FunkAn

“произвольной” функции u : - = (¡p=2; p=2) 3 x 7!u(x) 2 C по гармоникам

Тригонометрический ряд (3.3) называется рядом Фурье функции u (по системе функций (3.1)). Следует иметь ввиду, что ряд Фурье какой-то, взятой наугад непрерывной функции u (а такая, как

правило, нигде не будет дифференцируема), почти наверняка будет расходиться в заданной точке x0: Первый результат о сходимости рядов Фурье получил в 1829г. 24-летний Л. Дирихле (1805-1859): если функция u кусочно-непрерывна на [¡p=2; p=2] , а число ее интервалов монотонности конечно, то в каждой точке x0 2 [¡p=2; p=2] ряд Фурье функции u сходится к среднему арифметическому предельных значений функции u в этой точке (и потому к значению функции u в точке ее непрерывности).

Существенно более сильный результат К. Жордана21, известный как теорема Дирихле–Жордана, был опубликован в 1881г. А именно, справедлива

Теорема 3.1 Если функция u , кусочно-непрерывная на [¡p=2; p=2]; имеет ограниченную вариацию22, то ее ряд Фурье сходится к ней равномерно на каждом компакте, не содержащем точек ее разрыва, а в каждой точке разрыва ряд Фурье функции u сходится к среднему арифметическому предельных значений функции u в этой точке.

Хотя коэффициенты Фурье (3.1) определены для любой функции u 2 L1 , ряд Фурье для таких функций может расходиться всюду! Первый такой пример привел А.Н. Колмогоров, предварительно в 1922г. (в 19-летнем возрасте) построив ставший сразу мировой математической сенсацией пример

Эта теорема (она является непосредственным следствием приведенных ниже теорем 3.3 и 3.4) выявляет прозрачный геометрический смысл коэффициентов Фурье. Действительно, рассмотрим в L2(-) £ L2(-) комплекснозначный функционал

Z p=2

¡p=2

где v¹ – функция, комплексно-сопряженная к v . Этот функционал определяет в пространстве L2(-) скалярное произведение23, относительно которого (как легко видеть) функции (3.4) ортонормированы, т.е.

21Камилл Жордан (1838-1922) французский математик, известный, прежде всего, благодаря своим фундаментальным работам в теории групп. С его именем связаны также теоремы о плоской без самопересечений замкнутой кривой, разбивающей плоскость на две связные компоненты; теорема о приведении матрицы к жордановой нормальной форме.

22Такие функции представимы в виде разности двух монотонных (неубывающих) функций. Они имеют почти всюду

11

Поэтому, выбрав N ¸ jmj и умножив скалярно функцию (u ¡ P akek) на em , получим

jkj·N

Таким образом, формула (3.1) означает, что коэффициент ak есть алгебраическое значение ортогональной проекции вектора u 2 L2(-) на вектор ek .

После того как стал ясен геометрический смысл коэффициентов Фурье, может показаться удивительным, что, как пишет Лузин, “ни тонкий аналитический ум д’Аламбера, ни творческие усилия Эйлера, Д. Бернулли и Лагранжа не смогли решить этого труднейшего вопроса”, т.е. вопроса о формулах для коэффициентов ak в (3.3). Однако не следует забывать, что указанная выше геометрическая прозрачность формул (3.7) стала возможной лишь благодаря тому, что формулы Фурье (3.1) поставили в повестку дня вопросы, решение которых позволило придать точный смысл таким словам, как “функция”, “представление функции тригонометрическим рядом” и многое, многое другое.

Определение 3.1 Говорят, что fekgk¸1 есть ортонормированная система векторов гильбертова пространства H; если (ek; ej) = ±kj (где ±kj символ Кронекера).

Лемма 3.1 Пусть fekgk¸1 ортонормированная система в H: Тогда для любого вектора u 2 H

справедливо неравенство Бесселя: P c2k · kuk2; где ck = (u; ek):

k¸1

Определение 3.2 Ортонормированная система fekgk¸1 в гильбертовом пространстве H называется полной, если лишь нулевой вектор 0 2 H ортогонален ко всем элементам этой системы.

Теорема 3.3 Пусть fekgk¸1 полная ортонормированная система в H: Тогда для любого вектора u 2 H справедливо разложение u = P (u; ek)ek; причем имеет место равенство Парсеваля:

k¸1

Лемма 3.2 Ортонормированная система fekgk¸1 полна в гильбертовом пространстве H тогда и только тогда, когда линейные комбинации этой системы образуют всюду плотное множество в H; т.е. для любого x 2 H существует последовательность линейных комбинаций xn = Paknek этой системы, такая, что kx ¡ xnk ! 0 при n ! 1:

12

~ Если ортонормированная система fekgk¸1 полна, то (в силу теоремы 3.3) для любого вектора u 2 H

имеем: lim ku ¡ Pn (u; ek)ekk = 0: Обратно, пусть линейные комбинации этой системы образуют всюду

n!1 k=1

плотное множество в H; а (x; ek) = 0 для любого k ¸ 1: Тогда ортогональное дополнение к x содержит все линейные комбинации этой системы, а также (в силу непрерывности скалярного произведения) их замыкание, т.е. все пространство H и, в частности, элемент x . Значит, (x; x) = 0 и потому x = 0: ¤

~ Согласно следствию 2.1, для любой функции u 2 L2(¡p=2; p=2) и любого " > 0 существует последовательность функций un 2 C01(¡p=2; p=2) и число N; такие, что ku ¡ unk < " при n > N: С

другой стороны, в силу теоремы 3.1 (Дирихле–Жордана), для функции un существует такая линейная

Устремим p к бесконечности и перейдем формально в (3.2) к пределу. В результате для “произвольной” функции u : R ! C получим (формальное!) выражение

ue§ аналитически продолжается в комплексную полуплоскость C¨ .

Ниже в теореме 3.5 даны достаточные условия, при которых формальное выражение (3.9) приобретает точный смысл одной из важнейших формул в анализе. Дадим предварительно несколько определений.

13

Замечание 3.1 Определение 3.11 оправдано тем, что функционал (3.11) определяет непрерывную

Определение 3.5 Пусть p ¸ 1 , a k 2 Z . Говорят, что u 2 Lp(-) есть элемент пространства Соболева W p;k(-) , если все производные по Соболеву @®u , где j®j · k , принадлежат Lp(-) . Сходимость в пространстве W p;k характеризуется нормой

®j·k

т.е. uj ! u в W p;k при j ! 1 , если ku ¡ ujkW p;k ! 0 при j ! 1 .

аue = Fu – преобразование Фурье функции u .

~Отметим, что функции u непрерывна, в силу леммы 3.4. Из теоремы Фубини следует, что

обратным преобразованием Фурье, поскольку u = F¡1Fu , если u 2 W 1;n(Rn) , a Fu 2 L1(R) . Определим пространство Лорана Шварца, а именно, так называемое пространство быстро убываю-

щих функций S = S (Rn) ½ W 1;n(Rn) . В пространстве S (см. ниже теорему 3.6) преобразования F¡1 и F являются автоморфизмами (т.е. линейными обращаемыми отображениями S на себя).

24Лемма 3.4 простой частный случай теорем вложения Соболева. Отметим, что вложение W p;k(Rn) ½ C(Rn) , справедливое при n=p < k , нарушается, если p > 1 , а n=p = k .

14

Определение 3.6 Элементами пространства S(Rn) являются функции u 2 C1(Rn) , которые удо-

При этом говорят, что последовательность функций uj 2 S сходится в S к u ( uj ! u в S ) при

Теорема 3.6 Отображения F : S ! S и F¡1 : S ! S – это взаимообратные и непрерывные автоморфизмы пространства S .

Лемма 3.6 (равенство Парсеваля). Если f , g 2 S(Rn) , то

ZZ

f: S 3 ge 7! f(x)ge(x)dx; fe: S 3 g 7! fe(»)g(»)d»:

Всвязи с этим, дадим (следуя Л. Шварцу) два определения.

15

Определение 3.7 S0(Rn) – это пространство медленно растущих обобщенных функций, т.е. пространство линейных непрерывных функционалов f : S(Rn) ! C , снабженное операцией дифференцирования h@®f; 'i = (¡1)j®jhf; @®'i , где ® 2 Zn+ , и операцией умножения haf; 'i = hf; a'i на любую

медленно растущую функцию a , т.е. такую функцию a 2 C1(Rn) , для которой выполнено условие:

8® 9C® < 1 9N® < 1 , что j@®a(x)j · C®(1 + jxj)N® .

Определение 3.8 Пусть f 2 S0; g 2 S0 . Тогда формулы

определяют обобщенные функции fe = Ff 2 S0 и F¡1g 2 S0 , которые называются соответственно

преобразованием Фурье обобщенной функции f 2 S0 и обратным преобразованием Фурье обобщенной функции g 2 S0 .

Пример 3.2 Ясно, что ± 2 S0; 1 2 S0 . Найдем F± и F1 . Имеем:

ZZ

Изучение уравнений математической физики естественным образом приводит к семейству банаховых

Здесь @®u – обобщенная производная функции u , т.е.

ZZ

Функцию v , удовлетворяющую условиям (4.1), С.Л. Соболев назвал слабой (weak) производной порядка

®функции u . Возможно по этой причине в обозначении пространств Соболева возникла буква W . При p = 2 пространства W p;m являются гильбертовыми. Они обозначаются (по-видимому, в честь

Гильберта) через Hm . Роль этих пространств необычайно велика в современном анализе. Представим элементы теории пространств Hs в виде серии определений, задач и замечаний.

Задача 4.1 Используя формулу (18.1), проверить, что введенное выше для m 2 Z+ пространство Hm(Rn) – это пространство тех u 2 S0(Rn) , для которых (1 + j»j)m(F u)(») 2 L2(Rn) .

Определение 4.1 Пусть s 2 R . Пространство Hs = Hs(Rn) состоит из тех u 2 S0 = S0(Rn) , для которых конечна норма

Задача 4.2 Проверить, что S ½ H® ½ H¯ ½ S0 , если ® > ¯ , причем операторы вложения непрерывны, а вкладываемые пространства плотны в объемлющих.

Теорема 4.1 (вложения Соболева) . Если s > n=2+m , то справедливо вложение Hs(Rn) ½ Cbm(Rn) ,

16

~ Надо доказать: 8u 2 Hs(Rn) 9v 2 Cbm(Rn); v = u п.в., причем kvk(m) · Ckuks . Достаточно

Задача 4.4 Проверить, что ± 2 Hs(Rn) при s < ¡n=2 .

Теорема 4.2 (Соболева о следаx) Пусть s > 1=2 . Тогда для любой (вообще говоря, разрывной) функции u 2 Hs(Rn) определен¯ след °u 2 Hs¡1=2(Rn¡1) , который в случае непрерывности функции u совпадает с ограничением u¯xn=0 функции u на гиперповерхность xn = 0 . При этом 9C < 1 , что

где A(»0) = R h»i¡2sd»n · Csh»0i¡s+1=2 , а Cs = C R (1 + z2)¡sdz < 1 при s > 1=2 ; ( z = »n(1 + j»0j2)¡1=2 ).

Поэтому k°uk0s¡1=2 · Ckuks для u 2 S . Если u 2 Hs(Rn) и lim kun ¡ uks = 0 , где un 2 S , то

n!1

9w 2 Hs¡1=2(Rn¡1) , что k°un ¡ wk0s¡1=2 ! 0 ; при этом w не зависит от выбора последовательности fung . По определению °u = w ; при этом справедлива оценка (4.5). ¤

где нижняя грань берется по всем продолжениям Lf 2 Hs(Rn) функции f 2 Hs(-) (т.е. P-Lf = f ). Если из контекста ясно, что речь идет о функции f 2 Hs(-) , то наряду с kfks;- будем писать kfks .

Определение 4.4 Пространство Hs(¡) , где ¡ = @- – гладкая граница области - b Rn , есть пополнение пространства C1(¡) по норме

точки на внутренней нормали к ¡ . Если из контекста ясно, что речь идет о функции ½ 2 Hs(¡) , то наряду с k½k0s;¡ будем писать также k½k0s .

17

Замечание 4.1 Можно показать, что определение 4.4 пространства Hs(¡) корректно, т.е. не зависит от выбора покрытия, разбиения единицы и диффеоморфизмов ¾k .

¯

Задача 4.5 Пусть s > 1=2 . Показать, что оператор C(-) \ Hs(-) 3 u 7!u¯¡ 2 C(¡) продолжается до непрерывного оператора ° : Hs(-) ! Hs¡1=2(¡) .

Замечание 4.2 Функция °u 2 Hs¡1=2(¡) , где s > 1=2 , называется граничным значением функции u 2 Hs(-) . Сравнительно нетрудно показать, что Hs¡1=2(¡) , где s > 1=2 , является пространством граничных значений функций из Hs(-) . Условие s > 1=2 существенно, как показывает пример функции u 2 H1=2(R+) , определённой в задаче 4.3.

Замечание 4.3 Известная теорема Арцела утверждает, что если семейство ffng функций fn 2 C(-) , заданных в - b Rn , равномерно ограниченно ( supn kfnk < 1 ) и равностепенно непрерывно ( 8² > 0 9± > 0 , такое, что jfn(x) ¡ fn(y)j < ² 8n , если jx ¡ yj < ± ), то из этой последовательности можно выбрать сходящуюся в C(-) подпоследовательность. С помощью этой теоремы можно доказать, что справедлива

Теорема 4.3 (о компактности вложения) Пусть - b Rn , а последовательность fung функций

un 2 Hs(-) (соотв. un 2 Hs(@-) ) такова, что kunks · 1 (соотв. kunk0s · 1 ). Тогда из этой последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в Ht(-) (соотв. в Ht(@-) ), если

t < s .

§ 5 Псевдодифференциальные операторы. Эллиптические задачи (основные факты)

Класс ПДО – шире класса дифференциальных операторов. Он включает в себя операторы вида

Z

®j·m

Однако даже не конкретные важные примеры определяют то исключительное место в современной математической физике, которое занимает (оформившаяся в середине 60-х годов теория ПДО. Дело в том, что ПДО являются мощным и удобным средством изучения линейных дифференциальных операторов (в первую очередь, эллиптических).

Прежде чем привести соответствующие определения и результаты, поясним вкратце на простом