Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika

ния движения для макроскопических тел. Не так обстоит дело, когда речь идет об атомных явлениях — явлениях, происходящих с частицами очень малой массы в очень малых объемах простран­ ства. Рассмотрим, например, движение электрона в атоме водо­ рода. Масса электрона т = 9,11 -Ю'28 г. Ошибка в положении электрона бх во всяком случае не должна превышать размеры атома, т. е. должно быть 6х <с 10"8 см. Но тогда из соотношения неопределенностей получаем

б у > -Ш = 9,ll'6 10-°-2 7 10-8 ~ 7 1 1 0 8 С М / С -

Эта величина не меньше, а даже больше самой скорости электрона в атоме, которая по порядку величины равна 108 см/с. При таком положении классическая картина движения теряет всякий смысл.

§6. О смысле производной и интеграла в приложениях

кфизическим вопросам

1.Процесс предельного перехода (3.4), с помощью которого определяется производная, называется дифференцированием. Поня­ тие производной широко используется в механике и во всех других разделах физики. Именно задача об определении скорости произ­ вольного движения привела к этому понятию Ньютона, который,

тике следует смотреть как на единое целое, а не как на отношение двух «бесконечно малых» приращений dx и dt. Смысл производной

dx

x = -jj точно определен соотношением (3.4). Сначала надо образо­

вать отношение конечных приращений ^ , предполагая, что At

не равно нулю. Затем путем преобразований этого отношения или каким-либо иным способом следует совершить переход к пределу. Но ни в коем случае нельзя представлять себе, что сначала совершен какой-то предельный переход от Ах н At к «бесконечно малым» величинам dx и dt, называемым дифференциалами функции х и

развития дифференциального исчисления. Однако он не совместим с требованием математической ясности понятий, да и вообще ли­ шен смысла. Правда, можно так определить дифференциалы dx и

dt, что их отношение сделается равным производной х. В матема­ тике дифференциал dt определяется как произвольное приращение

аргумента t, а дифференциал функции dx — с помощью соотноше­ ния dx — xdt. Но теперь в утверждении, что производная есть отношение двух конечных величин dx и dt, нет ничего удивитель­ ного, это — простая тавтология, иной способ выражения. Первич­ ным, по-прежнему, является понятие производной, а не диффе­ ренциала.

Однако в приложениях математики к физике надо считаться с тем, что физические величины получаются в конце концов в ре­ зультате конкретных измерений, а все измерения сопровождаются ошибками и вносят искажения в естественный ход явлений. Это обстоятельство, строго говоря, делает невозможным предельный переход -У 0, Ах 0, вводимый в математике при определении производной. Допустим, например, что измеряется скорость дви­ жущейся пули в воздухе. Задача сводится к измерению расстояния Ал: и промежутка времени At, за который пуля проходит это рас­ стояние. Если время At взять очень большим, то за это время ско­

скорости пули в рассматриваемый момент времени. Уменьшая

изменяться, если отвлечься от случайных ошибок, сопровождаю­ щих каждое измерение. Дальнейшее уменьшение At бессмысленно. Оно может только ухудшить дело, так как при дальнейшем умень­ шении А^ отношение ~ начинает изменяться снова и притом все

более и более нерегулярно. Оно принимает различные значения от очень больших до очень малых. Это обусловлено тем, что отно­ сительная точность любого измерения тем меньше, чем меньше измеряемая величина. Не представляет, например, особо большого труда измерить длину в один метр с точностью до одного милли­ метра, т. е. с относительной точностью 1/1000. Но измерить с та­ кой же относительной точностью длину в один миллиметр значи­

к какому определенному пределу. Это показывает, что в рассма­

смысле. Вычислить истинную скорость или производную v = х из физических измерений можно лишь приближенно, отождествляя

ее с отношением конечных приращений ~ . Оптимальная величина

предельный переход понимать буквально в строго математическом смысле, то для реальных тел он выполнен быть не может из-за атомистической структуры вещества. При уменьшении объема в нем рано или поздно окажется лишь небольшое число молекул, напри­ мер, одна или даже ни одной молекулы. Кроме того, молекулы совершают беспорядочные тепловые движения, одни молекулы уходят из объема АУ, другие вступают в него. Ввиду этого число молекул в фиксированном малом объеме А У весьма быстро и бес­ порядочно меняется во времени. При уменьшении АУ отношение

^убудет быстро и беспорядочно меняться от нуля, когда внутри

объема АУ нет молекул, до очень больших значений, когда в него попадет одна или несколько молекул. При бесконечном уменьше­ нии А У отношение ~ не будет стремиться к определенному пре­ делу. Ввиду этого при определении истинной плотности вещества нельзя брать величины Am и АУ сколь угодно малыми. Объем АУ должен иметь макроскопические размеры, т. е. содержать еще очень большое число молекул. Но он должен быть и достаточно мал, чтобы содержащееся в нем вещество могло рассматриваться при­ ближенно как макроскопически однородное. Если оба эти требо-

Д/и

вания выполняются, то отношение ду будет иметь практически вполне определенное значение, не меняющееся при дальнейшем уменьшении макроскопического объема А У. Это отношение мы и принимаем в физике за производную массы т по объему У. Вели­ чины Am и АУ, удовлетворяющие указанным двум требованиям, в физике рассматриваются как физически бесконечно малые, и с ними физика обращается как с математическими дифференциалами. Математически этому соответствует замена реального тела идеали­ зированной моделью с непрерывным распределением масс.

3. Совершенно так же обстоит дело с понятием интеграла. В ма­

Числовой промежуток (а, Ь) разбивается на п частичных про­ межутков Axj, Ах2, Ахп. Длина каждого из них Axt умножается на значение функции / (х) в произвольной точке, лежащей внутри рассматриваемого частичного промежутка. Затем составляется сумма 2 / (лг;) Axi и выполняется переход к пределу п -> оо в пред­ положении, что длина каждого из частичных промежутков стре­ мится к нулю. В физике, однако, из-за ошибок измерений или по

принципиальным соображениям (например, из-за атомистической структуры вещества) деление промежутка (а, Ь) на частичные про­ межутки меньше определенной длины (величина которой зависит от конкретных условий) теряет смысл. Ввиду этого предельный пере­ ход к Ах* -v 0 не может быть выполнен до конца, а должен быть оборван на каком-то месте. Это означает, что в физике интеграл выступает не как предел суммы, а как сумма большого числа доста­ точно малых слагаемых 2 / (х,-) Дхг .

§ 7. О векторах и сложении движений

1. Понятие вектора и основные операции векторной алгебры мы считаем известными. Остановимся только на разъяснении неко­ торых принципиальных моментов, представляющих особый интерес в физике. Среди физических величин встречаются величины, не имеющие направления, и величины, которым можно приписать определенное направление. Величины первого рода называются скалярами. К ним относятся, например, масса, энергия, темпера­ тура, электрический заряд и пр. Величины второго рода называются векторами. Примерами векторов являются скорость, ускорение, сила, напряженности электрического и магнитного полей и пр. Векторы принято изображать направленными отрезками или стрел­

В качестве дополнения к приведенному определению иногда указывают, что не всякие направленные величины являются век­

расплывчатым и бессодержательным, пока не сказано, что следует понимать под сложением рассматриваемых физических величин. Смысл сложения физических величин еще не определяется их физической природой. Сначала надо указать, что мы понимаем под сложением двух физических величин, а затем уже находить правила, по которым должно производиться это сложение. Только тогда указание, о котором говорилось выше, приобретает опре­ деленное содержание. Нередко для решения вопроса, являются ли рассматриваемые физические величины векторами или не яв­ ляются, в их сложение вкладывают такой смысл, который к этому вопросу не имеет никакого отношения.

2. Например, сложение скоростей в механике понимают в сле­ дующем смысле. Пусть точка движется относительно системы отсчета Si со скоростью ©j (например, пассажир идет по палубе корабля). Пусть далее система отсчета S t сама движется со скоростью v2 относительно другой системы отсчета S 2 , условно принимаемой за неподвижную (например, корабль движется относительно берега).

Под сложением движений понимают операцию, с помощью которой по этим данным можно найти скорость v точки (пассажира) отно­ сительно неподвижной системы S 2 (берега). В релятивистской кине­ матике это определение должно быть дополнено указанием, что каждая из скоростей vx и юг измеряется с помощью линеек и часов в той системе отсчета, относительно которой рассматривается дви­ жение. В нерелятивистской кинематике такое указание излишне, так как длины и промежутки времени в ней имеют абсолютный смысл, т. е. не зависят от системы отсчета. И вот оказывается, что сложение движений в указанном смысле в нерелятивистской кине­ матике производится по правилу параллелограмма, а в релятиви­ стской кинематике это правило не справедливо. Тем не менее ско­ рость точки считается вектором как в той, так и в другой кинема­ тике. Это показывает, что правило параллелограмма скоростей для сложения движений в указанном смысле не имеет никакого отно­ шения к вопросу о том, является скорость вектором или не яв­ ляется *).

Да и в самой нерелятивистской кинематике можно указать величины, которые считаются векторами, но тем не менее не всегда складываются по правилу параллелограмма, если в сложение этих величин вложить примерно такой же смысл, что и в сложение скоростей в вышеприведенном примере. К таким величинам отно­ сится, например, ускорение. Пусть точка движется относительно системы отсчета Sx с ускорением ах, а система Sj имеет ускорениеа2 относительно «неподвижной» системы отсчета S2 - По этим данным можно найти ускорение а точки относительно системы S 2 только в том случае, когда складываемые движения являются поступа­ тельными. В этом случае вектор а находится по правилу паралле­ лограмма. В остальных случаях для нахождения результирующего ускорения знания ускорений ах и а2 недостаточно, и само нахожде­ ние вектора а производится по более сложному правилу, которое будет рассмотрено в § 64.

3. Приведенные примеры показывают, что определение вектора нуждается в уточнении. Необходимость этого диктуется также следующими соображениями. Не всегда очевидно, какое направле­ ние следует приписать той или иной физической величине. Напри­ мер, в случае геометрического отрезка АВ не возникает вопроса,

*) Если бы все скорости измерялись в одной и той же «неподвижной» системе отсчета S2 , то правило параллелограмма сохраняло бы силу и в релятивистской кинематике. Однако при этом изменился бы смысл скорости v1. Под vt следовало бы понимать скорость точки относительно движущейся системы отсчета Slt из­ меренную в «неподвижной» системе S2 . При сложении же скоростей в том смысле, в каком оно понимается в тексте, vx есть скорость точки относительно движущейся системы Slt измеренная в той же системе. А это существенно иная величина. Только в предельном случае бесконечно медленных движений обе ско­ рости совпадают. При изложении теории относительности затронутые вопросы будут разобраны подробно.

точки, а также направлением силы, на нее действующей. Однако не очевидно, что следует считать за направление угловой скорости или геометрической поверхности, в особенности•когда последняя изогнута. Наконец, точное определение вектора необходимо дать

ный отрезок, на котором установлено определенное направление. Такой направленный отрезок будем изображать стрелкой а. Возь­ мем какую-либо произвольную прямоугольную или косоугольную

лельными координатным плоскостям. Например, чтобы получить проекцию на ось X, надо через концы отрезка а провести плоскости, параллельные координатной плоскости YZ. Зти плоскости и отсе­ кут на оси X отрезок ах, являющийся проекцией отрезка а на рас­ сматриваемую ось. Аналогично получаются остальные две проекции

в системе 5 надо восстановить отрезок а, как диагональ параллеле­ пипеда, построенного на отрезках ах, av, az. Затем следует спроекти­ ровать этот отрезок на оси X', У , Z' новой системы координат S'. Получится тройка чисел ах-, аи-, аг-, которые и являются проекциями отрезка а в новой системе координат. Теперь мы даем следующее

отрезков.

Короче, вектором называется упорядоченная тройка чисел, заданная в каждой системе координат, которые при переносе начала и повороте координатных осей преобразуются как разности коорди­ нат концов направленного геометрического отрезка.

чем на них три отрезка. Если на таких трех отрезках как на ребрах построить параллелепипед, то его диагональ можно рассматривать как направленный отрезок, служащий наглядным изображением вектора. Этот отрезок получится одним и тем же, какую бы систему координат мы ни использовали при его построении. В этом прояв­ ляется инвариантный характер вектора, т. е. независимость его от системы координат, использованной для его представления. Ком­ поненты вектора ах, ау, аг в разных системах координат разные, но самый вектор а один и тот же. Векторное равенство а = Ь, записан­

координат обе части этих равенств преобразуются одинаково. Поэтому в новой системе координат они сохраняют прежний вид, т. е. ai'-=bi< (i' =х', у', г'). Уравнения, обе части которых при пере­ ходе к другой системе координат преобразуются одинаково и бла­ годаря этому сохраняют свой вид во всех координатных системах, называются ковариантными или инвариантными по отношению к рассматриваемому преобразованию координатных систем. Мы

векторов физические законы формулируются в простой и обозримой форме, которая не сохраняется, если выразить их через проекции векторов в какой-либо системе координат.

Заметим, что координатные оси X, У, Z не обязательно должны поворачиваться вместе подобно повороту твердого тела. Опреде­ ление предусматривает и такие случаи, когда оси X, Y, Z повора­ чиваются независимо. Путем поворотов такого типа может быть совершен переход от любой прямолинейной системы координат к другой прямолинейной системе — правой или левой, оси которой ориентированы совершенно произвольно. В частности, такими пово­ ротами может быть осуществлена инверсия осей, т. е. одновременное изменение на противоположные положительных направлений всех трех осей.

Если обе координатные системы прямоугольные, то формулы преобразования проекций вектора имеют следующий вид:

означает косинус угла между положительными направлениями осей Y' и Z.

заданное в каждой системе координат, причем при переносе начала и повороте координатных осей это число остается неизменным. Таким образом, как и определение вектора, это определение преду­ сматривает только перенос начала и поворот координатных осей. Оно предполагает, что обе координатные системы должны оста­ ваться неподвижными одна относительно другой. Примерами ска­ ляров являются время, масса, электрический заряд и пр. Абсцисса х неподвижной точки не является скаляром, так как ее численное значение в разных системах координат разное. Скаляры можно образовывать из векторов. Например, скаляром является длина вектора или ее квадрат, который в прямоугольной системе коор­ динат представляется выражением а\ + а\ + d'z. Скаляром яв­ ляется скалярное произведение двух векторов а и Ь, т. е. величина

(ab) — ab cos ft, где т) — угол между этими векторами. В прямоуголь­ ной системе координат, как известно, скалярное произведение

5. На основании изложенного ясно, что для доказательства векторного характера той или иной направленной физической вели­ чины надо только установить, как определяются ее составляющие вдоль координатных осей и как они преобразуются при переходе от одной координатной системы к любой другой, оси которой по­ вернуты относительно осей первоначальной системы. При этом имеются в виду координатные системы, неподвижные одна относи­ тельно другой.

ставляющие векторов а и Ь. Вектор с (сх, cv, сг) называется суммой векторов а и Ь. Легко доказать, что он может быть получен из векторов а и b геометрическим построением по правилу парал­ лелограмма. Аналогично определяется и вычитание векторов. Разность двух векторов а и b есть вектор й, определяемый упоря­

доченной тройкой чисел dx = ах — bx, dv = ау — by, dz — az — bz. Для его построения надо изменить на противоположное направление

В таком смысле сложение и вычитание векторов вводится путем математического определения. Над векторами можно производить и другие операции, вводимые таким же путем, например умноже­ ние вектора на скаляр или скалярное и векторное перемножение двух векторов. Все операции такого типа мы называем математи­ ческими. Их свойства устанавливаются соответствующими мате-

матическими теоремами. Не имеет смысла ставить вопрос об опыт­ ной проверке результатов, получаемых с помощью таких матема­ тических операций. Например, о сложении векторов, как оно только что определено, мы будем говорить как о математическом сложении или сложении в математическом смысле. Но когда векто­ рами изображают различные физические величины, часто в их сло­ жение или вычитание вкладывается какой-то другой смысл. А именно для получения суммы или разности векторов над ними надо произ­ вести какие-то (хотя бы мысленные) физические операции. Сложе­ ние и вычитание в таком смысле мы условимся называть физическими.

Его можно рассматривать как геометрическую сумму отрезков АВ

и ВС. Сложение перемещений в таком понимании производится по правилу параллелограмма, т. е. совпадает с математическим сложе­ нием векторов. Тому же правилу подчиняется и сложение скоростей в следующем смысле. Точка в течение секунды перешла из Л в Б, двигаясь равномерно со скоростью vx. Затем также в течение се­ кунды она перешла из В в С с постоянной скоростью юг. С какой постоянной скоростью v должна двигаться точка, чтобы в одну секунду перейти из Л в С? Но в сложение скоростей обычно вкла­ дывается другой смысл, разъясняемый на следующем примере. Точка перешла из Л в В вдоль прямолинейного отрезка на палубе корабля, двигаясь равномерно со скоростью vx. За то же время сам корабль переместился относительно берега на отрезок ВС, двигаясь с постоянной скоростью ©2- С какой скоростью v дви­ галась точка относительно берега? Здесь сложение движений и их скоростей понимается в другом смысле. Оба движения рассматри­ ваются в разных системах отсчета, движущихся одна относительно другой. Одной системой является корабль, и скорость vx изме­ ряется с помощью линеек и часов в этой системе. Другой системой является берег, с помощью линеек и часов этой системы измеряются скорости v2 и V. На вопрос о результате сложения в таком смысле