Groups-3

3 Группы линейных преобразований

3.1Матрицы

Квадратной комплексной матрицей A размера n n называется таблица составленная из n2 комплексных чисел aij 2 C (i, j = 1, . . . , n)

Далее будут использоваться следующие обозначения

AT = kajik, A = kaijk, A† = (AT ) = kajik, I = kδijk

называется следом матрицы A.2 Очевидно,что tr(A · B) = tr(B · A). Важной характери - стикой матрицы A есть ее детерминант:

где "i1,i2,...,in - компоненты антисимметричного тензора n-ого ранга,который однозначно определяется двумя соотношениями

•"1,2,...,n = 1

•"i1,...,ik,...,im,...,in = −"i1,...,im,...,ik,...,in

2Здесь и далее будем применять правила суммирования Эйнштейна:по повторяющимся индексами будем всегда подразумевать суммирование по всей области определения этих индексов.

19

и следовательно могут быть представлены как

Действительно,очевидно,что левая часть этого равенства меняет знак при любой нечетной перестановке индексов {j1, j2, . . . , jn}, так как соответствует детерминантам матриц с переставленными строками,а значит левая часть этого равенства пропорциональна

Формула(11)очевидным образом следует из соотношения(9),а(10)из цепочки равенств

det(AB) = "i1,i2,...,in(ab)i1,1(ab)i2,2 · · · (ab)in,n = "i1,i2,...,in(ai1,j1 bj1,1) · · · (ain,jnbjn,n) = = "i1,i2,...,in(ai1,j1 · · · ain,jn)(bj1,1 · bjn,n) = det(A)"j1,j2,...,jn(bj1,1 · bjn,n) = det(A) det(B)

20

Пользуясь антисимметричным тензором можно легко записать матричные элементы

Последнее соотношение можно доказать подставив в определение детерминанта матрицу

= (−1)P (σJ )+P (σI) = "i1,...,in"j1,...,jn

21

• Матрица S симметрична,если

S = ST ,

то есть данная матрица обладает Z2 симметрией при отражении относительно главной диагонали.

• Матрица A антисимметрична,если

A = −AT ,

следовательно det(A) = det(−I) det(AT ) = (−1)n det(A), то есть в нечетномерном случае матрица A всегда вырождена det(A) = 0.

• Матрица H эрмитова,если

H= H†

исоответственно det(H) = det(H) , то есть det(H) 2 R.

•Матрица O ортогональна,если

O · OT = I,

таким образом det(O)2 = 1, или det(O) = ±1.

• Матрица U унитарна,если

U· U† = I

иdet(U) det(U) = 1 или det(U) = ei', где ' 2 R произвольное вещественное число.

•Четно-мерная матрица V симплектическая,если

V · C · V T = C

где C невырожденная антисимметричная матрица C = −CT .При этом очевидно,

что det(V )2 = 1.

23

3.2Матричные группы и группы линейных преобразований

Определение14 Векторным(линейным)пространством V называют множество объектов(векторов) x,¯ y,¯ . . . ,, которые можно умножать на числа ,β, . . . , и складывать друг с другом,так что результат снова принадлежит тому же множеству векторов

V:

x¯ + βy¯ = z¯ 2 V.

Векторное пространство V называется n-мерным,если в V существует n линейно независимых векторов e¯i (i = 1, 2, . . . , n) таких,что 8x¯ 2 V имеет место разложение x¯ = xie¯i, где набор чисел {xi}, называется координатами вектора x¯:

x¯ = (x1, x2, . . . , xn).

Если координаты xi 2 R вещественные числа,то пространство V является вещественным векторным пространством,если xi 2 C комплексные числа,то пространство V является комплексным векторным пространством.

Определение15 Группа с невырожденными матрицами в качестве элементов и матричным умножением в качестве группового умножения называется матричной группой.

Любая n n матрица T = ktijk определяет линейное преобразование в n-мерном векторном пространстве V:

x¯ = (x1, . . . , xn) ! x¯0 = (x01, . . . , x0n), x0j = xitij, x¯0 = xT¯ .

Таким образом,матричной группе соответствует группа линейных преобразований в пространстве V.Все невырожденные линейные преобразования n-мерного векторного пространства V над полем комплексных чисел C образует группу GL(n, C) (general linear group) (группу инвариантности пространства V),то есть группа GL(n, C) это группа всех невырожденных матриц (n n) с коэффициентами из C.

Определение16 Функция f(¯x, y¯) от двух векторов пространства V называется билинейной формой,если

f( x¯ + βy,¯ z¯) = f(¯x, z¯) + βf(¯y, z¯), f(¯x, y¯ + βz¯) = f(¯x, y¯) + βf(¯x, z¯).

24

Билинейная форма f(¯x, y¯) невырождена,если из условия f(¯x, y¯) = 0, 8y¯ 2 V, следует x¯ = 0.

Определим3примера матричных групп,оставляющих инвариантными три специальные невырожденные билинейные формы:симметричную (¯x, y¯) = (¯y, x¯), антисимметрич -

ную (¯x, Cy¯) = −(¯y, Cx¯) и эрмитовую hx,¯ y¯i = hy,¯ x¯i :3

(x, y) = xiyi, (¯x, Cy¯) = xiCijyj (C = −CT ), hx,¯ y¯i = xi yi

Так как антисимметричная матрица всегда вырождена в нечетно-мерном пространстве и соответствующая билинейная форма будет также вырождена,то антисимметричные билинейные формы мы будем рассматривать только на четно-мерных пространствах.

Преобразования оставляющие инвариантными симметричную (x, y), антисимметрич - ную (¯x, Cy¯) и эрмитову hx,¯ y¯i формы будут реализовываться соответственно ортогональными T = O, симплектическими T = V и унитарными T = U матрицами.Действительно, рассмотрим для примера симплектические преобразования векторов x¯0 = xT¯ и y¯0 = yT¯ . Соответствующие преобразование антисимметричной билинейной формы будет иметь вид

(¯x, Cy¯) ! (¯x0, Cy¯0) = xkVkjCjlymVml = xkVkjCjlVlmT vm = xk(V CV T )kmym = xkCkmym = (¯x, Cy¯)

то есть в случае симплектических преобразований (V CV T = C) антисимметричная форма (¯x, Cy¯) не меняется.Аналогично,рассматриваются случаи симметричных и эрмитовых форм.

Итак,ортогональные,симплектические и унитарные преобразования являются преобразованиями симметрии соответствующих билинейных форм.Отсюда следует,что совокупности ортогональных O(n), симплектических Sp(2n) и унитарных U(n) матриц должны образовывать группы относительно матричного умножения.Групповое свойство следует из того,что два последовательных преобразования из одного и того же класса матриц сохраняют величину соответствующей билинейной формы.Групповое свойство можно проверить и непосредственно.Например,если

V1CV1T = C, V2CV2T = C

3Отметим,что эрмитова форма не билинейна в смысле выше-данного определения.

25

то и их произведение будет симплектической матрицей:

V1V2C(V1V2)T = V1V2CV2T V1T = V1CV1T = C

Аналогично,

O1O2(O1O2)T = O1O2O2T O1T = O1O1T = I, U1U2(U1U2)† = U1U2U2†U1† = U1U1† = I

для любых двух ортогональных матриц O1, O2 и унитарных матриц U1, U2, в силу свойств антиинволютивности транспонирования и эрмитового сопряжения.

Все матричные группы O(n), Sp(n) и U(n) - бесконечномерны ( та как образованы бес - конечным числом матриц данного типа)и являются подгруппами в общей группе GL(n) всех невырожденных преобразований T в n-мерном векторном пространстве V.Если ограничиться только специальными матричными преобразованиями T 2 GL(n), такими что det(T ) = 1,то мы очевидно выделим из группы GL(n) специальную матричную подгруппу SL(n) (название происходит от английских слов"special linear"),которая также бесконечномерна.Аналогично,налагая дополнительные условия det(O) = 1 и det(U) = 1 на элементы групп O(n) и U(n),мы выделим из этих групп подгруппы,которые обозначаются SO(n) и SU(n) соответственно.Заметим,что согласно определениям простой и полупростой групп,группы GL(n), O(n) и U(n) -полупросты,а группы SL(n), SO(n) и SU(n) -просты.

3.3Матричные представления групп.Точные и неточные пред-

ставления

Матричное представление T группы G есть гомоморфизм = T : G ! " группы G в матричную группу ".Другими словами представление T группы G определяет матричную группу ", на которую гомоморфно отображена группа G.Каждому элементу g группы G ставится в соответствие матрица T (g) = ktij(g)k 2 " таким образом,что

T (g1)T (g2) = T (g1g2) $ tik(g1)tkj(g2) = tij(g1g2), T (g−1) = (T (g))−1, T (e) = I. (16)

Представление T называется n-мерным если T (g) (8g 2 G) являются n n матрицами,и эти матрицы определяют линейные преобразования в n-мерном векторном пространстве Vn.Пространство Vn, в котором действует ",называется пространством представления.

26

Представление T группы G называется точным,если T (G) = " изоморфна G, то есть имеется взаимно-однозначное соответствие между элементами " и G.Представление будет неточным,если более чем один элемент группы G представляется одной и той-же матрицей из ".

Пусть представление T группы G неточное и пусть H = Ker(T ) - ядро гомоморфизма

G T ". Тогда T будет точным представлением факторгруппы G/H.

!

Пример. Пусть G = S3, а представление T группы перестановок S3 задано в группу двух чисел " = {1, −1} по следующим правилам

T (e) = T (σ2σ1) = T (σ1σ2) = 1, T (σ1) = T (σ2) = T (σ1σ2σ1) = −1

Ядром этого представления является инвариантная подгруппа всех четных перестановок H, а факторгруппа S3/H состоит из двух элементов,смежных классов {E, K}.При этом, очевидно,что представление T заданное на этих смежных классах по правилам T (E) = 1, T (K) = −1,является точным.

3.4Эквивалентные представления

Пусть Vn - n-мерное векторное пространство и линейное преобразование T переводит вектор x¯ 2 Vn в вектор y¯ 2 Vn:

y¯ = xT¯ ) yi = xjtji,

где {xi}, {yi} - координаты векторов x¯, y¯ в базисе {e¯i}.Сделаем линейное преобразование базиса в пространстве Vn с помощью невырожденной матрицы A = kaijk : e¯0i = aije¯j. При этом координаты двух векторов x¯ и y¯ преобразуются согласно правилам xj = x0iaij, yj = yi0aij, что следует из цепочки равенств :

x¯ = xje¯j = x0ie¯0i = x0iaije¯j

Тогда матрица T линейного преобразования переводящего вектор x¯ в вектор y¯, транс -

формируется в матрицу ˜ −1,переводящую эти же вектора,но представленные в

T = AT A

новых координатах

27

Пусть представление T группы G в " реализовано матрицами T (g) = ktij(g)k 8g 2 G.

3.5Характер представления

Определим функцию на группе G, зависящую от представления T

χT (g) = tr(T (g)) (8g 2 G)

которая называется характером представления T .Из вышесказанного следует,что харак-

теры для эквивалентных представлений и ˜ совпадают: .Кроме того,элементы

T T χT = χ ˜

T

g1 и g2 из одного и того же класса сопряженности( 9g 2 G такой,что g1 = gg2g−1) име - ют одно и то же значение характера χT (g1) = χT (g2) и χT (e) = n, где n - размерность представления T , а e -единичный элемент группы G.

3.6Прямое произведение и прямая сумма представлений

Рассмотрим два матричных представления T (1) и T (2) группы G,одно из которых явля-

28