TAU-Lektsia_2_5
.pdfЛекция 5.
Тема 11.
Метод фазовой плоскости
1
Все системы управления являются нелинейными, т.е. описываются
нелинейными уравнениями.
Линейные системы управления являются их моделями, которые получаются путем обычной линеаризации – процедуры, состоящей в
разложении нелинейных функций в ряд Тейлора и отбрасывании нелинейных
слагаемых.
Однако такая линеаризация не всегда возможна. Если нелинейность
допускает обычную линеаризацию, то такая нелинейность называется
несущественной. В противном случае нелинейность называется
существенной. Существенными нелинейностями обладают релейные элементы. Даже в тех случаях, когда обычная линеаризация возможна, часто на конечном этапе исследования может потребоваться рассмотрение исходной
нелинейной модели.
2
11.1. Нелинейные статические характеристики. Особенности нелинейных систем
Релейные характеристики
x2 c
x1
–c
Характеристика идеального реле
x2 c
–a |
|
x1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
a |
–c
Характеристика реле с зоной нечувствительности
3
|
Релейные характеристики |
|
|
||
|
x2 |
Характеристика реле с |
|
x2 |
|
|
c |
|
|
||
|
зоной нечувствительности |
c |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
и гистерезисом |
|
|
|
|
x1 |
–b |
–a |
x1 |
|
–b |
b |
|
|
a |
b |
|
–c |
x2 |
|
–c |
|
|
|
|
|
|
|
Характеристика |
|
|
|
|
|
реле с гистерезисом |
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
|
|
|
Характеристика квантования по уровню
4
Кусочно-линейные характеристики
x2 |
|
c |
|
–b |
x1 |
b |
|
–c |
|
Кусочно-линейная |
|
характеристика с |
|
насыщением
|
x2 |
|
|
|
c |
|
|
–b |
–a |
|
x1 |
|
a |
b |
|
|
|
|
|
|
–c |
|
|
Кусочно-линейная |
|
||
характеристика с зоной |
|
нечувствительности и насыщением
5
Кусочно-линейные характеристики
x2 |
|
x2 |
|
–a |
x1 |
–a |
x1 |
a |
|
a |
|
Кусочно-линейная характеристика |
Люфт (характеристика |
|
|
с зоной нечувствительности |
|
|
|
|
звена с люфтом) |
|
|
|
|
|
6
Кусочно-линейные характеристики
x2 |
x2 |
|
x1 |
–a |
x1 |
|
a |
|
Диодная характеристика |
Кусочно-линейная |
|
|
|
|
|
характеристика с |
|
гистерезисом и насыщением
7
Нелинейные системы по сравнению с линейными обладают рядом принципиальных особенностей:
не выполняется принцип суперпозиции, и исследование нелинейной системы при нескольких воздействиях нельзя сводить к
исследованию при одном воздействии;
устойчивость и характер переходного процесса зависят от величины начального отклонения от положения равновесия;
при фиксированных внешних воздействиях возможны несколько (а
иногда и бесконечное множество) положений равновесия;
возникают свободные установившиеся процессы, которые в
линейных системах невозможны (например, автоколебания).
8
Универсальных аналитических (математических) методов исследования
нелинейных систем нет.
В процессе развития теории автоматического управления были разработаны
различные математические методы анализа и синтеза нелинейных систем,
каждый из которых применим для определенного класса систем и задач:
метод фазовой плоскости;
метод функций Ляпунова;
метод гармонической линеаризации (метод гармонического баланса);
методы исследования абсолютной устойчивости.
Любое исследование более или менее сложных нелинейных систем, как
правило, заканчивается математическим моделированием. И в этом
отношении математическое моделирование является одним из универсальных
(неаналитических) методов исследования.
9
11.2. Определение устойчивости
При рассмотрении линейных систем было принято следующее математическое определение устойчивости:
линейная система называется устойчивой, если общее решение однородного описывающего ее дифференциального уравнения
стремится к нулю при стремлении времени к бесконечности.
Это определение нельзя распространить на нелинейные системы.
Поэтому в общем случае используются другие определения
устойчивости. Существует множество различных понятий и
определений устойчивости. Мы будем рассматривать наиболее широко
используемые понятия устойчивости, основанные на определениях,
10 данных A.M. Ляпуновым.