬ âà¨æë ¨ á¨áâ¥¬ë «¨- |
|
-¥©-ëå ãà ¢-¥-¨© á¨á⥬ â¨ç¥áª¨ ¨§ãç îâáï ¤® ¢¢¥¤¥-¨ï ¡áâà ªâ- |
|
-ëå ¯®-ï⨩ ¢¥ªâ®à-®£® ¯à®áâà -á⢠|
¨ «¨-¥©-®£® ®â®¡à ¦¥-¨ï. |
•à¨ ¤ «ì-¥©è¥¬ ®á¢®¥-¨¨ ¡áâà ªâ-ëå ¯®-ï⨩ ¬ âà¨æë, - àï¤ã á |
|
- £«ï¤-®© £¥®¬¥âਥ©, áâ -®¢ïâáï ¨áâ®ç-¨ª®¬ ¬®â¨¢¨à®¢®ª ¨ ¯à¨- |
|
¬¥à®¢. ’ ª ï ¬¥â®¤¨ª ¯à¥¯®¤ ¢ -¨ï ®âà ¦¥- ¢ í⮬ ¨§¤ -¨¨. |
|
ˆ§«®¦¥-¨¥ ¢ ®á-®¢-®¬ ⥪á⥠¢¥¤¥âáï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì-®. •à¥¤- |
|
¯®« £ ¥âáï, çâ® ç¨â â¥«ì §- ª®¬ á í«¥¬¥-â à-®© ¬ ⥬ ⨪®© ¨ ®á- |
|
-®¢ ¬¨ ⥮ਨ ¬-®¦¥á⢠(-¥ª®â®àë¥ - ç «ì-ë¥ á¢¥¤¥-¨ï ᮡà -ë |
|
¢ ¯à¨«®¦¥-¨¨). Žá-®¢-®© ⥪áâ á- ¡¦¥- á-®áª ¬¨-ª®¬¬¥-â à¨ï¬¨, |
|
¬-®£¨¥ ¨§ ª®â®àëå ¤ -ë á 楫ìî á¢ï§ âì ¨§« £ ¥¬ë© äà £¬¥-â â¥- |
|
®à¨¨ á ¤à㣨¬¨ á⠬¨ ¨§ «£¥¡àë ¨ £¥®¬¥âਨ. |
|
‚ ⥪á⥠ᨬ¢®« ¬¨ B ¨ ¤ ®â¬¥ç îâáï ᮮ⢥âá⢥--® - ç «® ¨ |
|
ª®-¥æ ¤®ª § ⥫ìá⢠ã⢥ত¥-¨© (⥮६, ¯à¥¤«®¦¥-¨© ¨ «¥¬¬). ‚ á«ãç ¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ íª¢¨¢ «¥-â-®á⨠A , B ãá«®¢¨© A ¨ B ᨬ-
¢®«ë ) ¨ ( ®¡®§- ç îâ - ç «® ¤®ª § ⥫ìá⢠ᮮ⢥âá⢥--®
á«¥¤á⢨© A ) B ¨ B ) A. Šгаб¨¢®¬ ¢л¤¥«повбп д®а¬г«¨а®¢ª¨
ã⢥ত¥-¨©, â ª¦¥ ®¯à¥¤¥«ï¥¬ë¥ ¯®-ïâ¨ï.
€¢â®à ¡« £®¤ à¥- ᢮¨¬ ãç¨â¥«ï¬ ¨ ª®««¥£ ¬ ¨§ Œƒ“ ¨ Œ”’ˆ, ¢ ¯à®æ¥áá¥ à ¡®âë á ª®â®à묨 ᪫ ¤ë¢ «¨áì ¯®-¨¬ -¨¥ ¬ ⥬ ⨪¨ ¨ áâ¨«ì ¥¥ ¯à¥¯®¤ ¢ -¨ï. ’ ª¦¥ ¢â®à ¢ëà ¦ ¥â ¡« £®¤ à-®áâì ᢮¨¬ á«ãè â¥«ï¬ | ¨-â¥à¥á ª ¯à¥¤¬¥âã ¨ 㢫¥ç¥--®áâì ¬-®£¨å áâ㤥-⮢ Œ”’ˆ ᯮᮡá⢮¢ «¨ à ¡®â¥ - ¤ í⨬ ¨§¤ -¨¥¬.
„®æ¥-â Œ”’ˆ
•. Š®¦¥¢-¨ª®¢
6
‚¢¥¤¥-¨¥
•ãáâì ¤ -ë - âãà «ì-ë¥ ç¨á« m ¨ n. Œ âà¨æ¥© à §¬¥à m £ n ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì 㯮à冷ç¥--ë© - ¡®à ¨§ mn ¤¥©á⢨⥫ì-ëå1 ç¨á¥« | í«¥¬¥-⮢ ¬ âà¨æë, § ¯¨á --ë© ¢ ¢¨¤¥ â ¡«¨æë á m áâப ¬¨
¨ n á⮫¡æ ¬¨.
Œ-®¦¥á⢮ ¬ âà¨æ (á ¤¥©á⢨⥫ì-묨 ç¨á« ¬¨) à §¬¥à m £ n
¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì2 Mm£n. Œ âà¨æë à §¬¥à |
1 £ 1 ¨-®£¤ |
¯®§¢®«¨¬ |
||||||||||
ᥡ¥ ®â®¦¤¥á⢫ïâì á ç¨á« ¬¨.3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Œ âà¨æ A 2 Mm£n á í«¥¬¥-â ¬¨ aij, £¤¥ i = 1; 2; : : : ; m, j = |
||||||||||||
= 1; 2; : : : ; n, ¢ë£«ï¤¨â â ª: |
|
|
|
|
: : : a2n 1 |
|
|
|||||
0a21 |
a22 |
a23 |
|
|
||||||||
a11 |
a12 |
a13 |
: : : a1n |
|
|
|
||||||
A = Ba31 |
a32 |
a33 |
: : : |
a3n C |
: |
(1) |
||||||
B |
. |
|
. |
|
. |
.. |
. |
|
. |
C |
|
|
B |
a |
a |
|
a |
C |
|
|
|||||
Ba |
|
|
|
: : : |
|
C |
|
|
||||
@ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
B m1 |
|
m2 |
|
m3 |
|
|
|
mnC |
|
|
||
Š®à®âª® ¯¨è¥¬ A = (aij). ‘âபã á -®¬¥à®¬ i ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì
a |
|
: a |
= a |
|
a 2 |
: : : ain |
|
. ‘⮫¡¥æ á -®¬¥à®¬ j ¡ã¤¥¬ ®¡®§- - |
|||||||||
|
i ² |
|
i² |
|
¡ |
i1 |
ai |
1j |
1 |
|
¢ |
|
|
|
|
|
|
ç âì |
a²j |
: |
a²j |
|
0a2j |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
= B |
. |
C. ‘âப¨ ¨ á⮫¡æë ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ᮡ®© ¬ â- |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ba |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B mjC |
|
|
|
ai |
|
M1 |
n, a j |
Mm 1. ‘âப¨ |
||
|
|
|
|
|
|
|
1@ |
n A m 1 |
|
|
|||||||
à¨æë à §¬¥à |
£ |
|
¨ |
£ |
|
: |
|
² 2 |
£ |
² 2 |
£ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1ˆ§« £ ¥¬ ï §¤¥áì ⥮à¨ï ®áâ ¥âáï ¡¥§ ¨§¬¥-¥-¨© ¤«ï ¬ âà¨æ á à 樮- «ì- -묨 ¨«¨ ª®¬¯«¥ªá-묨 ç¨á« ¬¨, ¨«¨ ¬ âà¨æ á í«¥¬¥-â ¬¨ ¨§ ¯à®¨§¢®«ì-®£® ¯®«ï K. ˆ-®£¤ а бб¬ ва¨¢ овбп ¬ ва¨жл, н«¥¬¥-в ¬¨ ª®в®але п¢«повбп -¥
ç¨á« , ¤à㣨¥ ®¡ê¥ªâë | - ¯à¨¬¥à ¢¥ªâ®àë, ¨«¨ ¤ ¦¥ -¥ª®â®àë¥ ®â®¡à ¦¥- |
||
-¨ï. ‚áâà¥ç îâáï ¨ â ª - §ë¢ ¥¬ë¥ ¡«®ç-ë¥ ¬ âà¨æë | ¬ âà¨æë, í«¥¬¥-âë |
||
ª®в®але б ¬¨ п¢«повбп ¬ ва¨ж ¬¨. |
|
|
2‚® ¬-®£¨å ª-¨£ å ¤«ï ¬-®¦¥á⢠¬ âà¨æ à §¬¥à m £ n á í«¥¬¥-â ¬¨ ¨§ |
||
¯®«ï (¨«¨ ª®«ìæ ) K ¯à¨-ïâ® ®¡®§- ç¥-¨¥ Matm£n(K). |
||
3Š ª «¨-¥©-®¥ ¯à®áâà -á⢮ ¬-®¦¥á⢮ M |
m£n |
¥áâ¥á⢥--® ®â®¦¤¥á⢫ï¥âáï |
á Rmn (¨§®¬®àä-® Rmn). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
¨ á⮫¡æë ¨-®£¤ |
- §ë¢ îâ |
¢¥ªâ®à ¬¨-áâப ¬¨ |
¨ ¢¥ªâ®à ¬¨- |
||||||
á⮫¡æa1¬¨² . „«ï ¬ âà¨æë (1) ¬®¦-® ¨á¯®«ì§®¢ âì áâà®ç-ãî § ¯¨áì |
|||||||||
0a2 ² |
1 |
|
|
|
|
|
|
¢ ¢ ¢ a²n¢. |
|
A = B |
. |
C, ¨«¨ á⮫¡æ®¢ãî § ¯¨áì A = ¡a²1 |
a²2 |
||||||
Ba |
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
B m ²C |
|
A |
|
|
¯¥à¥á¥ç¥-¨¨ -¥ª®â®àëå |
||||
@ |
|
A |
|
|
|
||||
•«¥¬¥-âë ¬ âà¨æë |
|
, - 室ï騥áï - |
|
|
|
||||
áâப ai1 ²; ai2 ²; : : : ; aik ² (1 6 i1 < i2 < : : : < ik |
6 m) ¨ -¥ª®â®àëå |
||||||||
á⮫¡æ®¢ a²j1 ; a²j2 ; : : : ; a²jl (1 6 j1 < j2 < : : : < jl 6 n), ®¡à §ãîâ
¯®¤¬ âà¨æã (à §¬¥à k £ l):
0ai2j1 |
ai2j2 |
: : : ai2jl 1 |
|
||||
ai1j1 |
ai1j2 |
: : : ai1jl |
|
|
|||
B . |
a |
. |
... |
a |
. |
C |
: |
Ba |
|
: : : |
|
C |
|
||
@ |
|
|
|
|
|
A |
|
B ikj1 |
|
ikj2 |
|
|
ikjl C |
|
|
‚ з бв-®бв¨, бва®ª¨ ¨ бв®«¡жл ¬ ва¨жл п¢«повбп ¯®¤¬ ва¨ж ¬¨.4 ”¨ªá¨à®¢ --ë© í«¥¬¥-â ¬ âà¨æë â ª¦¥ ¬®¦-® áç¨â âì ¯®¤¬ âà¨- 楩 à §¬¥à 1 £ 1.
…᫨ m = n, â® ¬ âà¨æ A 2 Mm£n - §ë¢ ¥âáï ª¢ ¤à â-®©, ç¨á«® n - §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ ª¢ ¤à â-®© ¬ âà¨æë.
‚ ¬ âà¨æ¥ A = (aij) 2 Mm£n í«¥¬¥-âë a11; a22, : : : ; akk, £¤¥ k = minfm; ng, - §ë¢ îâáï ¤¨ £®- «ì-묨, ®-¨ ®¡à §ãîâ £« ¢-ãî
¤¨ £®- «ì.
Š¢ ¤à â- ï ¬ âà¨æ A = (aij) ¯®à浪 n - §ë¢ ¥âáï ¢¥àå-¥-
âà¥ã£®«ì-®©, ¥á«¨ ¤«ï «î¡ëå 1 6 j < i 6 n ¢ë¯®«-¥-® aij = 0.
ˆ- з¥ £®¢®ап, ¬ ва¨ж ¢¥ае-¥ва¥г£®«м- п, ¥б«¨ ¢б¥ ¥¥ н«¥¬¥-вл ¯®¤ £« ¢-®© ¤¨ £®- «мо а ¢-л -г«о. €- «®£¨з-® ®¯а¥¤¥«повбп -¨¦- -¥ва¥г£®«м-л¥ ¬ ва¨жл ª ª ª¢ ¤а в-л¥ ¬ ва¨жл, ¢ ª®в®але ¢б¥ н«¥¬¥-вл - ¤ £« ¢-®© ¤¨ £®- «мо а ¢-л -г«о. Š¢ ¤а в- п ¬ в- а¨ж A = (aij) 2 Mn£n - §ë¢ ¥âáï ¤¨ £®- «ì-®©, ¥á«¨ ¯à¨ i =6 j
¢ë¯®«-¥-® aij = 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, ¢ ¤¨ £®- «ì-®© ¬ âà¨æ¥ ¢á¥ í«¥¬¥-âë ¢-¥ £« ¢-®© ¤¨ £®- «¨ -ã«¥¢ë¥. „¨ £®- «ì-ãî ¬ âà¨æã
4ˆ-®£¤ ¯®¤¬ âà¨æã k £ l - §ë¢ îâ ¬¨-®à®¬ k £ l, å®âï ç é¥ ¬¨-®à®¬ - - §ë¢ îâ ®¯à¥¤¥«¨â¥«ì ª¢ ¤à â-®© ¯®¤¬ âà¨æë.
8
0 |
¸ |
0 |
|
0 |
|
|
01 |
¸2 .¢¢¢¢¢¢. |
0 1, ã ª®â®à®© aii = ¸i ¤«ï i = 1; 2; : : : ; n, ®¡®§- ç ¥¬ |
||||
|
0. 0. ¢¢¢. |
¸.n |
|
). Œ âà¨æ diag(¸; ¸; : : : ; ¸) - §ë¢ ¥âáï ᪠«ïà-®©, |
||
diag(¸ |
; ¸ |
; : : : ; ¸ |
n |
|||
@ |
|
1 |
2 |
A |
|
|
|
¬ âà¨æ |
diag(1; 1; : : : ; 1) | ¥¤¨-¨ç-®©. …¤¨-¨ç-ãî ¬ âà¨æã ¯®- |
||||
à浪 |
n ¡ã¤¥¬ ®¡®§- ç âì En ¨«¨ E, ¥á«¨ ¨§ ª®-⥪áâ ïá¥- ¥¥ ¯®- |
|||||
à冷ª. |
|
|
|
|
||
|
Œ âà¨æë A = (aij) 2 Mm£n ¨ B = (bij) 2 Mk£l áç¨â îâáï |
|||||
à ¢-묨 (¯¨è¥¬ A = B), ¥á«¨ ®-¨ ¨¬¥îâ ®¤¨- ª®¢ë¥ à §¬¥àë, ¨ |
||||||
- |
ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å ¬¥áâ å ã -¨å à ¢-ë¥ í«¥¬¥-âë (â® ¥áâì k = m, |
|||||
l= n ¨ aij = bij ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; m, j = 1; 2; : : : ; n).
‚¤ «м-¥©и¨е а бᬮва¥-¨пе - ¬ ¢бва¥впвбп - ¡®ал, ¨«¨ б¨б- в¥¬л ¬ ва¨ж (¢ з бв-®бв¨, б¨бв¥¬л ¢¥ªв®а®¢-бва®ª ¨ ¢¥ªв®а®¢- бв®«¡ж®¢).5 …б«¨ ¢ ª®-¥з-®© б¨бв¥¬¥ ¬ ва¨ж § д¨ªб¨а®¢ - ¯®а冷ª, ¢ ª®в®а®¬ ®-¨ ¯¥а¥з¨б«повбп, в® £®¢®апв ®¡ г¯®а冷з¥--®© б¨бв¥¬¥ ¬ ва¨ж.
x 1. ‹¨-¥©-ë¥ ®¯¥à 樨 - ¤ ¬ âà¨æ ¬¨, âà -ᯮ-¨à®¢ -¨¥ ¬ âà¨æ
‘«®¦¥-¨¥ ¨ ã¬-®¦¥-¨¥ - |
ç¨á«® |
|
Œ âà¨æë ®¤¨- ª®¢®£® à §¬¥à |
¬®¦-® ᪫ ¤ë¢ âì, ¬ âà¨æã |
|
¬®¦-® ã¬-®¦ âì - ç¨á«®. •â¨ ®¯¥à 樨 ®¯à¥¤¥«¥-ë á ¬ë¬ ¥á- |
||
â¥á⢥--ë¬ ®¡à §®¬ | "¯®ª®¬¯®-¥-â-®". |
||
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. |
•ãáâì ¤ -ë ¬ âà¨æë A; B 2 Mm£n, A = (aij); |
|
B = (bij). Œ âà¨æ |
(cij) 2 Mm£n - §ë¢ ¥âáï á㬬®© ¬ âà¨æ A ¨ B, |
|
¥á«¨ cij = aij + bij |
¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; m, j = 1; 2; : : : ; n. |
|
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. •ãáâì ¤ - ¬ âà¨æ |
A 2 Mm£n, A = (aij), ¨ ç¨á«® |
|
¸ 2 R. Œ âà¨æ (dij) 2 Mm£n - §ë¢ ¥âáï ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥¬ ¬ âà¨æë
5Žâ«¨ç¨¥ á¨á⥬ë (- ¡®à ) ®â ¬-®¦¥á⢠¢ ⮬, çâ® ¢ -¥© ®¤¨- í«¥¬¥-â ¬®¦¥â ᮤ¥à¦ âìáï ¢ -¥áª®«ìª¨å íª§¥¬¯«ïà å. €- «®£¨ç-® ¯®-ïâ¨î ¯®¤¬-®¦¥á⢠¢¢®¤¨âáï ¯®-ï⨥ ¯®¤á¨á⥬ë (¯®¤- ¡®à ). Œ®¦-® £®¢®à¨âì ®¡ ®¯¥à æ¨ïå ®¡ê- ¥¤¨-¥-¨ï ¨ ¯¥à¥á¥ç¥-¨ï á¨á⥬.
9
A - ç¨á«® ¸, ¥á«¨ dij = ¸aij ¤«ï ¢á¥å i = 1; 2; : : : ; m, j = 1; 2; : : : ; n.
‘㬬㠬 âà¨æ A ¨ B ®¡®§- 稬 A + B, ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ ¬ âà¨æë A - ç¨á«® ¸ ®¡®§- 稬 ¸A.
Ž¯¥а ж¨о, б®¯®бв ¢«пойго ¯ а¥ ¬ ва¨ж A ¨ B ¬ âà¨æã A + B,
¡г¤¥¬ - §л¢ вм б«®¦¥-¨¥¬, ®¯¥а ж¨о, б®¯®бв ¢«пойго ¬ ва¨ж¥ A ¯à®¨§¢¥¤¥-¨¥ A - 䨪á¨à®¢ --®¥ ç¨á«® ¸, ¡ã¤¥¬ - §ë¢ âì ã¬-®-
¦¥-¨¥¬ 6 - ç¨á«® ¸.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. Œ âà¨æ ¨§ Mm£n, ¢á¥ í«¥¬¥-âë ª®â®à®© à ¢-ë 0, - §ë¢ ¥âáï -ã«¥¢®© ¬ âà¨æ¥©.
•ã«¥¢ë¥ ¬ âà¨æë ®¡ëç-® ®¡®§- ç îâ O.
Ž¯à¥¤¥«¥-¨¥. Œ âà¨æ (¡1)A - §ë¢ ¥âáï ¯à®â¨¢®¯®«®¦-®© ¤«ï ¬ âà¨æë A.
Œ âà¨æã, ¯à®â¨¢®¯®«®¦-ãî ¤«ï ¬ âà¨æë A, ®¡®§- ç ¥¬ ¡A.
Œ®¦-® ¢¢¥á⨠®¯¥à æ¨î ¢ëç¨â -¨ï, â® ¥áâì £®¢®à¨âì ® à §-®á⨠¬ âà¨æ, ¯®« £ ï A ¡ B = A + (¡B).
•à¥¤«®¦¥-¨¥ 1.1. 8 A; B; C 2 Mm£n, 8 ¸; ¹ 2 R ¢ë¯®«-¥-ë á«¥- ¤ãî騥 ᢮©á⢠:7
1) (A + B) + C = A + (B + C); 2) A + B = B + A;
3) A + O = A (§¤¥áì O 2 Mm£n | -ã«¥¢ ï ¬ âà¨æ );
4) A + (¡A) = O;
5) (¸ + ¹)A = ¸A + ¹A;
6) ¸(A + B) = ¸A + ¸B;
7) 1 ¢ A = A;
8) (¸¹)A = ¸(¹A).
6•®«¥¥ â®ç-®, á«®¦¥-¨¥ | íâ® ®â®¡à ¦¥-¨¥ à : Mm£n £ Mm£n ! Mm£n,
¯à¨ ª®â®à®¬ Ã(A; B) = A + B, |
ã¬-®¦¥-¨¥ - ¸ | ®â®¡à ¦¥-¨¥ ±¸ : Mm£n ! |
! Mm£n, ¯à¨ ª®â®à®¬ ±¸(A) = ¸A. |
|
7‡- ª®¬ë¥ á - ç « ¬¨ «¨-¥©-®© «£¥¡àë «¥£ª® ¯¥à¥ä®à¬ã«¨àãîâ íâ® ¯à¥¤«®- |
|
¦¥-¨¥ á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: ¬-®¦¥á⢮ Mm£n ï¥âáï ¢¥ªâ®à-ë¬ ¯à®áâà -áâ- |
|
¢®¬ ®â-®á¨â¥«ì-® ®¯¥à 権 á«®¦¥-¨ï ¨ ã¬-®¦¥-¨ï - ç¨á«®. |
|
‘¢®©á⢠1) ¨ 2) - §ë¢ îâáï |
áá®æ¨ ⨢-®áâìî ¨ ª®¬¬ãâ ⨢-®áâìî á«®¦¥- |
-¨ï, 5) ¨ 6) | ᢮©á⢠¬¨ «¨-¥©-®áâ¨, ¨«¨ ¤¨áâਡã⨢-®áâ¨.