Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Кинематика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

1.01 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

v const.

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

Направление вектора v

зададим, например, углом (рис. 8), кото-

рый определим из BDE по теореме синусов:

. Отсюда

sin

v1 sin

2v1v2 cos

§6. Примеры движения тела. Методы решения задач

Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики.

1. Равномерное прямолинейное движение тела. При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения r за одинаковые промежутки времени t . Иными словами, скорость v те-

ла не зависит от времени и остаѐтся постоянной в процессе движения:

(6)

При этом зависимость r (t) имеет вид:

r (t) r0 vt,	(7)
где r0 радиус-вектор тела в начальный момент времени	t 0 . В этой

связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное на стр. 7 и стр. 8. Вектор r0 здесь является тем начальным условием, которое поз-

воляет однозначно определить радиус-вектор r тела в любой момент времени в процессе движения.

Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени t координат x и y дви-

жущегося тела:

			x(t) x v			t,
				0	x		(8)
					vyt,		(8)
			y(t) y0		vyt,

где x0 и y0			начальные координаты тела в момент времени t 0,				а vx
и vy	проекции вектора скорости v					на координатные оси Ox и Oy
	y
	y(t)	y
	y0		r(t)
	y0
		r0	x
			x
	O	x0	x(t) x
		Рис. 9				Рис. 10
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
							11

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

соответственно. Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой, к оси абсцисс равен отношению проек-

ций скорости на оси координат: tg vy / vx . Аналитическое уравнение

траектории, т. е. зависимость y(x), легко получить, исключив параметр t из системы уравнений (8):

y(x)	vy	(x x	) y .	(9)

0			0
	vx
Пример 3. Равномерное прямолинейное движение тела на плоско-
сти xOy описывается уравнениями:			x(t) 6 3t, y(t) 4t	(величины

измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени v(t) .

Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения.

Решение. Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим:

x0 6 м, y0 0, vx 3 м/c, vy 4 м/c.

Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение (9): y(x) 43 (x 6), или y(x) 43 x 8.

Модуль v скорости тела определим, зная vx и vy :

v vx2 vy 2 5 м/c.

График зависимости v(t) представлен на рис. 10.

При равномерном прямолинейном движении пройденный путь S численно равен модулю вектора r перемещения тела. Вектор r для такого движения найдѐм из уравнения (7): r r (t) r0 vt . Его мо-

дуль равен: r vt . Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени t , определяется по формулеS vt , т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости v(t) , Этот вывод можно обобщить и на случай неравно-

мерного движения.

В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихо-

ванного на рис. 10: S vt 5 мc 5 c 25 м.

Пример 4. Координаты тела при равномерном прямолинейном дви-

жении на плоскости	xOy	за время t 2 c изменились от начальных
значений x0 5 м, y0	7 м	до значений x 3 м и y 1 м . Найдите

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени.

Решение. Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи:

x x0

3 5

4 м/c,

y y0

1 7

3 м/c.

Тогда модуль скорости

2 vy

5м/c.

Уравнение траектории

y(x) с учѐтом (9) и численных данных задачи имеет вид:

y(x)

(x 5) 7,

или y(x)

Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки A и B ), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11.

Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения vx и vy в общие уравнения

движения (8):					x(t) 5 4t,			y(t) 7 3t. Графически эти зависимости
представлены в виде отрезков прямых на рис. 12.
			y,M					7			y; x			y(t)
											y; x


								5


		7						A				x(t)

							v
								1





								0							2 t ,C
	B											1
												1
				1						3
				1

3		0		5					x,M
						Рис. 11							Рис. 12

Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при t в соответствующих уравнениях x(t) и y(t) , т. е. значениям vx и vy : tg 4, tg 3 .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

2. Неравномерное движение тела. Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причѐм прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается.

Пример 5. Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью v1 10 км/ч . Затем половину оставшегося времени бежал со

скоростью v2 8 км/ч , а потом до конца пути шѐл пешком со скоростью v3 4 км/ч . Определить среднюю скорость движения бегуна.

Решение. Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идѐт о

средней путевой скорости. Разобьѐм весь

путь

на

три участка

S1, S2

S3 . Время движения на каждом участке обозначим соот-

ветственно t1 , t2

и t3 . Средняя скорость бегуна согласно определе-

нию, выраженному формулой (3), будет равна:

S1 S2 S3

ср

t1 t2

По

условию

задачи

S1 S / 2, S2 S3

S / 2 .

Поскольку

S1 v1 t1,

v2 t2 ,

v3 t3 и,

учитывая,

что t2 t3 , найдѐм

время движения на отдельных участках:

t S1

; t

;

2v1

2(v2 v3 )

Подставляя эти значения в выражение для vср , получим:

vср

2v1

(v2 v3 )

7,5 км/ч.

2v1

v2 v3

2(v v )

2(v

v )

Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле vср (v1 v2 ... vn ) / n , где vi скорость движения на i -м участке, n число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости vср . Следует иметь в виду,

что такой расчѐт в общем случае является ошибочным.

Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

3. Равнопеременное движение. Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость v за любые равные

промежутки времени t	изменяется на одинаковую величину	v . В
этом случае ускорение a	тела не зависит от времени и остаѐтся посто-
янным в процессе движения:
	a const.	(10)

(при этом v const, и траектория движения не обязательно прямоли-

нейная).
При равнопеременном движении скорость v				тела изменяется с те-
чением времени по закону
v(t) v0 at,				(11)
где v0 скорость тела в начальный момент времени t 0.
В свою очередь, зависимость r (t)	имеет вид:
r (t) r	v t	at2	.	(12)
r (t) r	v t		.	(12)
0	0	2
		2

где r0 начальный радиус-вектор тела при t 0 . Вновь заметим, что

величины v0 и r0 представляют собой начальные условия, позволяю-

щие в любой момент времени однозначно определить векторы v и r . При координатном способе описания равнопеременного движения

векторным уравнениям (11) и (12) равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчѐта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной:

t 2

(t) v

x(t) x0

v0 xt

0 x

(13)

(14)

(t) v0 y ayt.

y(t) y

0 y

0 ), v0 x

где

x0 и

y0 начальные абсцисса и ордината тела (при t

v0 y

проекции начальной скорости v0

тела на координатные оси, ax

ay проекции вектора ускорения на оси Ox и Oy соответственно. В

принципе формулы (11) и (12) или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с

постоянным ускорением.

В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось Ox, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

которую векторные уравнения (11) и (12) дают:

v v

x x + v

axt2

0 x

Если на промежутке времени от 0 до t

направление движения тела

не изменялось на противоположное, то

разность x x0 текущей и

начальной координат тела совпадает с пройденным путѐм S , следова-

тельно,

S = v

axt2

0 x

Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неѐ

время t , выраженное из уравнения vx v0 x

axt . Это время будет

vx v0 x

Тогда для пути S после несложных преобразований получим

2 v

0 x

2ax

Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени t в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела.

Пример 6. За 2 c прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м , увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень B ).

Решение. Пусть за время t 2 c скорость тела изменилась от v0 до v . Направим координатную ось Ox вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать v v0 at , где

a модуль ускорения тела. По условию v						1	v и, следовательно,
a модуль ускорения тела. По условию v							v и, следовательно,
	0					3
						3
a		2	v	.
a				.
		3 t
За время t тело, движущееся с таким ускорением, пройдѐт путь
S	v2 v2
	0				.
					.
			2a
С учѐтом выражений для v0 и a		получим				S		2	vt . Откуда искомая
С учѐтом выражений для v0 и a		получим				S			vt . Откуда искомая
						3

скорость v 32 St . Подставляя сюда значения S 20 м и t 2 c , найдѐм окончательно v 15 м / с.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движе-
ния является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем
возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае
надо заменить в приведѐнных выше формулах вектор a							на ускорение
свободного падения g,			сообщаемое силой гравитационного притяже-
ния всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три
конкретных случая такого движения.
Пример 7. Движение тела, брошенного вертикально.
Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную ско-
рость v0 , направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивле-
нием воздуха, определите время полѐта тела до момента падения на
землю;	скорость тела в момент падения; максимальную высоту H
подъѐма тела над землѐй; время 1 подъѐма тела на максимальную вы-
соту; путь S, пройденный телом за время полѐта и пе-							y
ремещение тела. Начертите графики зависимости от							y
ремещение тела. Начертите графики зависимости от
времени t вертикальной координаты тела и проекции							H
на вертикальную ось его скорости в процессе полѐта.							H
на вертикальную ось его скорости в процессе полѐта.
Решение. Поскольку движение полностью происходит							g
в вертикальном направлении, то для определения про-							g
в вертикальном направлении, то для определения про-							v0
странственного положения тела достаточно одной ко-							v0
ординатной оси Oy . Направим еѐ вертикально вверх,							O
начало отсчѐта O поместим в точку бросания (рис. 13).							O
начало отсчѐта O поместим в точку бросания (рис. 13).
Начальные условия движения тела: y0 0,					v0 y v0 .		Рис. 13
Проекция ускорения тела на ось				Oy	в отсутствие сопротивления
воздуха равна ay g , т. к. вектор g				направлен вертикально вниз про-
тивоположно направлению координатной оси. Вторые уравнения си-
стем (13) и (14) с учѐтом начальных условий имеют вид:
			vy v0	gt,			(15)
			y v t gt2 .				(16)
			0	2
Пусть при t				2			y 0 и урав-
Пусть при t		тело упало на землю. В этот момент					y 0 и урав-
нение	(16) даѐт:	0 v g 2 . Откуда для				получаем: 0 или
		0	2
			2
2v0	. Значение 0 соответствует начальному моменту бросания
g
тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следо-
вательно, время полѐта тела 2v0 .
			g
2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич
							17

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

Согласно

(15), при

имеем:

vy v0

gt .

Тогда с

учѐтом

найденного значения

получим

vy v0 2v0

v0 .

Таким образом,

скорость тела в момент падения равна по величине начальной скорости

v0 , но направлена вертикально вниз, еѐ проекция на ось Oy

отрица-

тельна.

Пусть при t 1

тело находится в наивысшей точке подъѐма. Это

значит, что

y H и vy

0 . С учѐтом этих значений уравнения (15) и

(16) дают: 0 v g

H v

. Из первого уравнения опреде-

ляем время подъѐма тела

и, подставляя

во второе уравнение,

найдѐм H v0

2 .

Заметим,

что время 1 подъѐма тела на максимальную высоту вдвое

меньше времени полѐта тела:

τ 2τ1 .

Путь S , пройденный телом за время полѐта,

складывается из двух

участков: подъѐма до высшей точки траектории и падения с высшей

точки траектории на поверхность земли. Очевидно, что длины траекто-

рий движения тела на этих участках одинаковы и, значит, S

2H . Пе-

ремещение тела равно нулю, поскольку начальная и конечная точки

траектории тела совпадают.

tg = g

Рис. 14

Рис. 15

Зависимость y(t)

в соответствии с (16) представляет собой квадра-

тичную функцию, графиком которой, как известно, является парабола

(рис. 14). Ветви параболы направлены вниз, т. к. в формуле (16) коэф-

фициент при t 2 отрицателен.

Зависимость vy (t)

является линейной, и еѐ график представляет со-

бой отрезок прямой линии (рис. 15), тангенс угла наклона которой к

оси абсцисс равен коэффициенту при t

в формуле (15): tg g.

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика
Пример 8. Движение тела, брошенного
горизонтально. Тело бросили с высоты H
над поверхностью земли, сообщив ему
начальную скорость v0 , направленную гори-
зонтально (рис. 16). Пренебрегая сопротив-
лением воздуха, определите время полѐта
тела до его падения на землю, дальность l
полѐта тела, скорость v тела в момент паде-	Рис. 16
ния. Выбрав прямоугольную систему координат так, как показано на
рис. 16, запишите уравнение траектории движения тела, начертите гра-
фики зависимости от времени t координат тела и проекций скорости
тела на координатные оси.
Решение. Начало отсчѐта O поместим на поверхности земли под
точкой бросания (рис. 16). Начальные условия движения тела: x0 0,
y0 H , v0x v0 , v0 y 0. Проекции ускорения тела на оси координат при
отсутствии сопротивления воздуха равны: ax 0,	ay g .
Запишем системы уравнений (13) и (14) с учѐтом этих значений:

v ,

x v0t,

(17)

(18)

vy gt,

y H

Пусть при t

тело упало на землю. Это означает, что y 0 , а

x l,

и уравнения системы (18) принимают вид: l v ,

0 H

Решая их, находим:

l v

В свою очередь, система уравнений (17) даѐт:

vx v0 , vy

g . С

учѐтом значения

получим

2gH , и модуль скорости v

будет

равен:

v v 2

v 2 2gH . Направление вектора v определим

с помощью угла (рис. 16): tg vy / vx ( 2gH ) / v0 .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

2013-2014 уч. год, №2, 9 кл. Физика. Кинематика

Уравнение y(x)

траектории движения тела получим, исключив па-

раметр t из системы (18): y(x)

x2 H . Так как

y(x)

представ-

ляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела яв-

ляется участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы

направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера,

представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18.

vy vx

y(t)

x(t)

2gh

Рис. 17

Рис. 18

Пример 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Тело бросили с поверхности

земли с

начальной скоростью

v0 , направленной

под углом к горизонту (рис. 19). Прене-

брегая сопротивлением воздуха, определи-

vy0

те время полѐта тела до его падения на

l vx

землю, дальность l

полѐта тела,

скорость

O vx 0

тела в момент падения на землю, макси-

мальную высоту H

подъѐма тела над зем-

лѐй,

время 1 подъѐма тела на максималь-

Рис. 19

ную высоту. Запишите уравнение траекто-

рии тела.

Решение. Направим оси прямоугольной системы координат, как по-

казано на рис. 19. Начало отсчѐта O поместим в точку бросания. Тогда

начальные условия движения тела таковы:

x0 0, y0

v0 x v0cos ,

v0 y v0 sin . При отсутствии сопротивления воздуха

g .

С учѐтом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид:

v cos ,

x v0 cos t,

(19)

(20)

v0 sin gt

y v

sin t gt .

2013, ЗФТШ МФТИ, Чугунов Алексей Юрьевич

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20157.25 Mб16КГП_презенташка.pdf
#
03.06.2015604.67 Кб21Кинематика дз 1.doc
#
03.06.201555.3 Кб18Кинематика дз 2.doc
#
03.06.2015131.07 Кб15Кинематика дз 3.doc
#
04.09.2019140.79 Кб7Кинематика.docx
#
03.06.20151.01 Mб42Кинематика.pdf
#
27.03.2016246.71 Кб43кинематика_для_Даши_3.pdf
#
03.06.20159.55 Mб185КиЭ двигателя Rotax.doc
#
20.09.2019208.19 Кб3Коды.docx
#
03.06.2015517.12 Кб35Кожевников. Матрицы и СЛУ.pdf
#
26.11.201977.28 Кб2Колок.docx