Л_04_Поток случайных событий

Потоком событий называется последовательность однотипных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени. Событие в потоке не случайно, случаен момент его наступления, случайны промежутки времени между событиями, число событий в пределах определенного отрезка времени и т.п.

где τj — интервал между событиями (случайная величина);

tсi — момент совершения i-го события (отсчитывается от t = 0); Tн — время наблюдения

Если интервал между событиями τj равен константе или определен каким-либо законом

tj = f(tj – 1), то поток называется детерминированным, иначе поток называется случайным

Поток называется ординарным, если вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю

Поток называется потоком без последействия, если вероятность появления события не зависит от момента совершения предыдущих событий

Интенсивность потока событий λ — это среднее число событий в единицу времени λ = N/Tн

Интенсивность появления событий в единицу времени является статистической величиной, характеризующей поток в целом

Пример. Если за 200 часов сгенерировано 1000 событий, то величина средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час

Дисперсия характеризует разброс событий относительно математического ожидания

Ординарный поток однородных событий без последствия называется потоком Пуассона

где a — параметр Пуассона

Если λ(t) = const(t) – стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t

Если λ = var(t) – нестационарный поток Пуассона

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна: Pm m e t

m !

Вероятность непоявления (m = 0) события за время τ равна: P0 0 e t e t

0!

Пример. Магазин посещают в среднем 20 покупателей за час. Определить вероятность того, что: за 5 минут будет 2 покупателя, за 3 минуты не будет ни одного покупателя

Если единица времени 1 минута, то интенсивность пуассоновского потока покупателей

магазина λ = 20/60 = 1/3 покупателя за минуту

( t1=0, t2=5: Р0=0.1889; t1=0, t2=10: Р0=0.0357; ….)

t1=0, t2=3: Р0=0.37; t1=0, t2=5: Р0=0.1889; t1=0, t2=10: Р0=0.0357; ….

График вероятности непоявления ни одного события во времени График появления хотя бы одного события со временем

График влияния величины интенсивности потока на вероятность появления события в течение заданного интервала времени τ

Вероятность появления хотя бы одного события (PХБ1С): РХБ1С 1 Р0 1 е t

РХБmС 1 (Р0 Р1 ... Рm 1)

Пример. Магазин посещают в среднем 20 покупателей за час. Определить вероятность того, что за 10 минут будет не менее 3 покупателей Интенсивность пуассоновского потока покупателей магазина λ =1/3 покупателя за минуту,

m ≥3, t1=0, t2=10. Найдем вероятность обратного события, т.е. вероятность того, что за 10 минут будет менее 3 покупателей:

Р(А)=1- P( A) =1-0.35=0.65

Моделирование ординарных потоков событий без последействия

Простейший поток Пуассона с mx = 1/λ, σ = 1/λ ( mx = σ ) — поток без последействия mx – σ < τj < mx + σ – событие может появиться в любой момент времени (τj =mx = Тн/n)

Если РХБ1С = 1 - Р0 = 1-е-λτ = r , то τ = –1/λ · Ln(r),

где r — равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число,

τ — интервал между случайными событиями (случайная величина τj)

Пример. Изделия приходят на технологическую операцию случайным образом — в среднем 8 штук за сутки Необходимо промоделировать этот процесс в течение Tн = 100 часов.

Интенсивность потока λ = 8/24 *изд/час+. Математическое ожидание потока Пуассона без последействия m = 1/λ = 24/8 = 3 (в среднем одна деталь за три часа), а σ =1/λ = 3.

За период Tн = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия В среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33……, σ = 3

Пример. Необходимо определить среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ2. Экспериментально установлено, что привозят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ1 партиями примерно по 8 штук, причем размер партии колеблется случайно по нормальному закону с m = 8, σ = 2. До начала моделирования T = 0 на складе изделий не было. Процесс необходимо промоделировать этот в течение Tн = 100 часов

Схема алгоритма, генерирующего приход потока партий изделий на обработку случайным образом и поток случайных событий — выхода партий изделий с обработки

Блок-схема алгоритма, генерирующего приход потока партий изделий на обработку случайным образом и поток случайных событий — выхода партий изделий с обработки

Результат работы алгоритма — моменты времени, когда детали приходили на операцию, и моменты времени, когда детали покидали операцию. На третьей линии видно, сколько деталей стояло в очереди на обработку (лежало на складе) в разные моменты времени

Отмечая для обрабатывающего узла времена, когда он простаивал в ожидании очередной детали, можно посчитать суммарное время простоев узла за все время наблюдения, а затем рассчитать среднее время простоя в течение суток. Для данной реализации это время вычисляется так:

Tпр.ср. = 24 · (t1пр. + t2пр. + t3пр. + t4пр. + … + tNпр.)/Tн.

Моделирование неординарных потоков событий

Если поток не является ординарным, то необходимо моделировать кроме момента возникновения события еще и число событий, которое могло появиться в этот момент

Пример. Рассмотрим процесс прихода вагонов на железнодорожную станцию.

Вагоны на железнодорожную станцию прибывают в составе поезда в случайные моменты времени. Поток поездов ординарный.

В составе поезда несколько вагонов (разное случайное количество вагонов). Поток вагонов является потоком неординарных событий Пусть для вагонов Mk = 10, σ = 4 и их число распределено по нормальному закону

(в среднем в 68 случаях из 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда)

Моделирование нестационарных потоков событий

В случае, если интенсивность потока может меняться со временем λ(t), то поток называется нестационарным. Распределение λ(t) может быть задано либо графиком, либо формулой, либо таблицей

Пример. Среднее количество машин скорой помощи, покидающих станцию по вызовам населения большого города за час , в течение суток может быть различным. Известно, что наибольшее количество вызовов падает на интервалы с 23 до 01 часа ночи и с 05 до

как в остальные часы оно вдвое меньше

Блок для реализации генерации случайных событий в случае нестационарного потока