Лекция. Элементы Векторной Алгебры
.pdfГлава II. Элементы векторной алгебры.
•О. Вектор AB – направленный отрезок,
•А – начало, В – конец вектора.
•О. Длина (модуль) вектора AB – число,
равное длине отрезка АВ , изображающего
вектор.
| AB |
•О. Нулевой вектор АА – вектор, у которого начало и конец совпадают.
• OA+AB=OB
b
b-a
a
c=a+b
Теорема. Свойства операций.
1.a b b a,
2.(a b ) c a (b c ), 3.a 0 a,
4.a ( a) 0, 5. ( a) ( )a,
6. (a b ) b a, 7.( )a a a, 8.1 a a
•Теорема. Пусть e̅1, e̅2– два неколлинеарных
вектора на плоскости. Тогда любой вектор a̅
этой плоскости единственным образом
представляется в виде:
ax1e1 x2e2
•где x1, x2 - однозначно определенные числа
(они называются координатами вектора a̅ в
базисе e̅1, e̅2).
Координаты вектора в прямоугольной системе координат.
•О. Вектор i̅ – вектор единичной длины на оси Ox, его направление совпадает с
положительным направлением оси Ox.
•О. Вектор j̅– аналогичный на оси Oy.
•i̅, j̅– координатные векторы на
плоскости.
OA̅ =x∙ i̅ AM̅ =y ∙ j̅
y
M(x,y)
j 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
O |
|
1 |
|
x |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Расстояние между точками.
• Даны точки A=(x1,y1) и B= (x2,y2).
Вектор
AB (x2 x1; y2 y1 ),
|
|
|
|
|
|
Длина вектора :| AB | (x |
x )2 |
( y |
2 |
y )2 |
|
2 |
1 |
|
1 |
§2. Скалярное произведение векторов. Условие ортогональности векторов.
y
1
sin α
cos α 1 |
x |
•О. Скалярное произведение ненулевых
векторов a̅ и b̅– число, равное:
|
̅ |
|
̅ |
, |
• (a ∙ b ) =| a || b |cos α (2.1) |
||||
̅ |
|
̅ |
|
|
•где α – угол между a̅ и b̅.
•Скалярное произведение нулевого
вектора на любой вектор полагается равным нулю.