Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Пособие по математической статистике

.pdf

Скачиваний:

207

Добавлен:

02.06.2015

Размер:

4.37 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

1)Записать закон распределения Х

2) ) П в

а вы ка ъё а

, ∑ (

) =400.

По данной выборке найти оценку параметра .

3)Для найденного параметра найти P{ X-m 1}

Решение:

1)X N(2; )

( x 2)2

fx(x)=

2 2

2)*=√ ; ;

∑

(

)

∑ (

) =400/100=4

*=√4 =2≈

N(2;2)

( x 2)2

fx(x)=

f(x)

1/2√2π

					1		3
						2	3
						2

3)	P{ X-m 1}=2*Ф(		)≈		(P{ X-m }=2Ф( / ) )
				0,38292
		)		0,38292

Задача 11

Х генеральная совокупность распределена по нормальному закону, причём генеральная дисперсия известна D[X]=4, но неизвестен параметр m.

Стр. 61

1)Записать закон распределения Х

2) Проведена выборка объёма n=200, причём ∑

= -400.

Найти оценку параметра m.

3)Для найденного параметра найти P{ X-m 3}

Решение:

( x m)2

fx(x)=

=√

=√ =2

2)m*=̅; ̅=

∑

*(-400)

= -2=m*≈m

( x 2)2

fx(x)=

f(x)

1/σ√

-5	-2	1	x

3)X N(-2; 2); P{ X-m 3}=2Ф(3/2)≈0,86638

Задача 12.

Х генеральная совокупность распределена по нормальному закону , причём оба параметра неизвестны X N(m; ).

1) Записать закон распределения Х

2) П в

а вы ка ъё а

, причём ∑

= -300; ∑

=600.

Стр. 62

Найти оценку параметров m и

3)Для найденных значений параметров найти P{ X-m 2}

Решение

	1		e

1) fx(x)=
		2
		2

( x m)2 2 2

m*=

̅≈m; *=

√

≈

̅=

∑

*(-300)

= -1=m*≈m

̅̅̅=

∑

̅̅̅

*600=2

Dx*=̅̅̅̅-(̅)2 D*x=2-1=1 *x=1 X N( -1;1)

	1		( x 1)2
	1	e	2
fx(x)=	2
	2

4) P{ X-m 2}=2Ф(2)≈0,9545

Задача №13

Дискретная СВ Х имеет распределение (при n=50):

xi	-1	0	2	4

pi	2a	a	b	1-3a-b
pi
ni	15	10	20	5

Решение задачи (метод моментов)

Шаг 1:

			4
x			1		xi * ni				1		( 15 0 40 20) 0,9
x					xi * ni			50			( 15 0 40 20) 0,9
		50 i 1						50
				1		xi2 * ni				1
x 2				1						1		(15 80 80) 3,5
x 2												(15 80 80) 3,5
				50 i 1				50
Шаг 2:
			4
1	M [ X ] xi								pi 2a 0 2b 4(1 3a b) 14a 2b 4
						i 1
							4
2	M [ X 2 ] xi2 pi											2a 0 4b 16(1 3a b) 46a 12b 16

i 1

Стр. 63

Шаг 3: Составляем систему уравнений

x M [ X ]

x 2 M [ X 2 ]

14a 2b 4 0,9		7a b 1,55	(умножим первое уравнение на -6 и
			(умножим первое уравнение на -6 и
46a 12b 16	3,5	23a 6b 6,25

сложим оба уравнения 17a 3,05

0,16 )

a 0,16b 0,43

Ответ:

xi	-1		0	2	4


pi	0,32		0,16	0,43	0,09


Дополнительный вопрос		Найти: P{ 0,5 x 2} 0,43 0,16 0,59

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

L(a,b) (2a)15 * a10 * b20 * (1 3a b)5

ln L(a,b) 15ln 2 25ln a 20 ln b 5ln(1 3a b)

ищем

максимум

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

1 3a b

5(1 3a

b) 3a

18a 5b 5

(ln L(a, b))a

Вычтем из первого

(ln L(a, b))|

4(1 3a

b) b

12a 5b 4

1 3a b

уравнения второе и найдем значение а:

6a 1 a 1/ 6 0,16

a 0,16

b 0,4

*Шаг 3: Достаточное условие (в данном случае можно опустить, т.к. значения практически совпали с значениями, полученными с помощью предыдущего метода).

Задача 14 (биномиальное распределение)

В телевизионной игре «Поле чудес» ведущий предлагает две шкатулки после правильно угаданных трех букв (в одной из этих шкатулок – деньги). Один из телезрителей вел статистические записи 20 игр (n=20). В каждой игре три тройки (m=3). Обозначим А - угадана шкатулка с деньгами. Р(А)=р (р – неизвестный

Стр. 64

параметр).		Х	–	число	выигрышных	шкатулок	в	одной	игре.
P{X k} C k	pk (1 p)m k ;			k 0,1,2,3. Найти оценку параметра р.
m

xi			0		1	2		3
xi
ni			6		9	4		1
ni

pi			(1 р)3		3 р(1 р)2	3р2 (1 р)		р3

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

	1	4	1
x		xi * ni		(9 8 3) 1
			20
	20 i 1

Шаг 2:

M[ X ] m * p

Шаг 3: Составляем уравнение : x M[X ] m * p 1 3p 1 p* 1/ 3

Ответ: p* 1/ 3

Дополнительный вопрос:

Найти:

o P{x 1} 1 P{X 0} 1 (1 p)3 0,963

o Наивероятнейшее число «удачных» шкатулок и соответствующую вероятность: mp q k * mp p 3*1/ 3 2 / 3 k * 3*1/ 3 1/ 3 k * 1

P{X 1} 3* p * (1 p)2 3*1/ 3* 4 / 9 4 / 9 0,4

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

L( p) ((1 p)3 )6 * (3 p(1 p)2 )9 * (3 p 2 (1 p))4 * p3

(1 p)18 * 39 * p9 * (1 p)18 * 34 * p8 * (1 p)4 * p3 313 * (1 p)40 * p 20 ln L( p) 13ln 3 40 ln(1 p) 20 ln p ищем максимум

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

(ln L( p))\|p 0	40	20	0	2 p 1 p	3 p 1 p* 1/ 3
	1 p	p

Значения оценок совпадают в обоих случаях

Задача 15. (Распределение Пуассона)

Стр. 65

Деканат ВУЗа должен проверить 100 пакетов документов выпускников. Х – число возможных ошибок в одном пакете документов имеет распределение Пуассона

снеизвестным параметром . После проверки была составлена сводная

статистическая таблица ( x								- количество ошибок в одном пакете).											P{X k}			k
статистическая таблица ( x							i	- количество ошибок в одном пакете).											P{X k}			e ,
							i															k!
																						k!
для n=100. Найти оценку параметра

xi			0			1			2		3			4			5			6
xi
ni			22			30			25			15		5				2			1
ni

pi			е			* е			2			3			4			5			6
									2!	е	3!		е	4!		е	5!		е	6!		е
						Решение задачи (метод моментов Пирсона)
Шаг 1:
	1	7			1
x	1	xi * ni			1	(30 50 45 20 10 6) 1,61
x		xi * ni		100		(30 50 45 20 10 6) 1,61
100 i 1				100

Шаг 2:

M[ X ]

Шаг 3: Составляем уравнение : x M[X ] * 1,61

Ответ: * 1,61

Дополнительный вопрос:

Найти:

P{x 2} 1 P{X 0} P{X 1} 0,876

P{x 3} (1,61)3 e 1,61 0,695 * 0,199 0,139 3!

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

L( )			(e		)	22	30	(e		)	30	(		2	)	25		(e			)	25	(		3		)		15	(e		)	15	(	4	)	5	(e	)	5	(	5	)	2
L( )			(e		)			(e		)		(			)			(e			)		(				)			(e		)		(		)		(e	)		(		)
														2!											3!										4!							5!
		2	6					100			161				1			1		1			1			1					100			161											1		1		1		1`		1
(e	)			e			e		*				* (				*		*			*		*				) e					*			* A, A const (										*		*		*		*		)
(e	)			e			e		*				* (				*		*			*		*				) e					*			* A, A const (										*		*		*		*		)
			6!												2!			3!		4!			5!			6!																			2!		3!		4!		5!		6!
ln L( ) 100 161ln ln A ищем																						максимум

Стр. 66

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

(ln L( ))\| 0	100	161	0	* 1,61

Значения оценок совпадают в обоих случаях

Задача 16

Студент знает только один билет (количество предлагаемых билетов не ограничено). Опыты проводились до тех пор, пока студент не вытащил «свой» билет. Была проведена серия из 30 опытов (каждый день в течение месяца). Студент составил статистическое распределение случайной величины Х (Х – число попыток в одной серии). А – билет «счастливый». р(А)=р (р неизвестно ). N=30.

Р{X k} (1 p)k 1 * p . Найти оценку параметра р.

xi	1	2	3	4	5
	1	2	3	4	5

ni	0	2	6	10	12
ni

pi	р	(1-р)р	(1 р)2 р	(1 р)3 р	(1 р)4 р
pi			(1 р)2 р	(1 р)3 р	(1 р)4 р

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

	1	5	1
x		xi * ni		(0 4 18 40 60) 4,1
			30
	30 i 1

Шаг 2:

M [ X ] 1р

Шаг 3: Составляем уравнение : x M[X ] р* 0,2

Ответ: р* 1,61

Дополнительный вопрос:

Найти: P{x 3} 1 P{X 1} P{X 2} 1 0,2 0,8* 0,2 0,64

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

L( р) р * (1 р)2 * р2 * (1 р)12 * р6 * (1 р)30 * р10 * (1 р)48 * р12

р30 * (1 р)92

ln L( p) 30ln p 92ln(1 p) ищем максимум

Стр. 67

Шаг 2: Необходимое условие экстремума

(ln L( p))\|	0	30	92	0	30 30 p 92 p	122 p 30	p*		30	0,2

p		p	1 p					122

Значения оценок совпадают в обоих случаях

Задача 17(равномерное распределение на отрезке)

Турист, проживающий в гостинице, предположил, что время ожидания лифта распределено равномерно в интервале [a,b]. В течение 20 дней турист вел записи о времени появления лифта. Х — случайное время ожидания лифта. Х R(a,b)

	1		, x (a,b)

f(x) =		b a

	0, x (a,b)

0, x ax a

F(x) = b a , a x b

1, x b

По данной выборке найти оценки параметров a и b ; найти вероятность того, что лифт ожидали меньше 3-х минут

xi		0		1,5		2,1		3,2		4,1		5,4


ni	2		3		3		4		5		3

Стр. 68

Решение задачи (метод моментов Пирсона)

Шаг 1:

			6
			1		Xi ni			1
	X		1					1		(0 4,5 6,3 12,8 20,5 16,2) 3,015
	X									(0 4,5 6,3 12,8 20,5 16,2) 3,015
		20 i 1						20
			6
	X 2			1		X 2 i ni			1		(6,75 13,23 40,96 87,48 84,05) 11,6235
	X 2					X 2 i ni					(6,75 13,23 40,96 87,48 84,05) 11,6235
				20 i 1					20


Выборочная дисперсия: S 2 x2 (x)2 2.533 ;														S	2,533			1.6
Шаг 2: M [x]							a b				D[x]	(b a)2		[x]		b a
							2					12
																2		3
																2		3
																a b
													M	x x		a b					3,015
Шаг3: Составляем систему уравнений:													M	x x							3,015
Шаг3: Составляем систему уравнений:																		2
													x S						a
																	b		a	1,6
																				1,6
																		3
																2		3

a b 6,03


a b 3,2	3
2b 11,57
b 5,78

a* 0,24b* 5,78

0,18, x (0,24;5,78)	0, x 0,24
0,18, x (0,24;5,78)
f (x)	F (x) 0,18(x 0,24), x (0,24;5,78)
0, x (0,24;5,78)	1, x 5,78

a* 0,24

Ответ:

b* 5,78

Дополнительный вопрос:

Найти: P x 3 F 3 0,18(3 0,24) 0,5

Стр. 69

					Задача 18 (показательное распределение)
Время, в течение которого студент помнит содержание курса «теории
вероятностей», подчиняется показательному закону с параметром а. В течение
нескольких месяцев тестировали 50 студентов Хi — время, в течение которого
студент помнит курс.
По данной выборке: Найти оценку параметра а; Найти P{X>1}
Xi	0,1			0,5	1	1,5	2	2,5	3
ni	15			15	10	5	2	2	1
				Решение задачи (метод моментов Пирсона)
	аe аx , x 0				0, x 0
f (x)	0, x 0		;	F (x) 1 e аx , x 0

Шаг 1:
X 1	7	38,5
X 1	xi ni	38,5	0,77
50 i 1		50
Шаг 2:
M [ X ] 1
	а
Шаг 3: Составляем уравнение : M[ X ] X ;						1 0,77 ;	а* 1,3
						а
Ответ: а* 1,3
Дополнительный вопрос:
Найти:	P{X 1} 1 P{X 1} 1 F(1) 1 (1 e 1,3 ) 0,272							F(x)
Найти:	P{X 1} 1 P{X 1} 1 F(1) 1 (1 e 1,3 ) 0,272
					f(x
	1,3						1
	1,3
						x			x
						x

Решение задачи (метод максимального правдоподобия)

Шаг 1: Составляем функцию правдоподобия

L(а) (аe 0,1а )15 * (аe 0,5а )15 * (аe а )10 * (аe 1,5а )5 * (аe 2а )2 * (аe 2,5а )2 * (аe а ) а50e 38,5а

lnL(а)=50 lnа - 38,5а (ищем max)

Стр. 70

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 197 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.03.2016167.42 Кб41Положение об организации контроля знаний.doc
#
02.06.2015173.57 Кб44Попова Е.П. Теория организации для логистики.doc
#
02.06.2015708.1 Кб8Пособие Political Phenomena and Issues.doc
#
02.06.2015735.61 Кб21Пособие Защита населения и тер от ЧС.docx
#
02.06.2015730.7 Кб19Пособие по БЖД.docx
#
02.06.20154.37 Mб207Пособие по математической статистике.pdf
#
02.06.20151.22 Mб151Пособие по теории вероятности.docx
#
02.06.2015119.41 Кб62пособие(финал).docx
#
26.03.20161.99 Mб13Пособие.doc
#
26.03.2016314.88 Кб21пособие_СМИ_latest.doc
#
26.03.2016852.83 Кб7Пост Пр РФ №1085 от Оценка КЗ.rtf