TAU-Lektsia_2_10

Пусть преобразованная линейная часть устойчива, т. е. все полюса передаточной функции Wп имеют отрицательные вещественные части.

Тогда по теореме Попова положение равновесия преобразованной системы абсолютно устойчиво в угле [0, k – r], если выполняются неравенства

k r

где

Uп( ) = Re Wп(j ) и Vп( ) = Im Wп(j ).

21

Критерий Попова. Положение равновесия нелинейной системы (14.3) с

неустойчивой линейной частью абсолютно устойчиво в угле [r, k], если все

полюса преобразованной передаточной функции Wп=Wл/(1+rWл) имеют отрицательные вещественные части и существует такое вещественное число q, что при всех ≥ 0 выполняется неравенство (14.8).

22

Пример 14.4. Пусть передаточная функция линейной части имеет вид

Wл = 10/(р – 1). Исследовать, является ли система абсолютно устойчивой в угле

[0,2; 200].

Решение. Преобразованная передаточная функция имеет вид

Wп=Wл/(1+rWл) = 10/(p + 1).

Отсюда для частотной передаточной функции, а также для вещественной и мнимой частотных функций имеем

Условие (14.8) принимает вид

и оно выполняется при любом q ≥ 0. Следовательно, рассматриваемая система абсолютно устойчива в угле [0,2; 200].

23

14.4. Доказательство критерия Попова

Раздел изучается студентами самостоятельно:

Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т. 2. Многомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы: Учеб. пособие. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. [стр. 150-158]

25

14.5. Квадратичный критерий абсолютной устойчивости

с помощью квадратичной формы можно определить следующим образом:

Действительно, разделив обе части последнего неравенства на ξ2, получим

Первая система неравенств равносильна условию (10.32). Вторая система неравенств невозможна, так как α < β.

Задавая класс нелинейных и нестационарных звеньев с помощью квадратичных

форм, В.А.Якубович разработал так называемый квадратичный критерий

26

абсолютной устойчивости.

Раздел изучается студентами самостоятельно

14.5.1. Эрмитова матрица и эрмитова форма

Дальше при рассмотрении квадратичного критерия используются эрмитовы формы. Поэтому здесь вкратце излагаются основные понятия, связанные с этой формой.

являются комплексными числами, то матрица H* hki , которая получится из

матрицы Н = [hik] путем транспонирования и замены элементов на комплексносопряженные с ними числа, называется эрмитово сопряженной с

Н = [hik] матрицей. Операция эрмитова сопряжения обладает теми же свойствами, что и операция транспонирования:

(A + B)* = A* + B*, (αA)* = αA*, (AB)* = B* A*, (A*)* = A, (A–1)* = (A*)–1.

27

Раздел изучается студентами самостоятельно

Матрица Н = [hik] называется эрмитовой матрицей, если H = H*, т. е. если hik hki . Так как hii hii, то диагональные элементы эрмитовой матрицы являются вещественными числами. В частном случае, когда все элементы

матрицы являются вещественными, эрмитова матрица является симметрической матрицей.

Квадратичная форма

где H – эрмитова матрица ( hik hki ), называется эрмитовой формой. Переменные zi (i = 1, 2,... ,n) и элементы матрицы Н могут быть вещественными числами. В частном случае, когда и переменные, и элементы матрицы являются вещественными, эрмитова форма становится вещественной квадратичной формой. Эрмитова форма всегда принимает вещественное значение.

28

Раздел изучается студентами самостоятельно

Если квадратичная форма (14.34) не является эрмитовой ( hik hki ), то она может принять комплексные значения. В этом случае на ее основе можно определить эрмитову форму следующим образом:

n

Re z*Hz Re hik zi zk

i ,k 1

Эрмитову форму, заданную в таком виде, всегда можно преобразовать и представить с помощью эрмитовой матрицы:

29

Раздел изучается студентами самостоятельно

Для эрмитовой матрицы и эрмитовой формы знакоопределенность и знакопостоянство определяются точно так же, как и для симметрической матрицы и вещественной квадратичной формы. В частности, эрмитова матрица H и эрмитова форма z*Hz называются положительно определенными, если z*Hz > 0 при всех z 0.

Критерий положительной определенности эрмитовой матрицы.

Для того чтобы эрмитова матрица H была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

30