3. Дифференцирование функций

45

Основные правила нахождения производной

Если с,a, b - const и j(x),y (x)- дифференцируемые функции в точке x , (т.е.

функции, имеющие производные в точке x ), то:

1)(с )¢ = 0 ;

2)(a ×j(x )+ b ×y (x ))¢ = a × (j(x )¢ + b ×(y (x )¢;

3) (j(x )×y x( )¢)= (j(x ))¢ ×y x( +)j x (×(y) x )¢ ( )

Таблица производных основных функций

Правило дифференцирования сложной функции. Если y = f (u) и u = j(x),

т.е. y = f [j(x)], где y и u имеют производные, то

yx¢ = 46yu¢ ×ux¢

Тогда

?Задание 3. Найти производные данных функций.

1) y = 3sin x - 1 x2 2

Решение. Применяя правило 2 нахождения производных и формулы 1 и 2

таблицы производных, получаем:

2) y = ln x x

Решение. Применяя правило 4 нахождения производных и формулы 1 и 13

таблицы производных, получаем:

3) y = ex ctgx.

Решение. Применяя правило 3 нахождения производных и формулы 5 и 11 таблицы производных, получаем:

производной сложной функции, получим:

47

формуле нахождения производной функции, заданной параметрически,

получаем:

4. Производные высших порядков. Правило Лопиталя.

Производной второго порядка функции y = f (x) называется производная от

Oее производной, т.е. (y¢ ¢). Для второй производной используются следующие

Производной n - го порядка от функции y = f (x) называется производная от ее производной (n -1)-го порядка. Для производной n -го порядка

используются следующие обозначения: y(n) или d n y , или f (n )(x) . dxn

Правило Лопиталя. Пусть функции f (x) и j(x) дифференцируемы в окрестности точки x0 , причем производная j¢(x) не обращается в нуль. Если функции f (x) и j(x) являются одновременно либо бесконечно малыми, либо бесконечно большими при x ® x0 , и при этом существует предел отношения

Правило применимо и в случае, когда x0 = ¥ .

48