Seminary_Vesna

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

p( ) = dF/d

p( 2 )= ( 1 - 2 )

p( 1)= 1/2

p( 1)= 1/2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

938.03 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Семинар 1

Основные характеристики случайных процессов

Наиболее простой характеристикой случайного процесса x(t)

является одномерная

функция распределения вероятности F1 (x1 , t1 ) P{x x1}- вероятность того,

что значение

случайной величины x t1 в момент времени t1, будет меньше заданного значения x1.

Имеем

F (x dx ) F (x ) F1 (x1, t1 ) dx .

Вводя в рассмотрение

одномерную

плотность

распределения

вероятности

p (x , t ) F1 (x1 , t1 )

, получаем,

что вероятность того, что значение случайной величины в

момент времени t

будет лежать в диапазоне

x , x dx, равна P (x ,t ) p (x ,t )dx .

Аналогично и для двумерного случая

P2 (x1 ,t1 , x2 ,t2 ) p2 (x1 ,t1 , x2 ,t2 )dx1dx2 ,

; x2 ,t2 )

где p2 (x1 ,t1

F2 (x1 ,t1 ; x2 ,t2 ) .

x1 x2

Математическое ожидание (среднее значение).

mx (t) M x(t) x x(t) p1 (x,t)dx .

Дисперсия (характеристика разброса относительно среднего значения).

		2
Dx (t) M x(t) mx (t) 2 (x mx )2 p1 (x,t)dx x (t) p1 (x,t)dx .

Корреляционная функция (характеристика взаимозависимости значений случайного процесса для двух разных моментов времени)

K x (t1 ,t2 ) M x(t1 ), x(t2 ) x1 t1

t2 p2 x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2

Корреляционная функция центрированного случайного процесса (дисперсионная

функция)

)

R (t , t

) M

x(t

) x(t

, причем R (t, t) R (t) D (t).

x 1

Для стационарных (установившихся) случайных процессов

mx (t) const, Kx (t1 ,t2 ) Kx (t1

t2 ) Kx ( ), Dx (t) Rx (0) const ,

спектральная плотность

S x ( )

K x ( )e i d 2 K x ( ) cos d ,

при этом

K ( )

( )ei d

( ) cos d

Замечание

x p x dx

x mx p

x dx Dx mx .

Kx t1,t2 x t1 x

t2 p x1, x2 ,t1,t2 dx1dx2 Rx t1,t2 mx (t1 )mx (t2 ).


Sx Kx e i d Rx e i t mx2		e i t dt S 2 mx2 .
			x


Необходимо также помнить, что	ei (t t0 )d 2 (t t0 ) ,		ei( 0 )t dt 2 ( 0 )

1. Вычисление спектральных плотностей и корреляционных функций.

Задача 1.1. Пусть x(t) случайный процесс, представляющий собой случайную величину, равномерно распределенную на отрезке a, a . Найти mx , Dx , K x и Sx ( ) .

Решение:

Реализации рассматриваемого случайного процесса:

x(t)

-a

Одномерная функция распределения вероятности

F (x,t)

-a

Одномерная плотность распределения вероятности

p(x,t) F(x,t) / x

1/ 2a

a2 a2

xp(x,t)dx

0 ,

x (t) p(x,t)dx x2 (t) p(x,t)dx

Kx x1

t1 x2

t2 p2 x1, x2 ,t1,t2 dx1dx2 x2 p(x,t)dx

Можно также (см. Задачу 1.2)


x1		t1 x2 t2 p2 x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2 x1 x21/ 2a dx1 (x1 x2 ) dx2

S			K e i d	a	2		2
				a		e i d	2	a2 ( )
						e i d	3	a2 ( )
	x		3				3
	x

	a2 / 3
Рис. 1.1a
Рис. 1.1a	Рис. 1.1b

a	x2 dx	a2

	2a	3
a

Процесс стационарный, но не эргодический.
Замечание
Если x(t) a const ,	т.е. если в качестве случайного			процесса рассматривается
детерминированная постоянная величина, то:
			F (x,t)
		1
	p (x a)
		0		a
			2
mx xp(x,t)dx a p(x,t)dx a ,		Dx	x (t) p(x,t)dx 0 ,


K x x1 t1 x2 t2	p2 x1 , x2 ,t1 ,t2 dx1dx2 a2 , Sx K e i d 2 a2 ( ) .

Процесс стационарный и эргодический (!?).
Задача 1.2. Определить корреляционную функцию			Kx	и спектральную плотность

Sx для случайного процесса x a sin t , реализации которого зависят от времени

по гармоническому закону со случайной начальной фазой, равномерно распределенной. на интервале (0, 2 ) .Проверить, что интегрирование спектральной плотности по всем

частотам, а также Kx 0 дает средний квадрат (в данном случае он равен дисперсии) рассматриваемой величины.

Решение

Очевидно, что mx 0 , поэтому в рассматриваемом случае корреляционная функция Кx совпадает с дисперсионной функцией Rx и


Rx t1 ,t2	x1 t1 x2 t2 p2 x1 ,t1 , x2 ,t2 dx1dx2

Здесь p2 x1 , t1 , x2 ,t2 dx1dx2 есть вероятность		события,	что в	момент t1 x
принадлежит диапазону x1 , x1	dx1 , а в момент t2	- диапазону	x2 , x2	dx2 . Эту же

вероятность можно записать, как p2 1 , t1 , 2 , t2 d 1d 2 , поскольку случайность величины

x есть следствие случайности начальной фазы ., поэтому

2 2

Rx t1 ,t2 a2 sin t1 1 sin t2 2 p2 1 ,t1 , 2 ,t2 d 1d 2

0 0

Поскольку 1 равномерно распределена на интервале (0, 2 ), а значение 2 на реализации однозначно определяется значением 1, точнее 2 = 1, (закон распределения 2 не зависит от времени, вероятность 2 1, есть ноль, 1 – единица, следовательно, плотность вероятности есть - функция), то рассматриваемая вероятность имеет вид

p2 1 , t1 , 2 , t2 d 1d 2 = 21 d 1 2 1 2

F( 1)

F( 2)

F( 1)

													0		1		2		1, 2
	Тем самым, искомая корреляционная функция Rx t1, t1 есть
				a2		2	sin t1		1 sin t1								2 1 1 2
				2			sin t1		1 sin t1					2			2 1 1 2
						0
					a2	2	sin t		sin t								d
					2		sin t		sin t								d
					2		1			1			1		1		1
							1			1			1		1		1
						0
С учетом того, что sinx siny (cos x y cos x y ) / 2, а также что
2
cos 2 t1 2 2 1 d 1 0 , получаем, учитывая,																	что t2 t1
0
								R		t ,t			R			a2	cos .
								R		t ,t		2	R				cos .
									x	1		2	x		2
															2
	Этот же результат для Rx										можно получить, рассматривая заданный случайный
процесс как эргодический 2 1
R	lim	1	T x t x t dt							1 T0		a2 sin t sin t dt						a2	с os
R	lim		T x t x t dt									a2 sin t sin t dt							с os
x	T 2T									T							2
	T 2T									T							2
			T							0	0

Поскольку

cos ei e i / 2 , имеем

S Kx e i d

e i e i

или, другим способом,

K e i t dt

cos cos d

Kx	Sx


Рис. 1.2a	Рис. 1.2b
Рис. 1.2a

Интегрирование спектральной плотности по всем частотам дает:

Задача 1.3. Необходим пример случайного процесса с уменьшающейся корреляцией, типа R De .

Задача 1.4. Подробнее вспомнить «белый шум»: R S0 t и S S0 const

2. Вычисление спектральных плотностей по корреляционным функциям.

Задача 2.1. Найти корреляционную функцию

и спектральную плотность стационарного D случайного процесса с математическое ожиданием, отличным от 0, при условии, что

R De

Решение:

K R mx

Спектральная плотность

K e i d

R e i d

2 D

2 m2 .

m2 e i d

2 2

Действительно

					0
R e i t d De			e i d D				,
R e i t d De			e i d D				,
						0
0	1			0	1				1
e i d		e i				, e		i d		e i


	i				i				i		0
	i				i	0			i
						0

	1	,

	i

2 D

R e i t d D

То

есть,

если mx

то

спектральная

плотность

случайного

стационарного

процесса

содержит при 0 особенность

виде

функции.

Чем

уже

график

корреляционной функции, тем шире график S и наоборот. То есть, чем быстрее

процесс, тем больше значение имеют высокие частоты.

Если R S0 t и mx 0 , то S S0 const - белый шум.

R N t

Рис. 2.1b

Задача 2.2. Корреляционная функция случайного стационарного процесса с mx 0 имеет вид:

R De cos .

Найти спектральную плотность.

Решение:

S R e i d .

Учитывая, что cos 12 ei e i , получаем

		1		1
S D					.
S D	2	2	2	2	.
	2	2	2	2

Случайный процесс с периодической составляющей имеет «колебательную» корреляционную функцию и «рогатую» спектральную функцию. Сопоставляя этот результат с результатом, полученным в задаче 1.2, видим, что переход от процесса с колебательной

составляющей в R к колебательному процессу (?) приводит к появлению в S - функции.

Рис. 2.1a

S const

Рис. 2.1c

Рис. 2.2a


	Рис. 2.2b

3. Вычисление корреляционных функций по спектральным плотностям.

Задача 3.1. Для стационарного случайного процесса, имеющего постоянный спектр в полосе от n до n , вычислить среднее значение (математическое ожидание), средний квадрат и дисперсию, а также получить выражение для корреляционной функции.

Решение:

Среднее значение случайной величины

равно нулю

0 ,

так

как

спектральная

плотность

не

содержит

при

особенностей типа - функции.

Следовательно,

дисперсия

равна

среднему квадрату случайной величины

Dx x

x .

S d

x2 D

K x

S cos d

cos d

sin n .

Замечание:

0 lim

sin

N n

Семинар 2

Прохождение случайного сигнала через линейную систему. Оценка точности

Поставим задачу: Найти математическое статистические характеристики выходного сигнала y(t), если задана передаточная функция W(s) замкнутой линейной системы и статистические характеристики входного сигнала x(t).

Простейшие звенья – использование определений.

Усилительное W(s)=k:

kmx

Ry (t1, t2 ) k 2 Rx t1,t2

Интегрирующее W(s)=1/s:

y(t) x

my t mx t d

t1 t2

Ry t1,t2 Rx , d d .

0 0

Дифференцирующее W(s)=s:

y t

x t

Ry t1 , t2

Rx t1 , t2

dt1

dt2

При этом во всех случаях

t Ry t1t2

t1 t2 t

2. Регулярные методы оценки точности.

Использование регулярных методов проиллюcтрируем на примере решения следующей задачи:

Определить дисперсию выхода Dy (t) для системы

x(t)

W (s)

y(t)

, где W(s) =

, K x ( ) Dx e

. (I)

Ts 1

Заметим, что поскольку корреляционная функция сигнала x(t) не содержит постоянной составляющей, то mx , и тем самым, my равны нулю и Kx ( ) Rx ( )..

Прежде чем приступить к решению задачи, рассмотрим систему, получающуюся из (I) с использованием формирующего фильтра, входом которой является белый шум, а выходом сигнал x(t) .

Имеем

						2D

S x	( ) K x ( )e i d						x
S x	( ) K x ( )e i d				1			2
					1

	( )	Wфф (i )	2	S ( )
			2
S x

откуда

Wфф (s)

При этом

R ( ) 1 S ei2

(t)

Wфф (s)

x(t)

2Dx

, где

S 2Dx .

1 s

(1 s) S

d S ( )

или R (t1 ,t2 ) S (t1

t2 ) .

Тем самым от исходной системы (I) приходим к следующей системе:

(t)

y(t)

, где Wфф

(s)

, R ( ) S (t1

t2 )

(II)

Wфф

W (s)

Расчёт дисперсии выхода выполним последовательно тремя

способами

Первый способ -	метод интегральных соотношений (корреляционных функций).
Если на вход системы подается сигнал с дисперсионной функцией						R(t1,t2 ) , то для
выходного сигнала	y(t) имеем
	t1	t2
	Ry (t1,t2 ) w(t1, )w(t2 , )R( , )d d ,
	0	0
откуда
	t	t
	Dy (t) w(t, )w(t, )R( , )d d ,
	0 0
где w(t, ) - весовая функция системы.
Для апериодического звена с передаточной функцией k /(Ts 1) импульсная
переходная (весовая) функция есть
	w(t, ) k e (t ) /T /T
В случае системы (I) входной сигнал x(t)				стационарный, следовательно
t t			t	t
Dy (t) w(t, )w(t, )Rx ( , )d d w(t )w(t )Rx ( )d d
0 0			0 0
t t				t	t
Dx (k T )2 e (t ) T e (t ) T e \| \|d d Dx (k T )2 e 2t T e T e T \| \|d d .
0 0				0	0
Определение Dy (t) сводится к последовательному вычислению интегралов
	t			t
J1 (t, ) e T \| \|d		и	J2 (t) e T J1 (t, )d .
	0			0
Т.к. возможны ситуации и ,			причем 0 t , то следует записать
		t

J1 (t, ) e T ( ) d e T ( ) d .

Эти интегралы несложно вычислить, но результат будет несколько громоздким,
поэтому далее ограничимся вариантом T 1.							Имеем
			t
J1 (t, ) e2 d e d				1	e e2		(t )e				1		(e e ) (t )e .
				1							1
				2		o					2
0						o
0
Теперь
	t						t
J2 (t) e		1	(e e ) (t )e d					1	(	1		t)e2 e2 d .
J2 (t) e		2	(e e ) (t )e d					2	(	2		t)e2 e2 d .
	0						0

Учитывая, что

		t									t	t
		e2 d			1			e2					1	e2 d			1	te2t			1	(e2t 1) ,
		e2 d			2			e2					2	e2 d			2	te2t			4	(e2t 1) ,
		0									0	0
		0										0
получим																								e2t (1 2t) .
J		(t)	1	t		1		(	1	t)(e2t				1)	1	te2t			1	(e2t 1)			1
J	2	(t)		t				(		t)(e2t				1)		te2t				(e2t 1)			2
	2	2			2		2							2			4						2

Таким образом:

D (t) D k 2 e 2t J

(t) D k 2 1 (1 2t)e 2t

/ 2 .

(1)

Нетрудно видеть, что Dy (0)

Dy ( )

(0) 0 . Очевидно,

Dx k

. Кроме того Dy

что полученная зависимость при

t 0 неотрицательна, как и положено для дисперсии.

Если бы это было не так, то нашлось бы

какое-то значение t ts

0 ,

при котором

выполняется

1 (1 2t

)e 2ts

0 ,

или то же самое e2ts 1 2t

Но это невозможно, поскольку

2ts 1 2t

(2t

)2 ... 1 2t

Примерный вид зависимости Dy (t) показан на рисунке.

Dy (t)

Dy ( )

0	t

Замечание.

В случае системы (II), где входом является белый шум, т.е.

Rx ( , ) R ( , ) S ( ) , получаем:

t t	t
Dy (t) w (t, )w (t, )S ( )d d S w2 (t, )d .
0 0	0

Рассматриваемая система представляет собой последовательное соединение двух звеньев, следовательно, согласно теореме Лапласа о свертке и с учетом условий физической реализуемости t : при имеем

w2 0 , а при t -		w1	0 , имеем
							t
	w (t, ) w1 (t, )w2 ( , )d w1 (t, )w2 ( , )d ,

	Учитывая, что весовая функция первого звена -									формирующего фильтра,
есть	w (t, ) e (t ) ,		а весовая функция второго звена - исходной системы,
	1
есть	w (t, ) e (t ) /T	/ T	, получаем:
	2
				k	t		k		t	t
		w(t, )			e (t ) e	T d		e		T e T d
		w(t, )		T	e (t ) e	T d	T	e		T e T d
				T			T

или

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.20155.68 Mб21Savitskaya-EV-Kurs-lektsii-po-mikroekonomike.pdf
#
25.11.20181.64 Mб4school_book2.doc
#
03.06.20153.12 Mб14ScoutEngineering.pdf
#
03.06.2015493.51 Кб142Seluyanov_V_N_-_Sportivnaya_adaptologia.pdf
#
13.08.201992.67 Кб1sem4-.doc
#
03.06.2015938.03 Кб5Seminary_Vesna.pdf
#
03.06.2015301.23 Кб12shell-first-steps.pdf
#
03.06.2015440.72 Кб71shen-probability.pdf
#
03.06.2015932.35 Кб41Shi_2009_lab_1.doc
#
03.06.2015623.8 Кб19simulation_v2.pdf
#
03.06.201512.57 Mб145Sivuhin-DV-Obschii-kurs-fiziki-Tom-1-Mehanika.pdf