Вопрос 12 Функция распределения вероятностей непрерывной случайной величины и ее свойства
.
Рассмотрим
функцию F(х),
определенную на всей числовой оси
следующим образом: для каждого х значение
F(х)
равно вероятности того, что дискретная
случайная величина
примет значение, меньшее х, т. е.
(18)
Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.
Зная
функцию распределения F(x),
легко найти вероятность того, что
случайная величина
удовлетворяет
неравенствам
.
Рассмотрим
событие, заключающееся в том, что
случайняя величина примет значение,
меньшее . Это событие распадается на
сумму двух несовместных событий: 1)
случайная величина
принимает значения, меньшие
, т.е
.
; 2) случайная величина
принимает значения, удовлетворяющие
неравенствам
.
Используя аксиому сложения, получаем
Отсюда
Но
по определению функции распределения
F(x)
[см. формулу (18)], имеем ,
; cледовательно,
(19)
Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
1). Функция распределения является неубывающей.
В
самом деле, пусть
<
.
Так как вероятность любого события
неотрицательна, то
.
Поэтому из формулы (19) следует, что
,
т.е.
.
2).
Значения
функции распределения удовлетворяют
неравенствам
.
Это
свойство вытекает из того, что F(x)
определяется как вероятность [см. формулу
(18)]. Ясно, что *
и
.
3).
Вероятность
того, что дискретная случайная величина
примет одно из возможных значений xi,
равна скачку функции распределения в
точке xi.
Действительно,
пусть xi
- значение, принимаемое дискретной
случайной величиной, и
.
Полагая в формуле (19)
,
,
получим
(20) 
В
пределе при
вместо вероятности попадания случайной
величины на интервал
получим вероятность того, что величина
примет данное значение xi:
C
другой стороны, получаем
,
т.е. предел функции F(x)
справа, так как
.
Следовательно, в пределе формула (20)
примет вид
(21) 
т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi. Это свойство наглядно иллюстрируется на рис. 4 и рис. 5.
Дальше...
*
Здесь и в дальнейшем введены обозначения:
,
.
** Можно показать, что F(xi)=F(xi-0), т.е. что функция F(x) непрерывна слева в точке xi.
Вопрос 13 Плотность распределения вероятностей непрерывной случайно величины и ее свойства.
Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения:
Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу(а, b) , определяется равенством:
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения
Свойства
Вопрос 14 Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.
1) Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех возможных ее значений на вероятности этих значений.
В теории вероятности и во многих ее приложениях большое значение имеют различные числовые характеристики случайных величин. Основными из них являются математическое ожидание и дисперсия.
1. Математическое ожидание случайной величины и его свойства.
Рассмотрим сначала следующий пример. Пусть на завод поступила партия, состоящая из N подшипников. При этом:
m1 - число подшипников с внешним диаметром х1,
m2 - число подшипников с внешним диаметром х2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
mn - число подшипников с внешним диаметром хn,
Здесь m1+m2+...+mn=N. Найдем среднее арифметическое значение xср внешнего диаметра подшипника. Очевидно,
Внешний
диаметр вынутого наудачу подшипника
можно рассматривать как случайную
величину
,
принимающую значения х1, х2, ..., хn, c
соответствующими вероятностями p1=m1/N,
p2=m2/N, ..., pn=mn/N, так как вероятность pi
появления подшипника с внешним диаметром
xi равна mi /N. Таким образом, среднее
арифметическое значение xср внешнего
диаметра подшипника можно определить
с помощью соотношения
Пусть
- дискретная случайная величина с
заданным законом распределения
вероятностей
Значения х1 х2 . . . хn
Вероятности p1 p2 . . . pn
Математическим
ожиданием
дискретной случайной величины
называется сумма парных произведений
всех возможных значений случайной
величины на соответствующие им
вероятности, т.е. *
(39)
Возвращаясь
к разобранному выше примеру, мы видим,
что средний диаметр подшипника равен
математическому ожиданию случайной
величины
-
диаметру подшипника.
Математическим
ожиданием
непрерывной случайной величины
с плотностью распределения
называется
число, определяемое равенством
(40)
Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)
При этом предпологается, что несобственный интеграл, стоящий в правой части равенства (40) существует.
Рассмотрим свойства математического ожидания. При этом ограничимся доказательством только первых двух свойств, которое проведем для дискретных случайных величин.
1°. Математическое ожидание постоянной С равно этой постоянной.
Доказательство.
Постоянную C можно рассматривать как
случайную величину
, которая может принимать только одно
значение C c вероятностью равной единице.
Поэтому
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания, т.е.
Доказательство. Используя соотношение (39), имеем
3°. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:
(41)
4°. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин **:
(42)
Дальше...
* в случае, если множество возможных значений дискретной случайной величины образует бесконечную последовательность x1, x2, ..., xn, ..., то математическое ожидание этой случайной величины определяется как сумма ряда
причем требуется, чтобы этот ряд абсолютно сходился.
**
Под суммой (произведением) двух случайных
величин и понимают случайную величину
и
понимают случайную величину
,
возможные значения которой состоят из
сумм (произведений) каждого возможного
значения величины
и каждого возможного значения величины
.
2) Дисперсией непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [а, b], называется определенный интеграл
или
.
При вычислении дисперсии НСВХ также можно пользоваться формулой
