1

Тема 1. Элементы аналитической геометрии_ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ

Расстояние между двумя точками на плоскости определяется формулой

—d = (x2 + x1 )2 +(y2 + y1 )2

—d = (x2 − x1 )2 −(y2 − y1 )2

—d = (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2

—d = (x2 − y2 )2 +(x1 − y1 )2

Абсцисса точки С, разбивающей отрезок АВ в отношении λ = CBAC ,

равна

— xc = xA1−+λλxB

x +λx

— xc = B1 +λ A

x +λx

— xc = A1 −λ B

x +λx

— xc = A1 +λ B

Ордината точки С, разбивающей отрезок АВ в отношении λ = CBAC ,

Абсцисса середины отрезка АВ равна

— xc = xA + xB

2

x− x

—xc = A 2 B

— xc = xB − xA

2

x+ x

—xc = A0,5 B

Ордината середины отрезка АВ равна

y+ y

—yc = A0,5 B

В уравнении y = kx +b значение k – это

—координата точки пересечения прямой с осью абсцисс

—координата точки пересечения прямой с осью ординат

—угол, образованный прямой с положительным направлением оси абсцисс

—тангенс угла, образованного прямой с осью абсцисс

В уравнении y = kx +b значение b – это

—координата точки пересечения прямой с осью ОХ

—угловой коэффициент прямой

—координата точки пресечения прямой с осью ОY

—угол наклона прямой к оси ОХ

Прямая Ax +C = 0

—параллельна оси Oy

—параллельна оси Ох

—перпендикулярна оси Оy

—пересекает ось Оy в одной точке

Прямая By +C = 0

—параллельна оси Oy

—перпендикулярна оси Ох

—параллельна оси Ох

—пересекает ось Ох в одной точке

Прямая Ax + By = 0 при B ≠ 0

—параллельна оси Oy

—проходит через начало координат

—не проходит через начало координат

—перпендикулярна оси Ох

Угол между двумя прямыми определяется формулой

—tgϕ = tgβ −tgα

—tgϕ = k2 −k1

1−k1k2

—tgϕ = k2 +k1

1+k1k2

—tgϕ = k2 −k1

1+k1k2

Условие параллельности двух прямых имеет вид

—κ1= − κ2

—κ1 = κ1

2

—κ1 κ2= −1

—κ1= κ2

Условие перпендикулярности двух прямых имеет вид

—κ1= − κ2

—κ1 = κ1

2

—κ1 κ2= − 1

—κ1= +κ2

Углом между двумя прямыми называется

—меньший угол, на который надо повернуть обе прямые до их совпадения с осью ОХ

—меньший угол, на который надо повернуть одну прямую до ее совпадения с другой прямой

—меньший угол, на который надо повернуть обе прямые до их совпадения с осью Оy

—разность углов, образованных этими прямыми

Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, имеет вид

—y =κx +b

—(x2 − x1 )( y − y1 ) = ( y2 − y1 )(x − x1 )

— ax + by =1

—y- y0=κ0(x- x0)

Вуравнении прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, угловой коэффициент κ -

—произвольный

—фиксированный

—всегда равен 0

—всегда положительный

Вуравнении пучка прямых с центром в точке А угловой коэффициент κ -

—фиксированный

—бесконечный

—произвольный

—всегда равен 0

Уравнение пучка прямых с центром в точке M 0 (x0 ; y0 ) имеет вид

—y =κx +b

—ax + by =1

—Ax + By +C = 0

—y- y0=κ(x- x0)

Уравнение прямой в отрезках имеет вид

—ax + by =1

—y =κx +b

—Ax + By +C = 0

—y- y0=κ0(x- x0)

Уравнение прямой в отрезках на осях координат справедливо для прямой

—проходящей через начало координат

—не проходящей через начало координат

—параллельной оси Ох

—параллельной оси Oy

Общее уравнение прямой имеет вид

—Ax + By +C = 0

—y =κx +b

— ax + by =1

—y- y0=κ0(x- x0)

Уравнение прямой, проходящей через точки A(−2;3) и B(4;−3) , имеет вид

—y = − 2x + 2

—y = −x −5

—y = −x +1

—y = −2x +1

Расстояние от точки до прямой определяется формулой

— d = (x2 − x1 )2 +(y2 − y1 )2

— d = Ax0 + By0 +C

A2 + B2

— d = Ax0 + By0 +C A2 + B2

— d = Ax0 + By0 +C A2 + B2

Угловой коэффициент прямой Ax+By+C=O при В≠0 равен

—A

—-A —- BA

— BA

Тангенс угла наклона прямой ax + by =1 к оси Ох равен

—− ba

—1a

—b1

—ba

Уравнение прямой, проходящей через точку A(1;2) параллельно прямой x + y −1 = 0 , имеет вид

—y = −x +3

—y = −x −5

—y = −x −3

—y = −x

Уравнение прямой, проходящей через точку A(−1;2) перпендикулярно прямой y = 2x +3, имеет вид

—y = −12 x −3

—y = −12 x + 32

—y = −12 x + 23

—y = −12 x − 32

В треугольнике с вершинами в точках A(−1;1) , B(1;2) , C(3;−2) уравнение медианы АМ имеет вид

—y = − 3x − 23

—y = − 3x + 32

—y = − 3x

—y = − 3x + 23

Прямая ax + by =1, где a ≠ 0 и b ≠ 0

—параллельна оси Ох

—параллельна оси Oy

—пересекает ось Ох в точке (а;0)

—пересекает ось Oy в точке (а;0)

Пучок прямых с центром в точке A(x0 ; y0 ) - это

—две прямые, проходящие через точку A(x0 ; y0 )

—три прямые, проходящие через точку A(x0 ; y0 )

—несколько прямых, проходящих через точку A(x0 ; y0 )

—бесконечное множество прямых, проходящих через точку

A(x0 ; y0 )

Уравнение прямой, проходящей через точку B(4;1) и образующей с положительным направлением оси угол 1350 , имеет вид

—x + y −5 = 0

—x − y −3 = 0

—x + y −3 = 0

—− x + y −5 = 0

К прямой y = −4x +1 перпендикулярна прямая

—y = −14 x + 2

—y = 14 x + 2

—y = 4x + 2

—y = −4x +3

Угол между прямыми 2x +3y − 4 = 0 и 3x −2 y +1 = 0 равен

—00

—450

—900

—1350

Уравнение прямой, проходящей через точки A(x1 , y1 ) и B(x2 , y2 ) , имеет вид

г) x +5y +3 = 0 параллельной к прямой y = 5x −3 будет

—а)

—в)

—г)

—б)

Из прямых а) 2x + y −3 = 0 ; б) x + 2 y −3 = 0 ; в) 2x − y +5 = 0 ; г) x −2 y +3 = 0 перпендикулярной к прямой y = −2x +3 будет

—а)

—б)

—г)

—в)

Точками пересечения прямой 3x −4 y −12 = 0 с осями координат Ox и Oy являются соответственно точки

—A(4;0) и B(0;−3)

—A(0;−3) и B(4;0)

—A(−4;3) и B(3;−4)

—A(−4;0) и B(0;3)

Уравнение прямой, проходящей через точки A(3;−1) и B(−2;−1), имеет вид

—y = 3x −2

—y = −x

—x = −1

—y = −1

Если x2 = x1 , то уравнение прямой, проходящей через точки A(x1 ; y1 ) и B(x2 ; y2 ), имеет вид

—x = x1

—y = x1

—y = k(x − x1 )

Если y2 = y1 , то уравнение прямой, проходящей через точки A(x1 ; y1 ) и B(x2 ; y2 ), имеет вид

—y = y1

—y − y1 = x − x1

— x = x1

Прямые y = 34 x +1 и y = 34 x −2

—параллельны

—перпендикулярны

—образуют угол в 450

—образуют угол, равный arctg 247

Точка M разбивает отрезок AB , где A(1;2), B(4;5), так, что AM = 2 MB . Координаты точки M равны

—(3;4)

—(2;3)

—(2;4)

—(2,5;3,5)

Расстояние от точки M (3;4) до прямой y = 2x −1 равно

—1

—23

—15

— 5

Угловой коэффициент прямой 2x −3y −6 = 0 равен

—2

—32

—-3

—23

Угол наклона прямой 3x + 4 y −1 = 0 к положительному направлению оси Ox равен

—−arctg 34

—−arctg 34

—arctg 43

— arctg 34

В треугольнике с вершинами A(−3;−2), B(2;3), C(4;−1) уравнение стороны BC имеет вид

—y = −2x +7

—y = 13 x + 73

—y = x +5

—y = 4x −3

В треугольнике с вершинами A(−3;−2), B(2;3), C(4;−1) длина медианы AM равна

—5 3

—2 5

—3 5

—5 2

Если A(−2;3), B(6;−3), то точка C , делящая отрезок AB в отношении

CBAC = 13 , имеет координаты

—0; 3

2

—(−3;3)

—(−6;6)

—3 ;0

2

Уравнение прямой, проходящей через точки A(−2;3) и B(2;−1), имеет вид

—x − y +1 = 0

—x + y −3 = 0

—x + y −1 = 0

—x − y −1 = 0

В треугольнике с вершинами A(−3;−2), B(2;3), C(4;−1) уравнение высоты CD имеет вид

—x + y −3 = 0

—x + y +3 = 0