Lections_short_2012

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 06.09.2012

Примерный план лекции №1 и основные определения.

Темы: Теория поведения потребителя: бюджетное ограничение и бюджетное множество; предпочтения потребителя; функция полезности.

План

1.Бюджетное множество и его свойства, бюджетная линия.

2.Предпочтения потребителя. Кривая безразличия. Предельная норма замещения. Функция полезности.

Основные понятия и определения 1) Бюджетное ограничение и бюджетная линия

x (x1 ,..., xN ) - потребительский набор (корзина), где xi объем потребления i -го блага, i 1, N .

Бюджетное ограничение описывает множество доступных потребителю наборов

альтернативные издержки приобретения товара 1, т.е. как много товара 2 надо отдать чтобы потребить больше товара 1 или сколько стоит (с экономической точки зрения) иметь одну единицу первого блага.

линию, то цену одного блага можно пронормировать, например, считать равной единице и измерять относительно нее цену другого блага и доход. Благо, цена которого приравнена к 1, называют благом-измерителем.

2) Предпочтения

Если для потребителя набор x не хуже, чем набор y , то будем говорить, что данный потребитель нестрого предпочитает набор x набору y и записывать x ~ y .

1

Предпочтения, удовлетворяющие аксиомам полноты и транзитивности,

называются рациональными.

Аксиома строгой монотонности. Для любых наборов x, y X , если x y и x y

(т.е. в наборе x каждого блага не меньше, чем в наборе y , и хотя бы одного строго больше), то x y .

эквивалентных набору x : {y : y ~ x}. Если предпочтения рациональны, то кривые безразличия не пересекаются.

Предельная норма замещения второго блага первым (MRS12 (x1 , x2 )) –

максимальное количество второго блага, от которого готов отказаться потребитель, чтобы увеличить потребление первого блага на малую величину; это наклон кривой безразличия в точке (x1 , x2 ) по абсолютной величине.

Функцией полезности, представляющей предпочтения ~ , определенные на множестве X, называют функцию u: X→R такую, что для любых наборов x и y из

X соотношение x ~ y имеет место тогда и только тогда, когда u(x) u( y) .

Утверждение: Если предпочтения представимы с помощью функции полезности, то эти предпочтения являются рациональными.

2

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 08.11.2012, 15.11.2012

Примерный план лекций №10-11 и основные определения. Темы: Стратегические взаимодействия: олигополия План

1.Модель Курно: свойства равновесия.

2.Модель Штакельберга: характеристика равновесия, сравнение с моделью Курно.

3.Модель Бертрана.

4.Кооперативное поведение: модель картеля.

Основные определения

1. Модель Курно: свойства равновесия.

Утверждение: Пусть предельные издержки постоянны и совпадают у всех производителей, т.е. c j ( y j ) c для любого j 1,...,J , кроме того, p(0) c и p (Y ) 0 для любого Y 0 , где Y - совокупный выпуск отрасли. Тогда, если равновесие существует, то оно симметрично, т.е. все фирмы выпускают одинаковое количество продукции, причем совокупный выпуск отрасли положителен. Другими словами, совокупный выпуск отрасли в равновесии Курно описывается

2. Модель дуополии Штакельберга.

Фирмы последовательно выбирают объемы выпуска. Пусть первая фирма выбирает объем

Графически оптимальный выпуск лидера характеризуется касанием его изопрофиты кривой реакции ведомого.

Утверждение: Пусть обратная функция спроса на продукцию отрасли является убывающей и в равновесии фирмы производят положительное количество продукции. Тогда ведомая фирма в равновесии в модели Штакельберга производит не больше, чем в равновесии в модели Курно.

3. Модель дуополии Бертрана.

Фирмы одновременно назначают цены. Пусть фирмы имеют одинаковые функции издержек

1

Утверждение:: Состояние, в котором оба олигополиста назначают цену на уровне предельных издержек, т.е. p1* p2* c является равновесием (по Нэшу) в модели Бертрана, причем данное равновесие единственно.

4. Картель.

Картель - соглашение олигополистов относительно объемов выпуска (при условии возможности перераспределения прибыли). Таким образом задача картеля заключается в установлении таких

где Y y1 ... yJ .

Если все фирмы имеют постоянные предельные (и средние) издержки, то совокупный выпуск отрасли будет равен монопольному, когда предельные издержки монополиста равны минимальным предельным издержкам среди всех фирм.

Графически (в пространстве выпусков) равновесные уровни выпусков характеризуются касанием изопрофит фирм.

Утверждение (неустойчивость картеля): Пусть в картеле все фирмы производят продукцию в

повысить свою прибыль, увеличив выпуск.

Пример 1: Пусть в отрасли действуют две фирмы. Функции издержек: c1 ( y1 ) 2 y1 , c2 ( y2 ) 4 y2 . Обратная функция совокупного спроса: p(Y ) 12 Y . Равновесные выпуски в модели картеля: y1 5 , y2 0 .

Пример 2. Пусть в отрасли действуют две фирмы. Функции издержек: c1 ( y1 ) 2 y1 , c2 ( y2 ) 2 y2 . Обратная функция совокупного спроса: p(Y ) 12 Y . В равновесии картеля: y1 y2 5 .

;

2

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 22.11.2012

Примерный план лекции №12 и основные определения. Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности План

1.Денежные лотереи и представление предпочтений на лотереях функцией ожидаемой полезности; единственность функции ожидаемой полезности с точностью до положительного линейного преобразования.

2.Отношение к риску; денежный эквивалент лотереи и премия за риск.

3.Модель спроса на рисковый актив или задача формирования оптимального портфеля инвестиций.

i 1

Определение. Предпочтения потребителя представимы функцией ожидаемой полезности, если каждому исходу xn можно присвоить число u(xn ) таким образом, что для любых двух лотерей

Функция U, определенная на лотереях, называется функцией ожидаемой полезности или функцией полезности Неймана-Моргенштерна (von Neumann-Morgenstern).

Функцию u(x) , определенную на денежных суммах, принято называть элементарной функцией

N

L ( 1 ,.., N ) для него не лучше ожидаемого выигрыша этой лотереи, i xi , полученного

i 1

с определенностью. Если потребитель строго предпочитает ожидаемый выигрыш самой лотерее, то говорят, что он строго несклонен к риску или рискофоб.

Будем говорить, что индивид нейтрален к риску, если он безразличен между лотереей и ее ожидаемым выигрышем, полученным с определенностью.

Будем говорить, что индивид склонен к риску, если предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, полученному с определенностью. Если потребитель строго предпочитает лотерею ее ожидаемому выигрышу, то говорят, что он строго склонен к риску или рискофил.

1

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 22.11.2012

Если предпочтения индивида представимы с помощью функции ожидаемой полезности, то несклонность к риску означает вогнутость элементарной функции полезности u(x) (для

рискофоба – строгую вогнутость); склонность к риску эквивалентна выпуклости элементарной функции полезности u(x) (для рискофила – строгой выпуклости); у нейтрального к риску

i 1

выигрыша).

3. Задача формирования оптимального портфеля инвестиций (из двух активов: рискового и безрискового). Пусть индивид-рискофоб решает, как ему распределить свое богатство w 0 между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 рубль в этот актив, он получит c 1 рублей. Вложив 1 рубль во второй актив, можно получить a с вероятностью и b с вероятностью (1 ) , где a c , b c , (0, 1) . Будем считать, что предпочтения потребителя

представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией

индивид будет иметь сумму денег cx1 ax2 cw x2 (a c) , а в «плохом» его богатство составит

U u(cw x2 (a c)) (1 )u(cw x2 (b c)) max .

0 x2 w

Условия первого порядка этой задачи (необходимые и достаточные в силу строгой вогнутости функции полезности рискофоба):

Утверждение: Для индивида-рискофоба условие a (1 )b c является необходимым и достаточным условием положительности спроса на рисковый актив.

2

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 29.11.2012

Примерный план лекции №13 и основные определения. Темы: Выбор потребителя в условиях неопределенности План

1.Описание модели спроса на рисковый актив в терминах контингентных благ.

2.Модель спроса на страховку.

Основные определения

1. Назовем контингентным благом богатство индивида в случае реализации состояния мира n . Тогда потребитель выбирает между наборами контингентных благ x (x1,..., xN ) , где xn - это

богатство индивида в состоянии мира n , n 1, N . Предпочтения на наборах контингентных благ описываются (обобщенной) функцией ожидаемой полезности: набор контингентных благ

описывается бюджетным ограничением.

В случае модели формирования портфеля инвестиций (из рискового и безрискового активов, см. описание в плане лекции 12) есть два состояния мира и, соответственно, два контингентных

доступен набор контингентных благ, соответствующий ситуации, когда он не рискует, т.е. все средства вкладывает в безрисковый актив (точка первоначального запаса). В этом случае не зависимо от того, какое состояние мира наступит доход индивида составит ya yb cw , т.е.

набор контингентных благ ( yb cw, ya cw) соответствует случаю x2 0 . Поскольку по условию вложения в рисковый актив должны удовлетворять ограничению 0 x2 w , то другой крайний случай, x2 w , соответствует набору контингентных благ ( yb bw, ya aw) .

Кривая безразличия по определению – это множество наборов контингентных благ, дающих

Если индивид является рискофобом, то элементарная функция полезности (а, следовательно, и функция ожидаемой полезности) строго вогнута, а значит предпочтения выпуклы и множество наборов не хуже данного является выпуклым.

1

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 29.11.2012

Тогда задачу индивида можно представить в виде задачи выбора наилучшего из доступных набора контингентных благ:

На левом рисунке изображен оптимальный выбор рискофоба при a (1 )b c , на правом – при a (1 )b c .

2. Модель спроса на страховку.

Рассмотрим индивида-рискофоба, предпочтения которого описываются ожидаемой функцией полезности с элементарной функцией полезности u(x) , где u (x) 0 , u (x) 0 . Пусть богатство

данного агента равно w , однако существует возможность потери части этого богатства L , 0 L w . Вероятность потери равна , где (0, 1) . Нейтральная к риску, не имеющая операционных издержек, страховая компания предлагает страховку по цене за каждую единицу страхового покрытия. Пусть y 0 - это количество страховки, покупаемой индивидом,

т.е. величина страхового покрытия (иногда вводится дополнительное предположение, что страховое покрытие не может быть больше потерь, т.е. y L ):

Задача индивида: max u(w L y y) (1 )u(w y)

y 0

2

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 29.11.2012

В оптимальной точке ~ выполнены условия первого порядка (необходимые и достаточные, y

поскольку целевая функция строго вогнута):

прибыль страховой компании равна нулю), то индивид-рискофоб страхуется полностью, т.е.

~ . y L

Утверждение: Если страховка не является актуарно справедливой, т.е. (в этом случае ожидаемая прибыль страховой компании положительна), то индивид-рискофоб (с

дифференцируемой элементарной функцией полезности) застрахуется на сумму, меньшую

потерь, т.е. ~ . y L

3

МФТИ, 2012-2013 уч.г., 13.09.2012

Примерный план лекции №2 и основные определения.

Темы: Теория поведения потребителя: предпочтения потребителя и функция полезности; задача потребителя.

План

1.Функция полезности: единственность функции полезности с точностью до положительного монотонного преобразования; предельная норма замещения и предельная полезность.

2.Примеры предпочтений и функции полезности (субституты, комплементы, антиблаго, точка насыщения, Кобб-Дуглас, квазилинейные предпочтения).

3.Задача потребителя: формулировка и обсуждение структуры. Характеристика решения.

Основные определения

1. Утверждение: Функция полезности определена с точностью до положительного монотонного преобразования, т.е. если f : R R строго возрастающая функция и u : X R

функция полезности, представляющая отношение предпочтения ~ на множестве X , то функция v : X R , где v x f u x , также является функцией полезности, представляющей отношения предпочтения ~ .

Кривая безразличия – множество наборов (в пространстве благ), дающих один и тот уже уровень полезности (линия уровня функции полезности в пространстве благ): u(x1 , x2 ) const .

Предельная норма замещения – наклон кривой безразличия (по абсолютной величине).

предельная полезность блага i .

2. Примеры предпочтений и функции полезности:

1) Субституты. Два блага называются субститутами, если потребитель готов заместить одно

заместить единиц второго блага единицами первого блага. Кривые безразличия – прямые с наклоном равным / , предельная норма замещения всюду постоянна и равна MRS12 / .

2) Комплементарные блага – это блага всегда потребляемые вместе в постоянной пропорции.

Функция полезности имеет вид: u(x , x ) min x1 , x2 , , 0 (или любое ее положительное

1 2

монотонное преобразование), тогда единиц первого блага потребляется с единицами второго блага.

3) Антиблаго – увеличение потребления этого блага ухудшает положение потребителя. Кривые безразличия имеют положительный наклон. Пример функции полезности, где второй товар является антиблагом: u(x1 , x2 ) x1 x2 .

1