- •Глава 1. Алгебра случайных событий
- •§1. Основные определения и понятия
- •Свойства противоположного события
- •Приведённая ниже таблица показывает связь между множествами и случайными событиями.
- •Теория множеств
- •2 Решение типовых задач
- •2) Используем формулу де Моргана
- •Глава 2 Классическое вероятностное пространство.
- •§2. Решение типовых задач.
- •20 Футбольных команд, среди которых 4 призёра предыдущего первенства, по жеребьевке разбиваются на 4 занумерованные подгруппы по 5 команд.
- •Решение:
- •52 Карты раздаются четырём игрокам (каждому по 13 карт)
- •Решение:
- •4) Картошки, 5) наполеон, 6) невские.
- •Решение:
- •§3 Задачи для самостоятельного решения.
- •Глава 3 Относительная частота и её свойства
- •§1. Основные понятия.
- •Относительная частота события а:
- •4) Свойство устойчивости:
- •§2. Решение типовых задач
- •§3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 4. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность.
- •§1. Основные понятия
- •5)Теорема сложения для совместных событий:
- •6)Теорема умножения
- •7)Теорема о сумме совместных, но независимых в совокупности событий.
- •§2 Решение типовых задач.
- •Задача №6
- •Решение:
- •Глава 5. Формула полной вероятности. Формулы Байеса.
- •§1. Основные понятия
- •§2. Решение типовых задач. Задача 1
- •Задача 2
- •Задача 3
- •Задача 4.
- •Решение.:
- •Задача 5.
- •Решение:
- •Задача 6.
- •Решение.
- •Задача 8
- •Задача 9
- •§ 3 Задачи для самостоятельного решения
- •Задача 6.
- •Задача 7.
- •Задача 9.(новогодний аттракцион)
- •Задача 10.
- •Задача 11.
- •Задача 12.
- •Задача 13.
- •Задача 14.
- •Глава 6 Последовательность независимых испытаний
- •§1.Основные понятия
- •§2 Решение типовых задач
- •§3 Задачи для самостоятельного решения.
- •Основные дискретные распределения и их числовые характеристики
- •Задача2
- •Задача 3
- •Задача 7
- •Задача 8
- •Глава 8 Одномерная случайная величина непрерывного типа
- •§1 Основные понятия.
- •§2 Решение типовых задач
- •Задача 2
- •1)Основное свойство функции плотности:
- •Задача 3
- •Решение:
- •1)Основное свойство функции плотности:
- •Задача 4
- •Решение:
- •Задача5
- •Задача 6
- •§3 Задачи для самостоятельного решения
- •Задача 22
- •Задача 23
- •1. Строим график
- •§3 Задачи для самостоятельного решения
- •§2 Решение типовых задач Задача 1
- •Демонстрационная задача №1
- •Задача 2
- •Демонстрационная задача №2
- •Решение
- •Задача 3
- •Демонстрационная задача №3
- •Решение:
- •Вычисление числовых характеристик.
- •Вычислим вероятности попадания случайных величин в указанные области.
- •§3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 11. Непрерывная двумерная случайная величин
- •Условные математические ожидания
- •§ 2 Решение типовых задач
- •§ 3 Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 12. Закон больших чисел (предельные теоремы)
- •§ 1. Основные понятия и формулы
- •1. Неравенство Маркова
- •2. Неравенство Чебышева
- •3. Неравенство Бернулли
- •§ 2. Решение типовых задач
- •§ 3. Задачи для самостоятельного решения
- •Глава 12. Нормальная случайная величина
- •§ 1. Основные понятия и формулы
- •§ 2. Решение типовых задач
- •§ 3. Задачи для самостоятельного решения
- •Приложение
- •Основные свойства функции распределения f(X)
- •Основные непрерывные распределения
Анисимова Н.П., Ванина Е.А.
Содержание | ||
Глава 1 |
Алгебра случайных событий |
3—18 |
Глава 2 |
Классическое вероятностное пространство |
19—37 |
Глава 3 |
Относительная частота |
3840 |
Глава 4 |
Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. |
4151 |
Глава 5 |
Формула полной вероятности. Формулы Байеса. |
5268 |
Глава 6 |
Последовательность независимых испытаний по схеме Бернулли. |
6981 |
Глава 7 |
Одномерная случайная величина дискретного типа. |
82111 |
Глава 8 |
Одномерная случайная величина непрерывного типа. |
112-140 |
Глава 9 |
Функции от случайных величин. |
141-153 |
Глава 10 |
Дискретная двумерная случайная величина |
154-171 |
Глава 11 |
Двумерная случайная величина непрерывного типа. |
172-184 |
Глава 12 |
Закон больших чисел. |
185-193 |
Глава 13 |
Нормальное распределение Гаусса. |
194-209 |
Приложения |
210-211 |
Глава 1. Алгебра случайных событий
§1. Основные определения и понятия
Теория вероятностей – это наука, изучающая математические модели случайных явлений, т.е. модели экспериментов, которые можно повторять, со случайными исходами.
Математическая формализация модели начинается с построения множества элементарных исходов Ω, т.е. такое множество, которое состоит из взаимоисключающих исходов.
Результатом эксперимента всегда будет один и только один исход. Любое подмножество данного множества Ω будем называть случайным исходом.
Для наглядной иллюстрации данных множеств используют диаграммы Венна.
Ω = {ω} – множество элементарных исходов.
А ⊂ Ω [А - случайное событие]
Событие А происходит тогда и только тогда, когда результат эксперимента ω ⋲ А
[Множество Ω называется также достоверным событием (всегда реализуемым)]
[Пустое множество Ø называют невозможным событием (в данном опыте никогда не происходит.)]
Множество Ω может быть дискретным Ω = { ωi } (все элементы можно пересчитать) или непрерывным (например интервал на числовой прямой)
Построение множества Ω (если оно не задано при описании эксперимента) осуществляется на практике, исходя из требования, чтобы все интересующие нас результаты данного эксперимента могли быть однозначно описаны на основе построенного множества Ω.
Замечание: Пусть Ω 1, ,…, Ωn – множества элементарных исходов данного эксперимента [в частности может быть, что == … = Ωn ].
Если проводится последовательность экспериментов, то совместный результат:
Ω = Ω1 х Ω2 х…х Ωn (прямое произведение )
Ω ={( ω1, ω2, …, ωn) │ ω1 ⋲ Ω1, ω2 ⋲ Ω2,… ωn ⋲ Ωn}
Алгебраические операции над событиями
Поскольку события отождествляется с множеством, то над событиями можно совершать все операции, выполняемые над множествами.
событие А влечёт за собой В
А = В < = > , А тождественно В
А + В – сумма событий [произошло хотя бы одно из данных]
А * В – произведение событий [совместное осуществление событий]
А и В несовместные события, если вместе не реализуются,
т.е. А* В = Ø
А–В – разность событий [А происходит, а В не происходит]
Ā = Ω - А – противоположное событие
[Ā проиходит тогда и только тогда,когда А не происходит]
Свойства операций:
№ |
СЛОЖЕНИЕ |
УМНОЖЕНИЕ |
НАЗВАНИЕ |
1 |
А + В = В + А |
А * В = В * А |
коммутативность |
2 |
(А + В)+С = А+(В + С) |
(А * В) * С = А * (В * С) |
ассоциативность |
3 |
А + А = А |
А * А = А |
|
4 |
А + = +А = А |
А * Ø = Ø * А = Ø |
Свойства |
5 |
А + Ω = Ω + А = Ω |
А * = Ω * А = А |
Свойства Ω |
6. Дистрибутивные законы
(1) А * (В+С)=АВ+АС
(2) А + (В*С)=(А+В) * (А+С)