- •Физические основы механики.
- •Кинематика материальной точки.
- •Скорость материальной точки.
- •Ускорение материальной точки.
- •Тангенциальное и нормальное ускорение.
- •Проекции скорости и ускорения
- •График скорости
- •Вращательное движение твердого тела.
- •Равномерное движение по окружности
- •Период и частота
- •Кинематика вращательного движения
- •Угловое ускорение вращающегося тела
- •Связь углового и линейного ускорений
- •Основные уравнения кинематики
- •Динамика частиц
- •Основные законы классической динамики. I закон Ньютона
- •Механические системы
- •Масса. Импульс
- •Закон сохранения импульса. II закон Ньютона
- •II закон Ньютона:
- •Силы в механике
- •1. Силы тяготения (гравитационные силы).
- •2. Силы упругости.
- •3. Сила трения скольжения.
- •Принцип независимости действия сил
- •III закон Ньютона
- •III закон Ньютона:
- •Системы материальных точек. Центр инерции
- •Закон сохранения центра инерции
- •Теорема о движении центра масс
- •Механическая работа. Мощность
- •Кинетическая энергия
- •Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия.
- •Свойства потенциальных полей.
- •Закон сохранения энергии в механике. Общефизический закон сохранения.
- •Абсолютно упругий и абсолютно неупругий центральные удары.
- •Твердое тело в механике. Уравнение вращательного движения твердого тела относительно точки.
- •Уравнение вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.
- •Момент импульса тела относительно неподвижной оси.
- •Момент инерции твердых тел. Теорема Штейнера.
- •Моменты инерции однородных тел массой m, имеющих правильную геометрическую форму и равномерное распределение массы по объему
- •Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.
- •Работа при вращательном движении.
- •Закон сохранения момента импульса.
- •Элементы специальной теории относительности. Принцип относительности в механике.
- •Постулаты специальной теории относительности.
- •Относительность одновременности.
- •Преобразования Лоренца.
- •Следствия из преобразований Лоренца.
- •Длительность событий в различных инерциальных системах отсчета.
- •Релятивистский закон сложения скоростей.
- •Интервал.
- •Собственное время.
- •Элементы релятивистской динамики. Релятивистский импульс
- •Уравнение движения релятивистской частицы.
- •Закон взаимосвязи массы и энергии.
- •Связь энергии и импульса.
- •Инварианты преобразования.
Консервативные и неконсервативные силы. Потенциальная энергия.
В механике различают два вида энергии – кинетическую и потенциальную.
Кинетическая энергия – функция состояния, определяемая массами движущихся тел и их скоростями. Для одной материальной точки: , для системы материальных точек.
Потенциальной называют энергию, обусловленную взаимным расположением тел и силами, действующими между телами.
Полная механическая энергия системы равна сумме кинетической и потенциальной энергии:
(26)
Чтобы ввести понятие потенциальной энергии, рассмотрим сначала, как зависит работа от формы траектории.
Пусть в некотором поле сил точка перемещается из положения А в положение В сначала по пути А1В, затем по пути А2В.
|
Поля сил, в которых работа не зависит от формы траектории, а определяется начальным и конечным состоянием тела, называются потенциальными, а силы – консервативными.
Консервативными являются силы тяготения (), упругости (), электростатические силы и т.д.
Поля сил, в которых работа зависит от формы траектории, называются непотенциальными, а силы – неконсервативными.
В случае консервативных сил вводится понятие консервативной энергии.
Пусть частица массы m перемещается из точки А в точку В однородного поля сил тяжести (поле называется однородным, если в каждой точке его ). При этом перемещении силой тяжести совершается работа: (27) |
Работа характеризует переход тела из одного состояния в другое и в данном случае определяется только начальным h1 и конечным h2 положением тела. Естественно считать, что - энергия частицы в начальном положении,- в конечном состоянии. Эту энергию называют потенциальной энергией частицы, поднятой над Землей:
(28)
С учетом (28) перепишем (27) в следующем виде:
(29)
Из этого следует, что работа в потенциальном поле совершается за счет убыли потенциальной энергии частицы. Этот вывод справедлив для любого потенциального поля.
Свойства потенциальных полей.
Работа в потенциальном поле по замкнутой траектории равна нулю.
Потенциальная энергия системы определяется с точностью до некоторой постоянной.
В самом деле, потенциальная энергия, например, тела в поле тяготения Земли , причемh может быть отсчитано от поверхности Земли, от центра Земли или какой-нибудь точки. В зависимости от этого меняется значение U. Поэтому, определяя потенциальную энергию, необходимо условиться, при каком взаимном расположении тел их взаимная потенциальная энергия равна нулю.
3. Связь потенциальной энергии с силой, действующей на данную точку.
Рассмотрим произвольное потенциальное поле U(x,y,z), в котором действуют силы .
Работа по перемещению частицы из т.1 в т.2 силами этого поля равна:
С другой стороны, та же работа запишется в виде:
|
получим:
(30)
Запишем это равенство в координатах. Как известно:
тогда: ;;(31)
Вектор с компонентами называетсяградиентом функции U и обозначается . В векторной форме (30) запишется в виде:
Итак, сила, действующая на материальную точку в потенциальном поле, равна взятому с обратным знаком градиенту потенциальной энергии этой точки в рассматриваемом поле.
Пример 1. Потенциальная энергия упругодеформированного тела.
При достаточно медленном растяжении пружины внешней силой Fвн на величину x в ней возникает упругая сила Fупр, которая по закону Гука равна:
где k – коэффициент упругости |
Работа, совершаемая силой упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние, найдется интегрированием:
Силы упругости являются потенциальными силами, поэтому:
(в недеформированном состоянии потенциальная энергия пружины U2=0). Отсюда:
(32)
Пример 2. Потенциальная энергия тяготения.
Рассмотрим 2 тела массами M и m, которые взаимодействуют по закону всемирного тяготения:
Предположим, что тело M неподвижно. Работа, совершаемая силой тяготения при приближении тела m к телу M от расстояния r1 до расстояния r2, равна: |
При сближении тел dr0. Учитывая знак dr, получим:
Учитывая, что , найдем, что потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух телM и m, находящихся на расстоянии r друг от друга, равна:
(33)
Отрицательное значение потенциальной энергии связано с тем, что за начало отсчета U принято ее значение в бесконечности, где силы взаимодействия между телами m и М практически отсутствуют, т.е. ,. При перемещении телаm из бесконечности в данную точку поля силами тяготения совершается работа за счет убыли потенциальной энергии этих тел. Следовательно, при любом U должна быть меньше U, т.е. потенциальная энергия должна быть отрицательной.
Потенциальная энергия тела, находящегося на поверхности Земли (r=R), равна:
Учтем, что
Потенциальную энергию тела, поднятого на небольшую высоту h (hR), можно представить следующим образом:
(т.к. )
Разложим выражение в скобке в ряд и отбросим члены второго порядка малости:
Тогда:
Полагая потенциальную энергию тела на поверхности Земли равной нулю, получим хорошо известное выражение: